En geometría , la configuración de Möbius o tétradas de Möbius es una configuración determinada en el espacio euclidiano o espacio proyectivo , formada por dos tetraedros que están inscritos mutuamente : cada vértice de un tetraedro se encuentra en un plano frontal del otro tetraedro y viceversa. Así, para el sistema resultante de ocho puntos y ocho planos, cada punto se encuentra en cuatro planos (los tres planos lo definen como un vértice de un tetraedro y el cuarto plano del otro tetraedro en el que se encuentra), y cada plano contiene cuatro puntos (los tres vértices del tetraedro de su cara y el vértice del otro tetraedro que se encuentra sobre ella).
La configuración lleva el nombre de August Ferdinand Möbius , quien en 1828 demostró que, si dos tetraedros tienen la propiedad de que siete de sus vértices se encuentran en planos de cara correspondientes del otro tetraedro, entonces el octavo vértice también se encuentra en el plano de su cara correspondiente. formando una configuración de este tipo. Este teorema de incidencia es cierto de manera más general en un espacio proyectivo tridimensional si y sólo si el teorema de Pappus se cumple para ese espacio ( Reidemeister , Schönhardt ), y es cierto para un espacio tridimensional modelado sobre un anillo de división si y sólo si el El anillo satisface la ley conmutativa y, por tanto, es un campo (Al-Dhahir). Por dualidad proyectiva , el resultado de Möbius equivale a la afirmación de que, si siete de los ocho planos de caras de dos tetraedros contienen los vértices correspondientes del otro tetraedro, entonces el octavo plano de caras también contiene el mismo vértice.
Coxeter (1950) describe una construcción simple para la configuración. Comenzando con un punto arbitrario p en el espacio euclidiano, sean A, B, C, D cuatro planos que pasan por p , ninguno de los cuales comparte una línea de intersección común, y coloque los seis puntos q, r, s, t, u, v en las seis líneas formadas por la intersección por pares de estos planos de tal manera que cuatro de estos puntos no sean coplanares. Para cada uno de los planos A, B, C, D , cuatro de los siete puntos p, q, r, s, t, u, v se encuentran en ese plano y tres están separados de él; forman los planos A', B', C', D' a través de las tripletas de puntos disjuntos de A, B, C, D respectivamente. Entonces, según la forma dual del teorema de Möbius, estos cuatro nuevos planos se encuentran en un solo punto w . Los ocho puntos p, q, r, s, t, u, v, w y los ocho planos A, B, C, D, A', B', C', D' forman un ejemplo de la configuración de Möbius.
Hilbert y Cohn-Vossen (1952) afirman (sin referencias) que hay cinco configuraciones que tienen ocho puntos y ocho planos con cuatro puntos en cada plano y cuatro planos que pasan por cada punto que son realizables en el espacio euclidiano tridimensional: tales configuraciones tienen la notación taquigráfica 8 4 . Deben haber obtenido su información del artículo de Ernst Steinitz (1910). En realidad, esto establece, dependiendo de los resultados de P. Muth (1892), G. Bauer (1897) y V. Martinetti (1897), que hay cinco configuraciones de 8 4 con la propiedad de que como máximo dos planos tienen dos puntos en común. , y dualmente como máximo dos puntos son comunes a dos planos. (Esta condición significa que cada tres puntos pueden ser no colineales y que tres planos duales pueden no tener una línea en común). Sin embargo, hay otras diez configuraciones de 8 4 que no tienen esta condición, y las quince configuraciones son realizables en condiciones reales. espacio tridimensional. Las configuraciones de interés son aquellas con dos tetraedros, cada uno de los cuales se inscribe y circunscribe al otro, y éstas son precisamente aquellas que satisfacen la propiedad anterior. Por tanto, hay cinco configuraciones con tetraedros y corresponden a las cinco clases de conjugación del grupo simétrico S 4 . Se obtiene una permutación de los cuatro puntos de un tetraedro S = ABCD hacia sí mismo de la siguiente manera: cada punto P de S está en un plano que contiene tres puntos del segundo tetraedro T. Esto deja el otro punto de T , que está en tres puntos de un plano de S , dejando otro punto Q de S , por lo que la permutación mapea P → Q. Las cinco clases de conjugación tienen representantes e, (12)(34), (12), (123), (1234) y, de estos, la configuración de Möbius corresponde a la clase de conjugación e . Podría denotarse Ke . Steinitz afirma que si dos de los tetraedros complementarios de Ke son A 0 , B 0 , C 0 , D 0 y A 1 , B 1 , C 1 , D 1 , entonces los ocho planos están dados por A i , B j , C k , D l con i +j + k + l impar, mientras que las sumas pares y sus complementos corresponden a todos los pares de tetraedros complementarios que in- y circunscriben en el modelo de Ke .
Steinitz también afirma que el único S 4 que es un teorema geométrico es la configuración de Möbius. Sin embargo, esto es discutible: Glynn (2010) muestra mediante búsquedas y pruebas informáticas que hay precisamente dos S 4 que en realidad son "teoremas": la configuración de Möbius y otra. Este último (que corresponde a la clase de conjugación (12)(34) anterior) también es un teorema para todos los espacios proyectivos tridimensionales sobre un campo , pero no sobre un anillo de división general . Hay otras similitudes cercanas entre las dos configuraciones, incluido el hecho de que ambas son autoduales bajo la dualidad Matroid . En términos abstractos, la última configuración tiene "puntos" 0,..., 7 y "planos" 0125 + i , ( i = 0,..., 7) , donde estos números enteros son módulo ocho. Esta configuración, al igual que Möbius, también se puede representar como dos tetraedros, mutuamente inscritos y circunscritos: en la representación entera los tetraedros pueden ser 0347 y 1256 . Sin embargo, estas dos configuraciones S 4 no son isomorfas, ya que Möbius tiene cuatro pares de planos disjuntos, mientras que el último no tiene planos disjuntos. Por una razón similar (y porque los pares de planos son superficies cuadráticas degeneradas), la configuración de Möbius se encuentra en superficies más cuadráticas del espacio tridimensional que la última configuración.
El gráfico de Levi de la configuración de Möbius tiene 16 vértices, uno para cada punto o plano de la configuración, con una arista para cada par de punto-plano incidente. Es isomorfo al gráfico de hipercubo de 16 vértices Q 4 . Una configuración estrechamente relacionada, la configuración de Möbius-Kantor formada por dos cuadriláteros inscritos mutuamente, tiene el gráfico de Möbius-Kantor , un subgrafo de Q 4 , como gráfico de Levi.
