En geometría, la configuración de Hesse es una configuración de 9 puntos y 12 líneas con tres puntos por línea y cuatro líneas que pasan por cada punto. Puede realizarse en el plano proyectivo complejo como el conjunto de puntos de inflexión de una curva elíptica , pero no tiene realización en el plano euclidiano . Fue introducida por Colin Maclaurin y estudiada por Hesse (1844), [1] y también se la conoce como geometría de Young , [2] llamada así por el trabajo posterior de John Wesley Young sobre geometría finita. [3] [4]
La configuración de Hesse tiene las mismas relaciones de incidencia que las líneas y puntos del plano afín sobre el campo de 3 elementos . Es decir, los puntos de la configuración de Hesse pueden identificarse con pares ordenados de números módulo 3, y las líneas de la configuración pueden identificarse correspondientemente con los triples de puntos ( x , y ) que satisfacen una ecuación lineal ax + by = c ( mod 3) . Alternativamente, los puntos de la configuración pueden identificarse mediante los cuadrados de un tablero de tres en raya , y las líneas pueden identificarse con las líneas y diagonales discontinuas del tablero.
Cada punto pertenece a cuatro líneas: en la interpretación de la configuración del tres en raya, una línea es horizontal, una vertical y dos son diagonales o diagonales rotas. Cada línea contiene tres puntos. En el lenguaje de configuraciones la configuración de Hesse tiene la notación 9 4 12 3 , lo que significa que hay 9 puntos, 4 líneas por punto, 12 líneas y 3 puntos por línea.
La configuración de Hesse tiene 216 simetrías (su grupo de automorfismo tiene orden 216). El grupo de sus simetrías se conoce como grupo de Hesse .
Eliminar cualquier punto y sus cuatro líneas incidentes de la configuración de Hesse produce otra configuración de tipo 8 3 8 3 , la configuración de Möbius-Kantor . [5] [6] [7]
En la configuración de Hesse, las 12 líneas se pueden agrupar en cuatro triples de líneas paralelas (que no se cruzan). Quitando de la configuración de Hesse las tres líneas pertenecientes a una única tripleta se obtiene una configuración de tipo 9 3 9 3 , la configuración Pappus . [6] [7]
La configuración de Hesse, a su vez, se puede aumentar agregando cuatro puntos, uno para cada triple de líneas que no se cruzan, y una línea que contiene los cuatro nuevos puntos, para formar una configuración del tipo 13 4 13 4 , el conjunto de puntos y líneas de el plano proyectivo sobre el campo de tres elementos.
La configuración de Hesse se puede realizar en el plano proyectivo complejo como los 9 puntos de inflexión de una curva elíptica y las 12 líneas que pasan por tripletas de puntos de inflexión. [3] Si un conjunto dado de nueve puntos en el plano complejo es el conjunto de inflexiones de una curva elíptica C , también es el conjunto de inflexiones de cada curva en un lápiz de curvas generadas por C y por la curva de Hesse de C. , el lápiz de Hesse . [8]
El poliedro de Hesse es una representación de la configuración de Hesse en el plano complejo.
La configuración de Hesse comparte con la configuración de Möbius-Kantor la propiedad de tener una realización compleja pero no ser realizable por puntos y rectas en el plano euclidiano . En la configuración de Hesse, cada dos puntos están conectados por una línea de la configuración (la propiedad definitoria de las configuraciones de Sylvester-Gallai ) y, por lo tanto, cada línea que pasa por dos de sus puntos contiene un tercer punto. Pero en el plano euclidiano, todo conjunto finito de puntos es colineal o incluye un par de puntos cuya línea no contiene ningún otro punto del conjunto; este es el teorema de Sylvester-Gallai . Debido a que la configuración de Hesse desobedece el teorema de Sylvester-Gallai, no tiene realización euclidiana. Este ejemplo también muestra que el teorema de Sylvester-Gallai no se puede generalizar al plano proyectivo complejo. Sin embargo, en espacios complejos, la configuración de Hesse y todas las configuraciones de Sylvester-Gallai deben estar dentro de un subespacio plano bidimensional. [9]