superficie cúbica

En matemáticas , una superficie cúbica es una superficie en un espacio tridimensional definida por una ecuación polinómica de grado 3. Las superficies cúbicas son ejemplos fundamentales en geometría algebraica . La teoría se simplifica trabajando en un espacio proyectivo en lugar de un espacio afín , por lo que las superficies cúbicas generalmente se consideran en un espacio tridimensional proyectivo . La teoría también se vuelve más uniforme al centrarse en las superficies de los números complejos en lugar de en los números reales ; tenga en cuenta que una superficie compleja tiene una dimensión real 4. Un ejemplo simple es la superficie cúbica de Fermat ${\displaystyle \mathbf {P} ^{3}}$

${\displaystyle x^{3}+y^{3}+z^{3}+w^{3}=0}$

en . Muchas propiedades de las superficies cúbicas se aplican de manera más general a las superficies del Pezzo . ${\displaystyle \mathbf {P} ^{3}}$

Una superficie cúbica lisa (la superficie de Clebsch)

Racionalidad de las superficies cúbicas.

Una característica central de las superficies cúbicas suaves X sobre un campo algebraicamente cerrado es que todas son racionales , como lo demostró Alfred Clebsch en 1866. ^[1] Es decir, existe una correspondencia uno a uno definida por funciones racionales entre las superficies proyectivas plano menos un subconjunto de dimensiones inferiores y X menos un subconjunto de dimensiones inferiores. De manera más general, toda superficie cúbica irreducible (posiblemente singular) sobre un campo algebraicamente cerrado es racional a menos que sea el cono proyectivo sobre una curva cúbica. ^[2] A este respecto, las superficies cúbicas son mucho más simples que las superficies lisas de grado al menos 4 pulgadas , que nunca son racionales. En la característica cero, las superficies lisas de un grado de al menos 4 pulgadas ni siquiera están sin regla . ^[3] ${\displaystyle \mathbf {P} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {P} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbf {P} ^{3}}$

Más claramente, Clebsch demostró que cada superficie cúbica lisa sobre un campo algebraicamente cerrado es isomorfa a la explosión de en 6 puntos. ^[4] Como resultado, cada superficie cúbica lisa sobre los números complejos es difeomorfa a la suma conexa , donde el signo menos se refiere a un cambio de orientación . Por el contrario, la ampliación de 6 puntos es isomorfa a una superficie cúbica si y sólo si los puntos están en posición general, lo que significa que no hay tres puntos en una línea y los 6 no se encuentran en una cónica . Como variedad compleja (o variedad algebraica ), la superficie depende de la disposición de esos 6 puntos. ${\displaystyle \mathbf {P} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbf {P} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {CP} ^{2}\#6(-\mathbf {CP} ^{2})}$ ${\displaystyle \mathbf {P} ^{2}}$

27 líneas en una superficie cúbica

La mayoría de las pruebas de racionalidad para superficies cúbicas comienzan encontrando una línea en la superficie. (En el contexto de la geometría proyectiva, una línea in es isomorfa a .) Más precisamente, Arthur Cayley y George Salmon demostraron en 1849 que cada superficie cúbica lisa sobre un campo algebraicamente cerrado contiene exactamente 27 líneas. ^[5] Esta es una característica distintiva de las cúbicas: una superficie cuádrica lisa (grado 2) está cubierta por una familia continua de líneas, mientras que la mayoría de las superficies de grado al menos 4 pulgadas no contienen líneas. Otra técnica útil para encontrar las 27 líneas implica el cálculo de Schubert , que calcula el número de líneas utilizando la teoría de la intersección de líneas de Grassmann . ${\displaystyle \mathbf {P} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbf {P} ^{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {P} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbf {P} ^{3}}$

