tres en raya

Juego de lápiz y papel para dos jugadores.

Tic-tac-toe ( inglés americano ), tres en raya ( inglés de la Commonwealth ) o Xs and Os ( inglés canadiense o irlandés ) es un juego de lápiz y papel para dos jugadores que se turnan para marcar los espacios en un juego de tres por tres. -tres cuadrículas con X u O. El jugador que logre colocar tres de sus marcas en una fila horizontal, vertical o diagonal es el ganador. Es un juego resuelto , con empate forzado suponiendo el mejor juego de ambos jugadores.

Nombres

En inglés americano , el juego se conoce como "tic-tac-toe". También se puede escribir "tic-tack-toe", "tic-tat-toe" o "tit-tat-toe". ^{[1] [2]}

En inglés de la Commonwealth (particularmente inglés británico , sudafricano , indio , australiano y neozelandés ), el juego se conoce como "noughts and crosses", escrito alternativamente "naughts and crosses". Este nombre deriva de la forma de las marcas del juego (es decir, la X y la O); "nada" es un nombre antiguo para el número cero , mientras que "cruz" se refiere a la forma de X. Si bien el término "nada" se usa ahora con menos frecuencia, en estos países todavía se prefiere el nombre "tres en raya" al nombre estadounidense "tic-tac-toe".

A veces, el tres en raya (donde los jugadores siguen añadiendo "piezas") y el morris de tres hombres (donde las piezas empiezan a moverse después de haber colocado un determinado número) se confunden entre sí.

Como se Juega

Dos jugadores juegan al tres en raya en una cuadrícula de tres por tres, quienes alternativamente colocan las marcas X y O en uno de los nueve espacios de la cuadrícula.

En el siguiente ejemplo, el primer jugador ( X ) gana el juego en siete pasos:

Juego de tres en raya, ganado por X

No existe una regla universalmente aceptada sobre quién juega primero, pero en este artículo se utiliza la convención de que X juega primero.

Los jugadores pronto descubren que la mejor jugada de ambas partes conduce al empate . Por lo tanto, los niños pequeños suelen jugar al tres en raya y tal vez no hayan descubierto la estrategia óptima.

Debido a la sencillez del tres en raya, suele utilizarse como herramienta pedagógica para enseñar los conceptos de buen espíritu deportivo y la rama de la inteligencia artificial que se ocupa de la búsqueda de árboles de juego . Es sencillo escribir un programa de ordenador para jugar al tres en raya perfectamente o enumerar las 765 posiciones esencialmente diferentes (la complejidad del espacio de estados ) o los 26.830 juegos posibles hasta las rotaciones y reflexiones (la complejidad del árbol de juegos ) en este espacio. ^[3] Si ambos jugadores lo juegan de manera óptima, el juego siempre termina en empate, lo que hace que el tres en raya sea un juego inútil . ^[4]

Estructura de incidencia del tres en raya

El juego se puede generalizar a un juego m , n , k , en el que dos jugadores se alternan colocando piedras de su propio color en un tablero de m por n con el objetivo de conseguir k de su propio color en una fila. Tic-tac-toe es el juego 3,3,3. ^[5] El tres en raya generalizado de Harary es una generalización aún más amplia del tres en raya. También se puede generalizar como un juego n d , específicamente uno en el que n es igual a 3 y d es igual a 2. ^[6] Se puede generalizar aún más jugando con una estructura de incidencia arbitraria , donde las filas son líneas y las celdas son puntos . La estructura de incidencia del tres en raya consta de nueve puntos, tres líneas horizontales, tres líneas verticales y dos líneas diagonales, y cada línea consta de al menos tres puntos.

Historia

Los juegos jugados en tableros de tres en fila se remontan al antiguo Egipto , ^[7] donde se han encontrado tableros de este tipo en tejas que datan de alrededor del 1300 a.C. ^[8]

Una variación temprana del tres en raya se jugaba en el Imperio Romano , alrededor del siglo I a.C. Se llamaba terni lapilli ( tres piedras a la vez ) y en lugar de tener cualquier número de piezas, cada jugador tenía sólo tres; por lo tanto, tuvieron que moverlos a espacios vacíos para seguir jugando. ^[9] Las marcas de la cuadrícula del juego se han encontrado escritas con tiza por toda Roma. Otro juego antiguo estrechamente relacionado es el morris de tres hombres , que también se juega en una cuadrícula simple y requiere tres piezas seguidas para terminar, ^[10] y Picaria , un juego de los pueblo .

