En matemáticas , específicamente en geometría proyectiva , una configuración en el plano consiste en un conjunto finito de puntos y una disposición finita de líneas , de modo que cada punto incide en el mismo número de líneas y cada línea incide en el mismo número de puntos. . [1]
Aunque ciertas configuraciones específicas habían sido estudiadas anteriormente (por ejemplo, por Thomas Kirkman en 1849), el estudio formal de las configuraciones fue introducido por primera vez por Theodor Reye en 1876, en la segunda edición de su libro Geometrie der Lage , en el contexto de una discusión sobre Teorema de Desargues . Ernst Steinitz escribió su disertación sobre el tema en 1894, y fue popularizada por el libro Anschauliche Geometrie de Hilbert y Cohn-Vossen de 1932 , reimpreso en inglés como Hilbert & Cohn-Vossen (1952).
Las configuraciones pueden estudiarse como conjuntos concretos de puntos y líneas en una geometría específica, como los planos euclidianos o proyectivos (se dice que son realizables en esa geometría), o como un tipo de geometría de incidencia abstracta . En este último caso están estrechamente relacionados con los hipergráficos regulares y los gráficos bipartitos biregulares , pero con algunas restricciones adicionales: cada dos puntos de la estructura de incidencia se pueden asociar con como máximo una línea, y cada dos líneas se pueden asociar con como máximo un punto. . Es decir, la circunferencia del gráfico bipartito correspondiente (el gráfico de Levi de la configuración) debe ser al menos seis.
Una configuración en el plano se denota por ( p γ ℓ π ), donde p es el número de puntos, ℓ el número de líneas, γ el número de líneas por punto y π el número de puntos por línea. Estos números necesariamente satisfacen la ecuación
ya que este producto es el número de incidencias de líneas de puntos ( banderas ).
Las configuraciones que tienen el mismo símbolo, digamos ( p γ ℓ π ), no necesitan ser isomorfas como estructuras de incidencia . Por ejemplo, existen tres configuraciones diferentes (9 3 9 3 ): la configuración Pappus y dos configuraciones menos notables.
En algunas configuraciones, p = ℓ y en consecuencia, γ = π . Éstas se denominan configuraciones simétricas o equilibradas [2] y la notación suele condensarse para evitar repeticiones. Por ejemplo, (9 3 9 3 ) se abrevia como (9 3 ).
Las configuraciones proyectivas notables incluyen las siguientes:
El dual proyectivo de una configuración ( p γ ℓ π ) es una configuración ( ℓ π p γ ) en la que se intercambian los roles de "punto" y "línea". Por lo tanto, los tipos de configuraciones vienen en pares duales, excepto cuando se toman los resultados duales en una configuración isomórfica. Estas excepciones se denominan configuraciones autoduales y en tales casos p = ℓ . [5]
El número de configuraciones no isomorfas de tipo ( n 3 ), comenzando en n = 7 , viene dado por la secuencia
Estos números cuentan las configuraciones como estructuras de incidencia abstractas, independientemente de su realizabilidad. [6] Como analiza Gropp (1997), nueve de las diez (10 3 ) configuraciones, y todas las configuraciones (11 3 ) y (12 3 ), son realizables en el plano euclidiano, pero para cada n ≥ 16 hay al menos una configuración no realizable ( n 3 ). Gropp también señala un error duradero en esta secuencia: un artículo de 1895 intentó enumerar todas las (12 3 ) configuraciones y encontró 228 de ellas, pero la configuración 229, la configuración de Gropp, no se descubrió hasta 1988.
Existen varias técnicas para construir configuraciones, generalmente a partir de configuraciones conocidas. Algunas de las técnicas más simples construyen configuraciones simétricas ( p γ ).
Cualquier plano proyectivo finito de orden n es una configuración (( n 2 + n + 1) n + 1 ) . Sea Π un plano proyectivo de orden n . Retire de Π un punto P y todas las líneas de Π que pasan por P (pero no los puntos que se encuentran en esas líneas excepto P ) y elimine una línea ℓ que no pase por P y todos los puntos que están en la línea ℓ . El resultado es una configuración de tipo (( n 2 – 1) n ) . Si, en esta construcción, se elige que la línea ℓ sea una línea que pasa por P , entonces la construcción da como resultado una configuración de tipo (( n 2 ) n ) . Dado que se sabe que existen planos proyectivos para todos los órdenes n que son potencias de números primos, estas construcciones proporcionan infinitas familias de configuraciones simétricas.
No todas las configuraciones son realizables; por ejemplo, no existe una configuración (43 7 ). [7] Sin embargo, Gropp (1990) ha proporcionado una construcción que muestra que para k ≥ 3 , existe una configuración ( p k ) para todo p ≥ 2 ℓ k + 1 , donde ℓ k es la longitud de una regla de Golomb óptima de orden k .
El concepto de configuración puede generalizarse a dimensiones superiores, [8] por ejemplo a puntos, líneas o planos en el espacio . En tales casos, se pueden relajar las restricciones de que dos puntos no pertenecen a más de una línea, porque es posible que dos puntos pertenezcan a más de un plano.
Las configuraciones tridimensionales notables son la configuración de Möbius , que consta de dos tetraedros inscritos mutuamente, la configuración de Reye , que consta de doce puntos y doce planos, con seis puntos por plano y seis planos por punto, la configuración de Gray que consta de un 3×3×3 cuadrícula de 27 puntos y las 27 líneas ortogonales que las atraviesan, y el doble seis de Schläfli , una configuración con 30 puntos, 12 líneas, dos líneas por punto y cinco puntos por línea.
La configuración en el plano proyectivo que se realiza mediante puntos y pseudolíneas se denomina configuración topológica. [2] Por ejemplo, se sabe que no existen configuraciones de línea de puntos (19 4 ), sin embargo, existe una configuración topológica con estos parámetros.
Otra generalización del concepto de configuración se refiere a las configuraciones de puntos y círculos, siendo un ejemplo notable la configuración (8 3 6 4 ) Miquel . [2]