A medida que varían los coeficientes de una superficie cúbica compleja y lisa, las 27 líneas se mueven continuamente. Como resultado, un bucle cerrado en la familia de superficies cúbicas lisas determina una permutación de las 27 líneas. El grupo de permutaciones de las 27 líneas que surgen de esta manera se llama grupo monodromía de la familia de superficies cúbicas. Un descubrimiento notable del siglo XIX fue que el grupo de monodromía no es trivial ni es un grupo simétrico en su totalidad ; es un grupo de orden 51840 , que actúa transitivamente sobre el conjunto de líneas. ^[4] Este grupo fue reconocido gradualmente (por Élie Cartan (1896), Arthur Coble (1915-17) y Patrick du Val (1936)) como el grupo de tipo Weyl , un grupo generado por reflexiones sobre un universo real de 6 dimensiones. espacio vectorial, relacionado con el grupo de Lie de dimensión 78. ^[4] ${\displaystyle S_{27}}$ ${\displaystyle E_{6}}$ ${\displaystyle E_{6}}$

El mismo grupo de orden 51840 se puede describir en términos combinatorios, como el grupo de automorfismo del gráfico de las 27 líneas, con un vértice para cada línea y una arista cada vez que dos líneas se encuentran. ^[6] Este gráfico fue analizado en el siglo XIX utilizando subgrafos como la configuración del doble seis de Schläfli . El gráfico complementario (con una arista siempre que dos rectas son disjuntas) se conoce como gráfico de Schläfli .

El gráfico de Schläfli

Muchos problemas sobre superficies cúbicas se pueden resolver utilizando la combinatoria del sistema raíz . Por ejemplo, las 27 líneas pueden identificarse con los pesos de la representación fundamental del grupo de Lie . Los posibles conjuntos de singularidades que pueden ocurrir en una superficie cúbica se pueden describir en términos de subsistemas del sistema raíz. ^[7] Una explicación para esta conexión es que la red surge como el complemento ortogonal de la clase anticanónica en el grupo Picard , con su forma de intersección (proveniente de la teoría de la intersección de curvas en una superficie). Para una superficie cúbica compleja y lisa, la red de Picard también se puede identificar con el grupo de cohomología . ${\displaystyle E_{6}}$ ${\displaystyle E_{6}}$ ${\displaystyle E_{6}}$ ${\displaystyle E_{6}}$ ${\displaystyle -K_{X}}$ ${\displaystyle \operatorname {Pic} (X)\cong \mathbf {Z} ^{7}}$ ${\displaystyle H^{2}(X,\mathbf {Z} )}$

Un punto de Eckardt es un punto donde se encuentran 3 de las 27 líneas. La mayoría de las superficies cúbicas no tienen punto de Eckardt, pero dichos puntos se encuentran en un subconjunto de codimensión -1 de la familia de todas las superficies cúbicas lisas. ^[8]

Dada una identificación entre una superficie cúbica en X y la explosión en 6 puntos en posición general, las 27 líneas en X pueden verse como: las 6 curvas excepcionales creadas al explotar, las transformaciones birracionales de las 15 líneas a través de pares de los 6 puntos en , y las transformadas biracionales de las 6 cónicas que contienen todos menos uno de los 6 puntos. ^[9] Una superficie cúbica determinada puede verse como una ampliación de más de una manera (de hecho, de 72 maneras diferentes), por lo que una descripción como una ampliación no revela la simetría entre las 27 superficies. líneas. ${\displaystyle \mathbf {P} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {P} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {P} ^{2}}$

La relación entre las superficies cúbicas y el sistema de raíces se generaliza a una relación entre todas las superficies y sistemas de raíces de Del Pezzo. Esta es una de las muchas clasificaciones ADE en matemáticas. Siguiendo estas analogías, Vera Serganova y Alexei Skorobogatov dieron una relación geométrica directa entre las superficies cúbicas y el grupo de Lie . ^[10] ${\displaystyle E_{6}}$ ${\displaystyle E_{6}}$

En física, las 27 líneas se pueden identificar con las 27 cargas posibles de la teoría M en un toro de seis dimensiones (6 momentos; 15 membranas ; 6 cinco branas ) y el grupo E ₆ actúa naturalmente como el grupo de dualidad U. Este mapa entre las superficies de Del Pezzo y la teoría M sobre tori se conoce como dualidad misteriosa .