Los diferentes nombres del juego son más recientes. La primera referencia impresa a "tres en raya" ( nada es una palabra alternativa para "cero"), el nombre británico, apareció en 1858, en una edición de Notes and Queries . ^[11] La primera referencia impresa a un juego llamado "tic-tack-toe" se produjo en 1884, pero se refería a "un juego infantil jugado sobre una pizarra, que consistía en intentar, con los ojos cerrados, dejar caer el lápiz sobre una de las números de un conjunto, se puntúa el número acertado". ^{[ Esta cita necesita una cita ]} "Tic-tac-toe" también puede derivar de "tic-tac-tack", el nombre de una versión antigua de backgammon descrita por primera vez en 1558. El cambio de nombre estadounidense de "tres en raya" a "tic- tac-toe" ocurrió en el siglo XX. ^[12]

En 1952, OXO (o Noughts and Crosses ), desarrollado por el informático británico Sandy Douglas para el ordenador EDSAC de la Universidad de Cambridge , se convirtió en uno de los primeros videojuegos conocidos. ^{[13] [14]} El jugador de la computadora podría jugar juegos perfectos de tres en raya contra un oponente humano. ^[13]

En 1975, los estudiantes del MIT también utilizaron el tres en raya para demostrar el poder computacional de los elementos de Tinkertoy . La computadora Tinkertoy, hecha (casi) sólo de Tinkertoys, es capaz de jugar al tres en raya perfectamente. ^[15] Actualmente se encuentra en exhibición en el Museo de Historia de la Computación . ^[dieciséis]

combinatoria

Cuando se considera sólo el estado de la placa, y después de tener en cuenta las simetrías de la placa (es decir, rotaciones y reflexiones), sólo hay 138 posiciones de placa de terminales. Un estudio combinatorio del juego muestra que cuando "X" hace el primer movimiento cada vez, los resultados del juego son los siguientes: ^[17]

• 91 posiciones distintas las gana (X)
• 44 posiciones distintas las gana (O)
• Se sortean 3 posiciones distintas (a menudo llamado "juego del gato" ^[18] )

Estrategia

Estrategia óptima para el jugador X si comienza en la parte superior izquierda. En cada cuadrícula, la X sombreada en rojo denota el movimiento óptimo, y la ubicación del siguiente movimiento de O proporciona la siguiente subcuadrícula a examinar. Sólo dos secuencias de movimientos de O (ambas comenzando con el centro, arriba a la derecha, izquierda-centro) conducen a un empate, y las secuencias restantes conducen a victorias de X.

Estrategia óptima para el jugador O. El jugador O sólo puede forzar una victoria o un empate jugando primero en el centro.

Un jugador puede jugar un juego perfecto de tres en raya (para ganar o al menos empatar) si, cada vez que le toca jugar, elige el primer movimiento disponible de la siguiente lista, como se usa en Newell y Simon's 1972. programa tres en raya. ^[19]

