En geometría , una configuración de Sylvester-Gallai consiste en un subconjunto finito de los puntos de un espacio proyectivo con la propiedad de que la línea que pasa por cualesquiera dos de los puntos del subconjunto también pasa por al menos otro punto del subconjunto.
En lugar de definir las configuraciones de Sylvester-Gallai como subconjuntos de los puntos de un espacio proyectivo, se las puede definir como estructuras de incidencia abstractas de puntos y líneas, que satisfacen las propiedades de que, para cada par de puntos, la estructura incluye exactamente una línea que contiene el par y que cada línea contiene al menos tres puntos. En esta forma más general, también se las llama diseños de Sylvester-Gallai . Un concepto estrechamente relacionado es el de matroide de Sylvester , un matroide con la misma propiedad que una configuración de Sylvester-Gallai de no tener líneas de dos puntos.
En el plano euclidiano , el plano proyectivo real , los espacios euclidianos de dimensiones superiores o los espacios proyectivos reales, o los espacios con coordenadas en un cuerpo ordenado , el teorema de Sylvester-Gallai muestra que las únicas configuraciones de Sylvester-Gallai posibles son unidimensionales: consisten en tres o más puntos colineales. Jean-Pierre Serre (1966) se inspiró en este hecho y en el ejemplo de la configuración de Hesse para preguntar si, en espacios con coordenadas de números complejos, cada configuración de Sylvester-Gallai es como máximo bidimensional. Erdős (1980) repitió la pregunta. Kelly (1986) respondió afirmativamente a la pregunta de Serre; Elkies, Pretorius y Swanepoel (2006) simplificaron la prueba de Kelly y demostraron análogamente que en espacios con coordenadas de cuaterniones , todas las configuraciones de Sylvester-Gallai deben estar dentro de un subespacio tridimensional.
Motzkin (1951) estudió las configuraciones proyectivas que también son configuraciones de Sylvester-Gallai; una configuración proyectiva tiene el requisito adicional de que cada dos puntos tengan el mismo número de líneas que los atraviesen y cada dos líneas contengan el mismo número de puntos. Las configuraciones de Sylvester-Gallai incluyen, por ejemplo, los espacios afines y proyectivos de cualquier dimensión definidos sobre cuerpos finitos, y todos ellos también son configuraciones proyectivas.
A cada configuración proyectiva se le puede dar una notación ( p a ℓ b ), donde p es el número de puntos, ℓ el número de líneas, a el número de líneas por punto y b el número de puntos por línea, satisfaciendo la ecuación pa = ℓb . Motzkin observó que, para que estos parámetros definan un diseño de Sylvester-Gallai, es necesario que b > 2, que p < ℓ (para cualquier conjunto de puntos no colineales en un espacio proyectivo determina al menos tantas líneas como puntos) y que también obedecen a la ecuación adicional
Porque, el lado izquierdo de la ecuación es el número de pares de puntos, y el lado derecho es el número de pares que están cubiertos por líneas de la configuración.
Los diseños de Sylvester-Gallai que también son configuraciones proyectivas son lo mismo que los sistemas de Steiner con parámetros ST(2, b , p ).
Motzkin enumeró varios ejemplos de pequeñas configuraciones de este tipo:
Boros, Füredi y Kelly (1989) y Bokowski y Richter-Gebert (1992) estudiaron representaciones geométricas alternativas de los diseños de Sylvester-Gallai, en los que los puntos del diseño están representados por líneas oblicuas en un espacio de cuatro dimensiones y cada línea del diseño está representada por un hiperplano. Tanto el plano proyectivo de siete puntos como el de trece puntos tienen representaciones de este tipo.
Kelly y Nwankpa (1973) clasificaron de manera más general todas las configuraciones no colineales de Sylvester-Gallai y los diseños de Sylvester-Gallai con un máximo de 14 puntos. Incluyen un diseño único con diez puntos; en él, algunos puntos están contenidos en tres líneas de cuatro puntos mientras que otros puntos pertenecen a tres líneas de tres puntos y una línea de cuatro puntos. También hay un diseño único de Sylvester-Gallai de 11 puntos, dos diseños diferentes de 12 puntos y cuatro diseños irregulares de 13 puntos. Para 14 puntos, descubrieron que nuevamente solo había un diseño posible de Sylvester-Gallai.