Superficies cúbicas especiales

La superficie cúbica compleja lisa con el grupo de automorfismo más grande es la superficie cúbica de Fermat, definida por ${\displaystyle \mathbf {P} ^{3}}$

${\displaystyle x^{3}+y^{3}+z^{3}+w^{3}=0.}$

Su grupo de automorfismo es una extensión de orden 648. ^[11] ${\displaystyle 3^{3}:S_{4}}$

La siguiente superficie cúbica lisa más simétrica es la superficie de Clebsch , que puede definirse mediante las dos ecuaciones ${\displaystyle \mathbf {P} ^{4}}$

${\displaystyle x_{0}+x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=x_{0}^{3}+x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+x_{3}^{3}+x_{4}^{3}=0.}$

Su grupo de automorfismos es el grupo simétrico , de orden 120. Después de un cambio lineal complejo de coordenadas, la superficie de Clebsch también puede definirse mediante la ecuación ${\displaystyle S_{5}}$

${\displaystyle x^{2}y+y^{2}z+z^{2}w+w^{2}x=0}$

en . ${\displaystyle \mathbf {P} ^{3}}$

Superficie cúbica nodal de Cayley

Entre las superficies cúbicas complejas singulares, la superficie cúbica nodal de Cayley es la única superficie con el número máximo de nodos , 4:

${\displaystyle wxy+xyz+yzw+zwx=0.}$

Su grupo de automorfismo es , de orden 24. ${\displaystyle S_{4}}$

Superficies cúbicas reales

A diferencia del caso complejo, en la topología clásica (basada en la topología de R ) el espacio de superficies cúbicas lisas sobre números reales no está conexo . Sus componentes conexos (es decir, la clasificación de superficies cúbicas reales lisas hasta la isotopía ) fueron determinadas por Ludwig Schläfli (1863), Felix Klein (1865) y HG Zeuthen (1875). ^[12] Es decir, existen 5 clases de isotopías de superficies cúbicas reales lisas X en , que se distinguen por la topología del espacio de puntos reales . El espacio de puntos reales es difeomorfo a cualquiera de los dos , o a la unión disjunta de y la 2-esfera, donde denota la suma conectada de r copias del plano proyectivo real . En consecuencia, el número de líneas reales contenidas en X es 27, 15, 7, 3 o 3. ${\displaystyle \mathbf {P} ^{3}}$ ${\displaystyle X(\mathbf {R} )}$ ${\displaystyle W_{7},W_{5},W_{3},W_{1}}$ ${\displaystyle W_{1}}$ ${\displaystyle W_{r}}$ ${\displaystyle \mathbf {RP} ^{2}}$

Una superficie cúbica real suave es racional sobre R si y sólo si su espacio de puntos reales es conexo, por lo tanto en los primeros cuatro de los cinco casos anteriores. ^[13]

El número promedio de líneas reales en X es ^[14] cuando el polinomio definitorio de X se muestrea al azar del conjunto gaussiano inducido por el producto interno de Bombieri . ${\displaystyle 6{\sqrt {2}}-3}$

El espacio de módulos de superficies cúbicas.

