En geometría , la configuración de Reye , introducida por Theodor Reye (1882), es una configuración de 12 puntos y 16 líneas . Cada punto de la configuración pertenece a cuatro líneas, y cada línea contiene tres puntos. Por lo tanto, en la notación de configuraciones, la configuración de Reye se escribe como 12 4 16 3 .
La configuración de Reye se puede realizar en el espacio proyectivo tridimensional tomando las líneas como las 12 aristas y cuatro diagonales largas de un cubo , y los puntos como los ocho vértices del cubo, su centro y los tres puntos donde grupos de cuatro aristas paralelas del cubo se encuentran con el plano en el infinito. Dos tetraedros regulares pueden inscribirse dentro de un cubo, formando una stella octangula ; estos dos tetraedros son figuras en perspectiva entre sí de cuatro maneras diferentes, y los otros cuatro puntos de la configuración son sus centros de perspectividad. Estos dos tetraedros junto con el tetraedro de los 4 puntos restantes forman un sistema désmico de tres tetraedros.
Dos esferas disjuntas cualesquiera en el espacio tridimensional, con radios diferentes, tienen dos conos dobles bitangentes , cuyos vértices se denominan centros de similitud. Si se dan tres esferas, con sus centros no colineales, entonces sus seis centros de similitud forman los seis puntos de un cuadrilátero completo , cuyas cuatro líneas se denominan ejes de similitud. Y si se dan cuatro esferas, con sus centros no coplanares, entonces determinan 12 centros de similitud y 16 ejes de similitud, que juntos forman una instancia de la configuración de Reye (Hilbert y Cohn-Vossen 1952).
La configuración de Reye también puede realizarse mediante puntos y líneas en el plano euclidiano , dibujando la configuración tridimensional en perspectiva de tres puntos . Una configuración 8 3 12 2 de ocho puntos en el plano proyectivo real y 12 líneas que los conectan, con el patrón de conexión de un cubo, puede extenderse para formar la configuración de Reye si y solo si los ocho puntos son una proyección en perspectiva de un paralelepípedo (Servatius & Servatius 2010)
Las 24 permutaciones de los puntos forman los vértices de un sistema de 24 celdas centrado en el origen del espacio euclidiano de cuatro dimensiones. Estos 24 puntos también forman las 24 raíces en el sistema de raíces . Se pueden agrupar en pares de puntos opuestos entre sí en una línea que pasa por el origen. Las 12 líneas de eje se pueden agrupar en 16 triples que se encuentran en el mismo plano central de las 24 celdas. Cada plano central interseca 6 vértices en forma de un hexágono regular. Cuatro hexágonos se intersecan en cada vértice de las 24 celdas. Las 12 líneas de eje y los 16 planos hexagonales de las 24 celdas corresponden a los 12 puntos y 16 líneas de la configuración de Reye (Aravind 2000).
Las líneas y planos que pasan por el origen del espacio euclidiano de cuatro dimensiones tienen la geometría de los puntos y líneas del espacio proyectivo tridimensional , y en este espacio proyectivo tridimensional las líneas que pasan por pares opuestos de estos 24 puntos y los planos centrales que pasan por estos puntos se convierten en los puntos y líneas de la configuración de Reye (Manivel 2006). Las permutaciones de forman las coordenadas homogéneas de los 12 puntos en esta configuración.
Aravind (2000) señaló que la configuración de Reye subyace a algunas de las pruebas del teorema de Bell-Kochen-Specker sobre la no existencia de variables ocultas en la mecánica cuántica.
La configuración de Pappus puede formarse a partir de dos triángulos que son figuras en perspectiva entre sí de tres maneras diferentes, análoga a la interpretación de la configuración de Reye que involucra tetraedros désmicos.
Si la configuración de Reye se forma a partir de un cubo en el espacio tridimensional, entonces hay 12 planos que contienen cuatro líneas cada uno: los seis planos de las caras del cubo y los seis planos que pasan por pares de aristas opuestas del cubo. La intersección de estos 12 planos y 16 líneas con otro plano en posición general produce una configuración 16 3 12 4 , el dual de la configuración de Reye. La configuración de Reye original y su dual juntos forman una configuración 28 4 28 4 (Grünbaum y Rigby 1990).
Hay 574 configuraciones distintas del tipo 12 4 16 3 (Betten y Betten 2005).
