En geometría , la configuración de Desargues es una configuración de diez puntos y diez líneas, con tres puntos por línea y tres líneas por punto. Lleva el nombre de Girard Desargues .
La configuración de Desargues se puede construir en dos dimensiones a partir de los puntos y líneas que aparecen en el teorema de Desargues , en tres dimensiones a partir de cinco planos en posición general , o en cuatro dimensiones a partir del simplex regular de cuatro dimensiones de 5 celdas . Tiene un gran grupo de simetrías, llevando cualquier punto a cualquier otro punto y cualquier recta a cualquier otra recta. También es autodual, lo que significa que si los puntos se reemplazan por líneas y viceversa usando dualidad proyectiva , se obtiene la misma configuración.
Los gráficos asociados con la configuración de Desargues incluyen el gráfico de Desargues (su gráfico de incidencias de líneas puntuales) y el gráfico de Petersen (su gráfico de líneas no incidentes). La configuración de Desargues es una de diez configuraciones diferentes con diez puntos y líneas, tres puntos por línea y tres líneas por punto, nueve de las cuales se pueden realizar en el plano euclidiano .
Se dice que dos triángulos y están en perspectiva central si las líneas , y se encuentran en un punto común, llamado centro de perspectiva . Están en perspectiva axialmente si los puntos de intersección de los lados correspondientes del triángulo, , y todos se encuentran en una línea común, el eje de perspectiva . El teorema de Desargues en geometría establece que estas dos condiciones son equivalentes: si dos triángulos están en perspectiva central, entonces también deben estar en perspectiva axialmente, y viceversa. Cuando esto sucede, los diez puntos y las diez líneas de las dos perspectivas (los seis vértices del triángulo, los tres puntos de cruce y el centro de la perspectiva, y los seis lados del triángulo, las tres líneas que pasan por los correspondientes pares de vértices y el eje de la perspectiva) juntos forman una instancia de la configuración de Desargues. [1]
Aunque puede estar incrustada en dos dimensiones, la configuración de Desargues tiene una construcción muy simple en tres dimensiones: para cualquier configuración de cinco planos en posición general en el espacio euclidiano , los diez puntos donde se encuentran los tres planos y las diez líneas formadas por la intersección de dos de los planos juntos forman una instancia de la configuración. [2] Esta construcción está estrechamente relacionada con la propiedad de que cada plano proyectivo que puede incrustarse en un espacio proyectivo tridimensional obedece al teorema de Desargues. Esta realización tridimensional de la configuración de Desargues también se denomina pentaedro completo . [2]
El pentatopo de 5 celdas (un símplex regular en cuatro dimensiones) tiene cinco vértices , diez aristas , diez crestas triangulares (caras bidimensionales) y cinco facetas tetraédricas ; los bordes y las crestas se tocan entre sí en el mismo patrón que la configuración de Desargues. Extienda cada uno de los bordes de las 5 celdas hasta la línea que lo contiene (su casco afín ), de manera similar extienda cada triángulo de las 5 celdas hasta el plano bidimensional que lo contiene e interseque estas líneas y planos por tres. Hiperplano dimensional que no contiene ni es paralelo a ninguno de ellos. Cada línea interseca al hiperplano en un punto y cada plano interseca al hiperplano en una línea; Estos diez puntos y líneas forman una instancia de la configuración de Desargues. [2]
Aunque el teorema de Desargues elige diferentes roles para sus diez líneas y puntos, la configuración de Desargues en sí es más simétrica : cualquiera de los diez puntos puede ser elegido como el centro de la perspectiva, y esa elección determina qué seis puntos serán los vértices de los triángulos. y qué línea será el eje de perspectiva. La configuración de Desargues tiene un grupo de simetría de orden 120; es decir, hay 120 formas diferentes de permutar los puntos y líneas de la configuración de manera que se conserven sus incidencias entre líneas de puntos. [3] La construcción tridimensional de la configuración de Desargues hace que estas simetrías sean más evidentes: si la configuración se genera a partir de cinco planos en posición general en tres dimensiones, entonces cada una de las 120 permutaciones diferentes de estos cinco planos corresponde a una simetría de La configuración. [2]
La configuración de Desargues es autodual, lo que significa que es posible encontrar una correspondencia desde puntos de una configuración de Desargues con líneas de una segunda configuración, y desde líneas de la primera configuración con puntos de una segunda configuración, de tal manera que todas Se conservan todas las incidencias de la configuración. [4]
El gráfico de Levi de la configuración de Desargues, un gráfico que tiene un vértice para cada punto o línea de la configuración, se conoce como gráfico de Desargues . Debido a las simetrías y la autodualidad de la configuración de Desargues, el gráfico de Desargues es un gráfico simétrico . [1]
Kempe (1886) dibuja un gráfico diferente para esta configuración, con diez vértices que representan sus diez líneas, y con dos vértices conectados por una arista siempre que las dos líneas correspondientes no se encuentren en uno de los puntos de la configuración. Alternativamente, los vértices de este gráfico pueden interpretarse como representantes de los puntos de la configuración de Desargues, en cuyo caso los bordes conectan pares de puntos para los cuales la línea que los conecta no es parte de la configuración. Esta publicación marca la primera aparición conocida del gráfico de Petersen en la literatura matemática, 12 años antes de que Julius Petersen usara el mismo gráfico como contraejemplo de un problema de coloración de bordes . [5]
Como configuración proyectiva, la configuración de Desargues tiene la notación (10 3 10 3 ), lo que significa que cada uno de sus diez puntos incide en tres líneas y cada una de sus diez líneas incide en tres puntos. Sus diez puntas pueden verse de manera única como un par de pentágonos inscritos mutuamente, o como un decágono autoinscrito . [6] El gráfico de Desargues , un gráfico cúbico simétrico bipartito de 20 vértices , se llama así porque puede interpretarse como el gráfico de Levi de la configuración de Desargues, con un vértice para cada punto y línea de la configuración y una arista para cada incidente. par punto-línea. [1]
También existen otras ocho configuraciones (10 3 10 3 ) (es decir, conjuntos de puntos y líneas en el plano euclidiano con tres líneas por punto y tres puntos por línea) que no son isomorfas de incidencia a la configuración de Desargues, una de las cuales se muestra a la derecha. Existe una décima configuración como geometría finita abstracta , pero no se puede realizar utilizando puntos y líneas euclidianas. [7] En todas estas configuraciones, cada punto tiene otros tres puntos que no son colineales con él. Pero en la configuración de Desargues, estos tres puntos siempre son colineales entre sí (si el punto elegido es el centro de perspectiva, entonces los tres puntos forman el eje de perspectiva), mientras que en la otra configuración que se muestra en la ilustración estos tres puntos forman un Triángulo de tres líneas. Al igual que con la configuración de Desargues, la otra configuración representada puede verse como un par de pentágonos inscritos mutuamente. [8]
