En geometría , la configuración de Pappus es una configuración de nueve puntos y nueve rectas en el plano euclidiano , con tres puntos por recta y tres rectas que pasan por cada punto. [1]
Esta configuración lleva el nombre de Pappus de Alejandría . El teorema del hexágono de Pappus establece que cada dos tripletas de puntos colineales ABC y abc (ninguno de los cuales se encuentra en la intersección de las dos líneas) se pueden completar para formar una configuración de Pappus, sumando las seis líneas Ab , aB , Ac , aC , Bc. , y bC , y sus tres puntos de intersección X = Ab · aB , Y = Ac · aC y Z = Bc · bC . Estos tres puntos son los puntos de intersección de los lados "opuestos" del hexágono AbCaBc . Según el teorema de Pappus, el sistema resultante de nueve puntos y ocho líneas siempre tiene una novena línea que contiene los tres puntos de intersección X , Y y Z , llamada línea de Pappus . [2]
La configuración de Pappus también se puede derivar de dos triángulos △ XcC y △ YbB que están en perspectiva entre sí (las tres líneas que pasan por pares de puntos correspondientes se encuentran en un único punto de cruce) de tres maneras diferentes, junto con sus tres centros de perspectiva. Z , a y A . Los puntos de la configuración son los puntos de los triángulos y centros de perspectiva, y las líneas de la configuración son las líneas que pasan por pares de puntos correspondientes.
El gráfico de Levi de la configuración de Pappus se conoce como gráfico de Pappus . Es un gráfico cúbico simétrico bipartito con 18 vértices y 27 aristas. [3]
Agregar tres líneas paralelas más a la configuración de Pappus, a través de cada triple de puntos que aún no están conectados por líneas de la configuración, produce la configuración de Hesse . [4]
Al igual que la configuración de Pappus, la configuración de Desargues se puede definir en términos de triángulos en perspectiva, y la configuración de Reye se puede definir de manera análoga a partir de dos tetraedros que están en perspectiva entre sí de cuatro maneras diferentes, formando un sistema désmico de tetraedros.
Para cualquier curva plana cúbica no singular en el plano euclidiano, tres puntos de inflexión reales de la curva y un cuarto punto en la curva, existe una manera única de completar estos cuatro puntos para formar una configuración de Pappus de tal manera que los nueve puntos yacer en la curva. [5]
Una variante de la configuración Pappus proporciona una solución al problema de plantación de huertos , el problema de encontrar conjuntos de puntos que tengan el mayor número posible de líneas que pasen por tres puntos. Los nueve puntos de la configuración Pappus forman sólo nueve líneas de tres puntos. Sin embargo, se pueden disponer de manera que haya otra línea de tres puntos, haciendo un total de diez. Este es el número máximo posible de líneas de tres puntos que pasan por nueve puntos. [6]