1. Ganar: Si el jugador tiene dos seguidos, puede colocar un tercero para obtener tres seguidos.
2. Bloquear: si el oponente tiene dos seguidos, el jugador debe jugar el tercero para bloquear al oponente.
3. Fork: Provoca un escenario donde el jugador tiene dos formas de ganar (dos líneas de 2 no bloqueadas).
4. Bloquear el tenedor de un oponente: si solo hay un tenedor posible para el oponente, el jugador debe bloquearlo. De lo contrario, el jugador debe bloquear todas las bifurcaciones de cualquier forma que les permita formar dos seguidas simultáneamente. De lo contrario, el jugador debe hacer dos seguidos para obligar al oponente a defender, siempre y cuando no resulte en que produzca un tenedor. Por ejemplo, si "X" tiene dos esquinas opuestas y "O" tiene el centro, "O" no debe realizar un movimiento de esquina para ganar. (Realizar un movimiento de esquina en este escenario produce una bifurcación para que "X" gane).
5. Centro: Un jugador marca el centro. (Si es el primer movimiento del juego, realizar un movimiento de esquina le da al segundo jugador más oportunidades de cometer un error y, por lo tanto, puede ser la mejor opción; sin embargo, no hace ninguna diferencia entre jugadores perfectos).
6. Esquina opuesta: Si el oponente está en la esquina, el jugador juega en la esquina opuesta.
7. Esquina vacía: El jugador juega en una casilla de esquina.
8. Lado vacío: El jugador juega en un cuadrado central en cualquiera de los cuatro lados.

El primer jugador, que será designado "X", tiene tres posibles posiciones estratégicamente distintas para marcar durante el primer turno. Superficialmente, podría parecer que hay nueve posiciones posibles, correspondientes a los nueve cuadrados de la cuadrícula. Sin embargo, al rotar el tablero, encontraremos que, en el primer turno, cada marca de esquina es estratégicamente equivalente a cualquier otra marca de esquina. Lo mismo se aplica a todas las marcas de borde (lado medio). Por lo tanto, desde un punto de vista estratégico, sólo hay tres primeras marcas posibles: esquina, borde o centro. El jugador X puede ganar o forzar un empate en cualquiera de estas marcas iniciales; sin embargo, jugar en la esquina le da al oponente la menor posibilidad de elegir casillas que debe jugar para evitar perder. ^[20] Esto podría sugerir que la esquina es el mejor movimiento inicial para X, sin embargo, otro estudio ^[21] muestra que si los jugadores no son perfectos, un movimiento inicial en el centro es mejor para X.

El segundo jugador, que será designado "O", debe responder a la marca inicial de X de tal manera que evite la victoria forzada. El jugador O siempre debe responder a una apertura de esquina con una marca central y a una apertura central con una marca de esquina. Una apertura de borde debe responderse con una marca central, una marca de esquina al lado de la X o una marca de borde opuesta a la X. Cualquier otra respuesta permitirá a X forzar la victoria. Una vez completada la apertura, la tarea de O es seguir la lista de prioridades anterior para forzar el empate, o ganar si X hace una jugada débil.

Más detalladamente, para garantizar un empate, O debería adoptar las siguientes estrategias:

• Si X realiza un movimiento de apertura en la esquina, O debería tomar el centro y luego una ventaja, obligando a X a bloquear en el siguiente movimiento. Esto evitará que se produzcan bifurcaciones. Cuando tanto X como O son jugadores perfectos y X elige comenzar marcando una esquina, O toma el centro y X toma la esquina opuesta al original. En ese caso, O es libre de elegir cualquier arista como segundo movimiento. Sin embargo, si X no es un jugador perfecto y ha jugado una esquina y luego una ventaja, O no debería jugar la ventaja opuesta como su segundo movimiento, porque entonces X no se ve obligado a bloquear en el siguiente movimiento y puede bifurcarse.
• Si X realiza un movimiento de apertura de borde, O debe tomar el centro o una de las esquinas adyacentes a X, y luego seguir la lista de prioridades anterior, prestando atención principalmente a las bifurcaciones de bloques. Con un juego perfecto, O también puede forzar un empate tomando el borde opuesto de X.
• Si X realiza el movimiento de apertura central, O debería tomar una esquina y luego seguir la lista de prioridades anterior, prestando atención principalmente a las bifurcaciones de bloqueo.

