En geometría , la configuración de Möbius-Kantor es una configuración que consta de ocho puntos y ocho líneas, con tres puntos en cada línea y tres líneas a través de cada punto. No es posible dibujar puntos y líneas que tengan este patrón de incidencias en el plano euclidiano , pero sí en el plano proyectivo complejo .
August Ferdinand Möbius (1828) se preguntó si existe un par de polígonos con p lados cada uno, que tengan la propiedad de que los vértices de un polígono se encuentren en las líneas que pasan por los bordes del otro polígono, y viceversa. Si es así, los vértices y los bordes de estos polígonos formarían una configuración proyectiva . Porque no hay solución en el plano euclidiano , pero Seligmann Kantor (1882) encontró pares de polígonos de este tipo, para una generalización del problema en el que los puntos y los bordes pertenecen al plano proyectivo complejo . Es decir, en la solución de Kantor, las coordenadas de los vértices del polígono son números complejos . La solución de Kantor para , un par de cuadriláteros mutuamente inscritos en el plano proyectivo complejo, se llama configuración de Möbius-Kantor.
HSM Coxeter (1950) proporciona las siguientes coordenadas proyectivas complejas simples para los ocho puntos de la configuración de Möbius-Kantor:
donde ω denota una raíz cúbica compleja de 1 .
Los ocho puntos y ocho líneas de la configuración de Möbius-Kantor, con estas coordenadas, forman los ocho vértices y ocho 3-aristas del polígono complejo 3{3}3. [1] Coxeter lo denominó polígono de Möbius-Kantor .
De manera más abstracta, la configuración de Möbius-Kantor puede describirse como un sistema de ocho puntos y ocho tripletas de puntos de modo que cada punto pertenece exactamente a tres de las tripletas. Con las condiciones adicionales (naturales para los puntos y las líneas) de que ningún par de puntos pertenece a más de una tripleta y de que ninguna de dos tripletas tiene más de un punto en su intersección, dos sistemas cualesquiera de este tipo son equivalentes bajo alguna permutación de los puntos. Es decir, la configuración de Möbius-Kantor es la única configuración proyectiva de tipo (8 3 8 3 ).
El grafo de Möbius-Kantor recibe su nombre por ser el grafo de Levi de la configuración de Möbius-Kantor. Tiene un vértice por punto y un vértice por tripleta, con una arista que conecta dos vértices si corresponden a un punto y a una tripleta que contiene ese punto.
Los puntos y líneas de la configuración de Möbius-Kantor pueden describirse como un matroide , cuyos elementos son los puntos de la configuración y cuyos planos no triviales son las líneas de la configuración. En este matroide, un conjunto S de puntos es independiente si y solo si o S consiste en tres puntos no colineales. Como matroide, se lo ha llamado el matroide de MacLane , después del trabajo de Saunders MacLane (1936) que demostró que no puede orientarse ; es uno de varios matroides no orientables mínimos menores conocidos . [2]
También es de interés la solución del problema de Möbius de polígonos mutuamente inscritos para valores de p mayores que cuatro. En particular, una posible solución para es la configuración de Desargues , un conjunto de diez puntos y diez líneas, tres puntos por línea y tres líneas por punto, que sí admite una realización euclidiana. La configuración de Möbius es un análogo tridimensional de la configuración de Möbius-Kantor que consiste en dos tetraedros mutuamente inscritos.
La configuración de Möbius-Kantor se puede aumentar añadiendo cuatro líneas a través de los cuatro pares de puntos que no están conectados por líneas, y añadiendo un noveno punto en las cuatro nuevas líneas. La configuración resultante, la configuración de Hesse , comparte con la configuración de Möbius-Kantor la propiedad de ser realizable con coordenadas complejas pero no con coordenadas reales. [3] Eliminar cualquier punto de la configuración de Hesse produce una copia de la configuración de Möbius-Kantor. Ambas configuraciones también se pueden describir algebraicamente en términos del grupo abeliano con nueve elementos. Este grupo tiene cuatro subgrupos de orden tres (los subconjuntos de elementos de la forma , , y respectivamente), cada uno de los cuales se puede utilizar para dividir los nueve elementos del grupo en tres clases laterales de tres elementos por clase lateral. Estos nueve elementos y doce clases laterales forman la configuración de Hesse. Eliminar el elemento cero y las cuatro clases laterales que contienen cero da lugar a la configuración de Möbius-Kantor.
