En mecánica cuántica , el teorema de Kochen-Specker ( KS ) , también conocido como teorema de Bell-KS , [1] es un teorema "no válido" [2] demostrado por John S. Bell en 1966 [3] y por Simon B. Kochen y Ernst Specker en 1967 [4]. Impone ciertas restricciones a los tipos permisibles de teorías de variables ocultas , que intentan explicar las predicciones de la mecánica cuántica de una manera independiente del contexto. La versión del teorema demostrada por Kochen y Specker también dio un ejemplo explícito de esta restricción en términos de un número finito de vectores de estado.
El teorema de Kochen-Specker es un complemento del teorema de Bell . Mientras que el teorema de Bell estableció que la no localidad es una característica de cualquier teoría de variables ocultas que recupere las predicciones de la mecánica cuántica, el teorema de Kochen-Specker estableció que la contextualidad es una característica inevitable de tales teorías. [1]
El teorema demuestra que existe una contradicción entre dos supuestos básicos de las teorías de variables ocultas destinadas a reproducir los resultados de la mecánica cuántica: que todas las variables ocultas correspondientes a observables mecánicos cuánticos tienen valores definidos en cualquier momento dado, y que los valores de esas variables son intrínsecos e independientes del dispositivo utilizado para medirlos. La contradicción es causada por el hecho de que los observables mecánicos cuánticos no necesitan ser conmutativos . Resulta imposible incrustar simultáneamente todas las subálgebras conmutativas del álgebra de estos observables en un álgebra conmutativa, que se supone representa la estructura clásica de la teoría de variables ocultas, si la dimensión del espacio de Hilbert es al menos tres.
El teorema de Kochen-Specker excluye las teorías de variables ocultas que suponen que todos los elementos de la realidad física pueden representarse de manera consistente y simultánea mediante el formalismo del espacio de Hilbert de la mecánica cuántica, sin tener en cuenta el contexto de un marco particular (técnicamente, una descomposición proyectiva del operador identidad) relacionado con el experimento o el punto de vista analítico en consideración. Como lo expresan sucintamente Isham y Butterfield [ 5] (bajo el supuesto de un espacio muestral probabilístico universal como en las teorías de variables ocultas no contextuales), el teorema de Kochen-Specker "afirma la imposibilidad de asignar valores a todas las cantidades físicas mientras que, al mismo tiempo, se preservan las relaciones funcionales entre ellas".
El teorema de KS es un paso importante en el debate sobre la (in)completitud de la mecánica cuántica, impulsado en 1935 por la crítica del supuesto de completitud de Copenhague en el artículo de Einstein, Podolsky y Rosen, creando la llamada paradoja EPR . Esta paradoja se deriva de la suposición de que un resultado de medición mecánico-cuántico se genera de manera determinista como consecuencia de la existencia de un elemento de la realidad física que se supone presente antes de la medición como una propiedad del objeto microscópico. En el artículo EPR se asumió que el valor medido de un observable mecánico-cuántico puede desempeñar el papel de tal elemento de la realidad física. Como consecuencia de esta suposición metafísica, la crítica EPR no fue tomada muy en serio por la mayoría de la comunidad de físicos. Además, en su respuesta [6], Bohr había señalado una ambigüedad en el artículo del EPR, en el sentido de que supone que se puede suponer que nada habría cambiado en los resultados distantes de las mediciones al cambiar la base de medición local, incluso si todo el contexto universal fuera diferente. Tener en cuenta la contextualidad que surge de la disposición de la medición, según Bohr, invalidaría el razonamiento del EPR. Posteriormente, Einstein [7] observó que la confianza de Bohr en la contextualidad implica no localidad ("acción fantasmal a distancia") y que, en consecuencia, uno tendría que aceptar la incompletitud si quisiera evitar la no localidad.
En los años 1950 y 1960 se abrieron dos líneas de desarrollo para aquellos que no eran reacios a la metafísica, ambas líneas mejorando un teorema de "no-go" presentado por von Neumann , [8] que pretendía demostrar la imposibilidad de que las teorías de variables ocultas produzcan los mismos resultados que la mecánica cuántica. Primero, Bohm desarrolló una interpretación de la mecánica cuántica , generalmente aceptada como una teoría de variables ocultas que sustenta la mecánica cuántica. La no localidad de la teoría de Bohm indujo a Bell a asumir que la realidad cuántica es no local, y que probablemente solo las teorías locales de variables ocultas están en desacuerdo con la mecánica cuántica. Más importante aún, Bell logró elevar el problema del nivel de la metafísica al de la física al derivar una desigualdad, la desigualdad de Bell , que es capaz de ser probada experimentalmente.