Cuando X juega primero en la esquina y O no es un jugador perfecto, puede suceder lo siguiente:

• Si O responde con una marca central (la mejor jugada para ellos), un jugador X perfecto tomará la esquina opuesta al original. Entonces O debería jugar una ventaja. Sin embargo, si O juega una esquina como segundo movimiento, un jugador X perfecto marcará la esquina restante, bloqueando el triple de O y haciendo su propia bifurcación.
• Si O responde con un tiro de esquina, X tiene garantizada la victoria. Al tomar cualquiera de las otras dos esquinas, O solo puede tomar la posición entre las dos X, luego, al tomar la esquina restante para crear una bifurcación, X ganará en el siguiente movimiento.
• Si O responde con una marca de borde, se garantiza que X ganará. Al tomar el centro, O solo puede tomar la esquina opuesta a la esquina que X juega primero, luego, al tomar una esquina para crear una bifurcación, X ganará en el siguiente movimiento.

Más detalles

Considere un tablero con las nueve posiciones numeradas de la siguiente manera:

Cuando X juega 1 como movimiento inicial, entonces O debería tomar 5. Luego X toma 9 (en esta situación, O no debería tomar 3 o 7, O debería tomar 2, 4, 6 u 8):

• X1 → O5 → X9 → O2 → X8 → O7 → X3 → O6 → X4, este juego será un empate.

o 6 (en esta situación, O no debería tomar 4 o 7, O debería tomar 2, 3, 8 o 9. De hecho, tomar 9 es el mejor movimiento, ya que un jugador X no perfecto puede tomar 4, entonces O puede toma 7 para ganar).

• X1 → O5 → X6 → O2 → X8, entonces O no debería tomar 3, o X puede tomar 7 para ganar, y O no debería tomar 4, o X puede tomar 9 para ganar, O debería tomar 7 o 9.
  • X1 → O5 → X6 → O2 → X8 → O7 → X3 → O9 → X4, este juego será un empate.
  • X1 → O5 → X6 → O2 → X8 → O9 → X4 (7) → O7 (4) → X3, este juego será un empate.
• X1 → O5 → X6 → O3 → X7 → O4 → X8 (9) → O9 (8) → X2, este juego será un empate.
• X1 → O5 → X6 → O8 → X2 → O3 → X7 → O4 → X9, este juego será un empate.
• X1 → O5 → X6 → O9, entonces X no debería tomar 4, o O puede tomar 7 para ganar, X debería tomar 2, 3, 7 u 8.
  • X1 → O5 → X6 → O9 → X2 → O3 → X7 → O4 → X8, este juego será un empate.
  • X1 → O5 → X6 → O9 → X3 → O2 → X8 → O4 (7) → X7 (4), este juego será un empate.
  • X1 → O5 → X6 → O9 → X7 → O4 → X2 (3) → O3 (2) → X8, este juego será un empate.
  • X1 → O5 → X6 → O9 → X8 → O2 (3, 4, 7) → X4/7 (4/7, 2/3, 2/3) → O7/4 (7/4, 3/2, 3/ 2) → X3 (2, 7, 4), este juego será un empate.

En ambas situaciones (X toma 9 o 6 como segundo movimiento), X tiene una1/3propiedad para ganar.

Si X no es un jugador perfecto, X puede realizar 2 o 3 como segundo movimiento. Entonces este juego será un empate, X no puede ganar.

• X1 → O5 → X2 → O3 → X7 → O4 → X6 → O8 (9) → X9 (8), este juego será un empate.
• X1 → O5 → X3 → O2 → X8 → O4 (6) → X6 (4) → O9 (7) → X7 (9), este juego será un empate.

Si X realiza 1 movimiento inicial y O no es un jugador perfecto, puede suceder lo siguiente:

Aunque O toma la única posición buena (5) como primer movimiento, O toma una mala posición como segundo movimiento:

• X1 → O5 → X9 → O3 → X7, entonces X puede tomar 4 u 8 para ganar.
• X1 → O5 → X6 → O4 → X3, entonces X puede tomar 7 o 9 para ganar.
• X1 → O5 → X6 → O7 → X3, entonces X puede tomar 2 o 9 para ganar.

Aunque O toma buenas posiciones en los dos primeros movimientos, O toma una mala posición en el tercer movimiento:

• X1 → O5 → X6 → O2 → X8 → O3 → X7, entonces X puede tomar 4 o 9 para ganar.
• X1 → O5 → X6 → O2 → X8 → O4 → X9, entonces X puede tomar 3 o 7 para ganar.

