En matemáticas, el lápiz sizigético o lápiz de Hesse , llamado así por Otto Hesse , es un lápiz (familia unidimensional) de curvas elípticas planas cúbicas en el plano proyectivo complejo , definido por la ecuación
Cada curva de la familia está determinada por un par de valores de parámetros ( ) (no ambos cero) y consta de los puntos en el plano cuyas coordenadas homogéneas satisfacen la ecuación para esos parámetros. Multiplicar tanto y por el mismo escalar no cambia la curva, por lo que solo hay un grado de libertad para seleccionar una curva del lápiz, pero la forma de dos parámetros dada anteriormente permite que uno o (pero no ambos) se establezcan en cero.
Cada curva del lápiz pasa por los nueve puntos del plano proyectivo complejo cuyas coordenadas homogéneas son alguna permutación de 0, –1 y una raíz cúbica de la unidad . Hay tres raíces de la unidad y seis permutaciones por raíz, lo que da 18 opciones para las coordenadas homogéneas de cada punto, pero son equivalentes en pares, lo que da solo nueve puntos. La familia de cúbicas a través de estos nueve puntos forma el lápiz de Hesse. De manera más general, se pueden reemplazar los números complejos por cualquier campo que contenga una raíz cúbica de la unidad y definir el lápiz de Hesse sobre este campo como la familia de cúbicas a través de estos nueve puntos.
Los nueve puntos comunes del lápiz de Hesse son los puntos de inflexión de cada una de las cúbicas del lápiz. Cualquier línea que pase por al menos dos de estos nueve puntos pasa por exactamente tres de ellos; los nueve puntos y las doce líneas que pasan por ternas de puntos forman la configuración de Hesse .
Toda curva elíptica es biracionalmente equivalente a una curva del lápiz de Hesse; ésta es la forma hessiana de una curva elíptica . Sin embargo, los parámetros ( ) de la forma hessiana pueden pertenecer a un campo de extensión del campo de definición de la curva original.