Una segunda línea es la de Kochen-Specker. La diferencia esencial con el enfoque de Bell es que la posibilidad de sustentar la mecánica cuántica mediante una teoría de variables ocultas se aborda independientemente de cualquier referencia a la localidad o no localidad, pero en su lugar se hace una restricción más fuerte que la localidad, a saber, que las variables ocultas están asociadas exclusivamente con el sistema cuántico que se mide; ninguna está asociada con el aparato de medición. Esto se llama el supuesto de no contextualidad. La contextualidad está relacionada aquí con la incompatibilidad de los observables mecánico-cuánticos, estando asociada la incompatibilidad con la exclusividad mutua de los arreglos de medición. El teorema de Kochen-Specker establece que ningún modelo de variables ocultas no contextual puede reproducir las predicciones de la teoría cuántica cuando la dimensión del espacio de Hilbert es tres o más.
Bell publicó una demostración del teorema de Kochen-Specker en 1966, en un artículo que había sido enviado a una revista antes que su famoso artículo sobre la desigualdad de Bell, pero que se perdió en el escritorio de un editor durante dos años. Demostraciones considerablemente más simples que la de Kochen-Specker fueron dadas posteriormente, entre otros, por Mermin [9] [10] y por Peres [11] . Sin embargo, muchas de las demostraciones más simples sólo establecen el teorema para espacios de Hilbert de dimensión superior, por ejemplo, de dimensión cuatro.
La primera prueba experimental de contextualidad se realizó en 2000, [12] y en 2022 se logró una versión sin lagunas de detección, nitidez y compatibilidad. [13]
El teorema KS explora si es posible incrustar el conjunto de observables mecánico-cuánticos en un conjunto de cantidades clásicas , a pesar del hecho de que todas las cantidades clásicas son mutuamente compatibles. La primera observación hecha en el artículo de Kochen-Specker es que esto es posible de una manera trivial, es decir, ignorando la estructura algebraica del conjunto de observables mecánico-cuánticos. De hecho, sea p A ( a k ) la probabilidad de que el observable A tenga valor a k , entonces el producto Π A p A ( a k ), tomado sobre todos los observables posibles A , es una distribución de probabilidad conjunta válida , que produce todas las probabilidades de observables mecánico-cuánticos tomando marginales . Kochen y Specker señalan que esta distribución de probabilidad conjunta no es aceptable, sin embargo, ya que ignora todas las correlaciones entre los observables. Por lo tanto, en mecánica cuántica A 2 tiene valor a k 2 si A tiene valor a k , lo que implica que los valores de A y A 2 están altamente correlacionados.
De manera más general, Kochen y Specker exigen que para una función arbitraria f el valor del observable satisfaga
Si A 1 y A 2 son observables compatibles (conmensurables), entonces, por la misma razón, deberíamos tener las dos igualdades siguientes:
y real, y
El primero de ellos es un debilitamiento considerable en comparación con el supuesto de von Neumann de que esta igualdad debería cumplirse independientemente de si A 1 y A 2 son compatibles o incompatibles. Kochen y Specker fueron capaces de demostrar que una asignación de valor no es posible ni siquiera sobre la base de estos supuestos más débiles. Para ello, restringieron los observables a una clase especial, a saber, los denominados observables sí-no, que tienen solo valores 0 y 1, correspondientes a operadores de proyección sobre los vectores propios de ciertas bases ortogonales de un espacio de Hilbert.
Como el espacio de Hilbert es al menos tridimensional, pudieron encontrar un conjunto de 117 operadores de proyección de este tipo, sin permitir atribuir a cada uno de ellos de manera unívoca ni el valor 0 ni el 1. En lugar de la prueba bastante complicada de Kochen y Specker, es más esclarecedor reproducir aquí una de las pruebas mucho más simples dadas mucho más tarde, que emplea un número menor de operadores de proyección, pero solo demuestra el teorema cuando la dimensión del espacio de Hilbert es al menos 4. Resulta que es posible obtener un resultado similar sobre la base de un conjunto de solo 18 operadores de proyección. [14]
Para ello, basta con darse cuenta de que si u 1 , u 2 , u 3 y u 4 son los cuatro vectores ortogonales de una base ortogonal en el espacio de Hilbert de cuatro dimensiones, entonces los operadores de proyección P 1 , P 2 , P 3 , P 4 sobre estos vectores son todos conmutativos entre sí (y, por lo tanto, corresponden a observables compatibles, lo que permite una atribución simultánea de los valores 0 o 1).
resulta que
Pero desde entonces
de ello se deduce que = 0 o 1, , de los cuatro valores uno debe ser 1, mientras que los otros tres deben ser 0.