O toma una mala posición como primer movimiento (excepto 5, todas las demás posiciones son malas):

• X1 → O3 → X7 → O4 → X9, entonces X puede tomar 5 u 8 para ganar.
• X1 → O9 → X3 → O2 → X7, entonces X puede tomar 4 o 5 para ganar.
• X1 → O2 → X5 → O9 → X7, entonces X puede tomar 3 o 4 para ganar.
• X1 → O6 → X5 → O9 → X3, entonces X puede tomar 2 o 7 para ganar.

Variaciones

Muchos juegos de mesa comparten el elemento de tratar de ser el primero en obtener n en fila, incluidos tres hombres morris , nueve hombres morris , pente , gomoku , Qubic , Connect Four , Quarto , Gobblet , Order and Chaos , Toss Across . y Mojo . Tic-tac-toe es un ejemplo de un juego m,n,k , donde dos jugadores se turnan para jugar en un tablero de m × n hasta que uno de ellos obtiene k seguidos. El tres en raya generalizado de Harary es una generalización aún más amplia. El juego se puede generalizar aún más jugando en un hipergrafo arbitrario , donde las filas son hiperbordes y las celdas son vértices .

Otras variaciones del tres en raya incluyen:

• Tres en raya tridimensional sobre un tablero de 3×3×3. En este juego, el primer jugador gana fácilmente jugando en el centro si juegan 2 personas.

Se puede jugar en un tablero de 4x4 casillas y ganar de varias formas. Ganar puede incluir: 4 en línea recta, 4 en línea diagonal, 4 en diamante o 4 para formar un cuadrado.

Otra variante, Qubic , se juega en un tablero de 4×4×4; Fue resuelto por Oren Patashnik en 1980 (el primer jugador puede forzar una victoria). ^[22] También son posibles mayores variaciones dimensionales. ^[6]

• En misère tres en raya, el jugador gana si el oponente consigue n seguidos. ^[23] Un juego de 3×3 es un empate. De manera más general, el primer jugador puede empatar o ganar en cualquier tablero (de cualquier dimensión) cuya longitud de lado sea impar, jugando primero en la celda central y luego reflejando los movimientos del oponente. ^[6]

• En el tres en raya "salvaje" , los jugadores pueden elegir colocar X u O en cada movimiento. ^{[24] [25] [26]}
• Number Scrabble o Pick15 ^[27] es isomorfo al tres en raya, pero en la superficie parece completamente diferente. ^[28] Dos jugadores dicen por turno un número entre uno y nueve. Un número determinado no podrá repetirse. El juego lo gana el jugador que ha dicho tres números cuya suma es 15. ^{[27] [29]} Si se usan todos los números y nadie obtiene tres números que suman 15 entonces el juego es un empate. ^[27] Trazar estos números en un cuadrado mágico de 3 × 3 muestra que el juego se corresponde exactamente con el tres en raya, ya que tres números se ordenarán en línea recta si y solo si suman 15. ^[30]

• Otro juego isomórfico utiliza una lista de nueve palabras cuidadosamente elegidas, por ejemplo "intentar", "estar", "en", "cualquiera", "barco", "por", "diez", "o" y "temer". . Cada jugador elige una palabra por turno y, para ganar, debe seleccionar tres palabras con la misma letra. Las palabras se pueden trazar en una cuadrícula de tres en raya de tal manera que gane una línea de tres en raya. ^[31]
• El tres en raya numérico es una variación inventada por el matemático Ronald Graham . En este juego se utilizan los números del 1 al 9. El primer jugador juega con los números impares, el segundo jugador juega con los números pares. Todos los números se pueden usar solo una vez. Gana el jugador que anota 15 puntos en una línea (suma de 3 números).
• En la década de 1970, había un juego para dos jugadores creado por Tri-ang Toys & Games llamado Check Lines , en el que el tablero constaba de once hoyos dispuestos en un patrón geométrico de doce líneas rectas, cada una de las cuales contenía tres de los hoyos. Cada jugador tenía exactamente cinco fichas y jugaba por turnos colocando una ficha en cualquiera de los hoyos. El ganador fue el primer jugador cuyas fichas estaban dispuestas en dos líneas de tres (que por definición eran líneas que se cruzaban ). Si ninguno de los jugadores había ganado en el décimo turno, los turnos siguientes consistían en mover una de las fichas al hoyo vacío restante, con la restricción de que este movimiento solo podía ser desde un hoyo adyacente. ^[32]
• También existe una variante del juego con el clásico campo 3×3, en el que es necesario hacer dos filas para ganar, mientras que el algoritmo contrario sólo necesita una. ^[33]
• El tres en raya cuántico permite a los jugadores colocar una superposición cuántica de números en el tablero, es decir, los movimientos de los jugadores son "superposiciones" de jugadas en el juego clásico original. Esta variación fue inventada por Allan Goff de Novatia Labs. ^[34]

