En geometría , la configuración de Pappus es una configuración de nueve puntos y nueve líneas en el plano euclidiano , con tres puntos por línea y tres líneas a través de cada punto. [1]
Esta configuración recibe su nombre de Pappus de Alejandría . El teorema del hexágono de Pappus establece que cada dos ternas de puntos colineales ABC y abc (ninguno de los cuales se encuentra en la intersección de las dos líneas) se pueden completar para formar una configuración de Pappus, sumando las seis líneas Ab , aB , Ac , aC , Bc y bC , y sus tres puntos de intersección X = Ab · aB , Y = Ac · aC y Z = Bc · bC . Estos tres puntos son los puntos de intersección de los lados "opuestos" del hexágono AbCaBc . Según el teorema de Pappus, el sistema resultante de nueve puntos y ocho líneas siempre tiene una novena línea que contiene los tres puntos de intersección X , Y y Z , llamada línea de Pappus . [2]
La configuración de Pappus también se puede derivar de dos triángulos △ XcC y △ YbB que están en perspectiva entre sí (las tres líneas a través de pares de puntos correspondientes se encuentran en un solo punto de cruce) de tres maneras diferentes, junto con sus tres centros de perspectividad Z , a y A . Los puntos de la configuración son los puntos de los triángulos y los centros de perspectividad, y las líneas de la configuración son las líneas a través de pares de puntos correspondientes.
El grafo de Levi de la configuración de Pappus se conoce como grafo de Pappus . Es un grafo cúbico simétrico bipartito con 18 vértices y 27 aristas. [3]
Añadiendo tres líneas paralelas más a la configuración de Pappus, a través de cada triple de puntos que no estén ya conectados por líneas de la configuración, se produce la configuración de Hesse . [4]
Al igual que la configuración de Pappus, la configuración de Desargues puede definirse en términos de triángulos en perspectiva, y la configuración de Reye puede definirse análogamente a partir de dos tetraedros que están en perspectiva entre sí de cuatro maneras diferentes, formando un sistema désmico de tetraedros.
Para cualquier curva plana cúbica no singular en el plano euclidiano, tres puntos de inflexión reales de la curva y un cuarto punto en la curva, existe una forma única de completar estos cuatro puntos para formar una configuración de Pappus de tal manera que los nueve puntos se encuentren en la curva. [5]
Una variante de la configuración de Pappus proporciona una solución al problema de plantación de huertos , el problema de encontrar conjuntos de puntos que tengan el mayor número posible de líneas a través de tres puntos. Los nueve puntos de la configuración de Pappus forman solo nueve líneas de tres puntos. Sin embargo, se pueden organizar de modo que haya otra línea de tres puntos, lo que hace un total de diez. Este es el número máximo posible de líneas de tres puntos a través de nueve puntos. [6]