Cabello, [15] [16] ampliando un argumento desarrollado por Kernaghan [17] consideró 9 bases ortogonales, cada base corresponde a una columna de la siguiente tabla, en la que se muestran explícitamente los vectores base. Las bases se eligen de tal manera que cada proyector aparezca en exactamente dos contextos, estableciendo así relaciones funcionales entre contextos.
Ahora bien, el teorema de "no ir" se deduce al asegurar que lo siguiente es imposible: colocar un valor, ya sea un 1 o un 0, en cada compartimento de la tabla anterior de tal manera que:
En realidad, ahora lo único que tenemos que hacer es preguntarnos cuántas veces debería aparecer el valor 1 en la tabla. Por un lado, (a) implica que el 1 debería aparecer 9 veces: hay 9 columnas y (a) dice que el 1 debería aparecer exactamente una vez por columna. Por otro lado, (b) implica que el 1 debería aparecer un número par de veces: todos los compartimentos vienen en pares del mismo color, y (b) dice que si un miembro de un par contiene el 1, entonces el otro miembro también debe contener el 1. Para repetir, (a) dice que el 1 aparece 9 veces, mientras que (b) dice que aparece un número par de veces. Como el 9 no es par, se deduce que (a) y (b) son mutuamente contradictorias; ninguna distribución de 1 y 0 en los compartimentos podría satisfacer ambas.
La prueba habitual del teorema de Bell ( desigualdad CHSH ) también se puede convertir en una prueba simple del teorema KS en dimensión al menos 4. La configuración de Bell implica cuatro mediciones con cuatro resultados (cuatro pares de una medición binaria simultánea en cada ala del experimento) y cuatro con dos resultados (las dos mediciones binarias en cada ala del experimento, sin acompañamiento), es decir, 24 operadores de proyección.
En el artículo de Kochen–Specker se discute la posibilidad de que la atribución de valores pueda depender del contexto, es decir, los observables correspondientes a vectores iguales en diferentes columnas de la tabla no necesitan tener valores iguales porque columnas diferentes corresponden a diferentes disposiciones de medición. Dado que la realidad subcuántica (tal como se describe en la teoría de variables ocultas) puede depender del contexto de medición, es posible que las relaciones entre observables mecánico-cuánticos y variables ocultas sean simplemente homomórficas en lugar de isomórficas. Esto haría obsoleto el requisito de una atribución de valores independiente del contexto. Por lo tanto, el teorema KS solo excluye las teorías de variables ocultas no contextuales. La posibilidad de contextualidad ha dado lugar a las llamadas interpretaciones modales de la mecánica cuántica .
El teorema de KS demuestra la imposibilidad de la hipótesis de Einstein de que un elemento de la realidad física está representado por un valor de un observable mecánico cuántico. El valor de un observable mecánico cuántico se refiere en primer lugar a la posición final de la aguja de un instrumento de medición, que sólo se forma durante la medición y que, por esta razón, no puede desempeñar el papel de un elemento de la realidad física. Los elementos de la realidad física, si existen, parecerían necesitar una teoría subcuántica (de variables ocultas) para su descripción, en lugar de la mecánica cuántica. En publicaciones posteriores [18] se discuten las desigualdades de Bell sobre la base de teorías de variables ocultas en las que se supone que la variable oculta se refiere a una propiedad subcuántica del objeto microscópico diferente del valor de un observable mecánico cuántico. Esto abre la posibilidad de distinguir diferentes niveles de realidad descritos por diferentes teorías, lo que ya había practicado Louis de Broglie . Para estas teorías más generales, el teorema KS sólo es aplicable si se supone que la medición es fiel, en el sentido de que existe una relación determinista entre un elemento subcuántico de la realidad física y el valor del observable encontrado en la medición.