En la cultura popular

• George Cooper escribió la letra y John Rogers Thomas escribió la música de la canción "Tit, Tac, Toe" en 1876. ^[35]
• El episodio 452 de This American Life ^[36] relata la historia real de un equipo de defensa legal que intentó revocar la decisión del estado de Florida de ejecutar a un asesino con enfermedad mental obteniendo como prueba un pollo que jugaba al tres en raya . Los juegos de arcade con gallinas que jugaban al tres en raya eran populares a mediados de la década de 1970; los animales fueron entrenados usando condicionamiento operante , ^[37] con los movimientos elegidos por computadora y indicados al pollo con una luz invisible para el jugador humano. ^[38]
• En la película de ciencia ficción WarGames de 1983 , la guerra termonuclear global se describe como similar al tres en raya, en el sentido de que si todas las partes participan en el uso a gran escala de sus arsenales con las estrategias más efectivas posibles, ninguna de las partes ganará realmente .

Varios programas de juegos se han basado en el tres en raya y sus variantes: ^{[ cita necesaria ]}

• En Hollywood Squares , nueve celebridades llenaron las celdas del tres en raya; Los jugadores colocan símbolos en el tablero al estar de acuerdo o en desacuerdo correctamente con la respuesta de una celebridad a una pregunta. Las variaciones del programa incluyen Storybook Squares y Hip Hop Squares . La versión británica fue Celebrity Squares . Australia tuvo varias versiones bajo los nombres de Celebrity Squares , Personality Squares y All Star Squares .
• En Tic-Tac-Dough , los jugadores colocan símbolos en el tablero respondiendo preguntas en varias categorías, que se barajan después de que ambos jugadores hayan realizado ambos turnos.
• En Beat the Teacher , los concursantes responden preguntas para ganar un turno para influir en una cuadrícula de tres en raya.
• En The Price Is Right , varias variantes nacionales presentan un juego de fijación de precios llamado "Secret X", en el que los jugadores deben adivinar los precios de dos premios pequeños para ganar X (además de una X gratis) para colocar en un tablero en blanco. Deben colocar las X en posición para adivinar la ubicación de la "X secreta" titular escondida en la columna central del tablero y formar una línea de tres en raya horizontal (a lo ancho) o diagonal (no se permiten líneas verticales). No hay Os en esta variante del juego.
• En Minute to Win It , el juego Ping Tac Toe tiene un concursante que juega con nueve vasos llenos de agua y pelotas de ping-pong blancas y naranjas, tratando de conseguir tres en fila de cualquier color. Deben alternar colores después de cada aterrizaje exitoso y deben tener cuidado de no bloquearse.

Ver también

• Teorema de Hales-Jewett
• m,n,k-juego
• Scrabble de números

Referencias

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enlaces externos

• La definición del diccionario de tres en raya en Wikcionario
• Medios relacionados con Tic Tac Toe en Wikimedia Commons
• "Tic-Tac-Toe". Wolfram MathWorld . 11 de marzo de 2002.
• "etimología: ¿por qué un empate en Tic-Tac-Toe se llama" juego del gato? ". Intercambio de pila de uso y idioma inglés . 5 de marzo de 2014.– Discusión sobre el término "juego del gato" para un juego de tres en raya