Dos superficies cúbicas lisas son isomorfas como variedades algebraicas si y sólo si son equivalentes por algún automorfismo lineal de . La teoría de invariantes geométricas proporciona un espacio de módulos de superficies cúbicas, con un punto para cada clase de isomorfismo de superficies cúbicas lisas. Este espacio de módulos tiene dimensión 4. Más precisamente, es un subconjunto abierto del espacio proyectivo ponderado P(12345), de Salmon y Clebsch (1860). En particular, es un cuádruple racional. ^[15] ${\displaystyle \mathbf {P} ^{3}}$

El cono de curvas

Las líneas en una superficie cúbica X sobre un campo algebraicamente cerrado se pueden describir intrínsecamente, sin referencia a la incrustación de X en : son exactamente las curvas (−1) en X , es decir, las curvas isomórficas que tienen autointersección − 1. Además, las clases de líneas en la red Picard de X (o equivalentemente el grupo de clases divisor ) son exactamente los elementos u de Pic( X ) tales que y . (Esto utiliza que la restricción del haz de líneas del hiperplano O(1) a X es el haz de líneas anticanónico , según la fórmula adjunta ). ${\displaystyle \mathbf {P} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbf {P} ^{1}}$ ${\displaystyle u^{2}=-1}$ ${\displaystyle -K_{X}\cdot u=1}$ ${\displaystyle \mathbf {P} ^{3}}$ ${\displaystyle -K_{X}}$

Para cualquier variedad proyectiva X , el cono de curvas significa el cono convexo abarcado por todas las curvas en X (en el espacio vectorial real de equivalencia numérica de módulo de 1 ciclo, o en el grupo de homología si el campo base son los números complejos). Para una superficie cúbica, el cono de curvas está atravesado por 27 líneas. ^[16] En particular, es un cono poliédrico racional con un gran grupo de simetría, el grupo Weyl de . Existe una descripción similar del cono de curvas para cualquier superficie de Del Pezzo. ${\displaystyle N_{1}(X)}$ ${\displaystyle H_{2}(X,\mathbf {R} )}$ ${\displaystyle N_{1}(X)\cong \mathbf {R} ^{7}}$ ${\displaystyle E_{6}}$

Superficies cúbicas sobre un campo.

Una superficie cúbica suave X sobre un campo k que no es algebraicamente cerrado no tiene por qué ser racional sobre k . Como caso extremo, hay superficies cúbicas suaves sobre los números racionales Q (o los números p-ádicos ) sin puntos racionales , en cuyo caso X ciertamente no es racional. ^[17] Si X ( k ) no está vacío, entonces X es al menos uniracional sobre k , por Beniamino Segre y János Kollár . ^[18] Para k infinito, la uniracionalidad implica que el conjunto de k puntos racionales es denso de Zariski en X. ${\displaystyle \mathbf {Q} _{p}}$

El grupo absoluto de Galois de k permuta las 27 líneas de X sobre la clausura algebraica de k (a través de algún subgrupo del grupo Weyl de ). Si alguna órbita de esta acción consta de líneas disjuntas, entonces X es la ampliación de una superficie de Del Pezzo "más simple" sobre k en un punto cerrado. De lo contrario, X tiene Picard número 1. (El grupo Picard de X es un subgrupo del grupo Picard geométrico ). En el último caso, Segre demostró que X nunca es racional. Más claramente, Yuri Manin demostró una afirmación de rigidez biracional: dos superficies cúbicas lisas con Picard número 1 sobre un campo perfecto k son biracionales si y sólo si son isomorfas. ^[19] Por ejemplo, estos resultados dan muchas superficies cúbicas sobre Q que son uniracionales pero no racionales. ${\displaystyle {\overline {k}}}$ ${\displaystyle E_{6}}$ ${\displaystyle \operatorname {Pic} (X_{\overline {k}})\cong \mathbf {Z} ^{7}}$

Superficies cúbicas singulares

A diferencia de las superficies cúbicas lisas que contienen 27 líneas, las superficies cúbicas singulares contienen menos líneas. ^[20] Además, se pueden clasificar por el tipo de singularidad que surge en su forma normal. Estas singularidades se clasifican mediante diagramas de Dynkin .

Clasificación

Se dice que una superficie cúbica singular normal con coordenadas locales está en forma normal si está dada por . Dependiendo del tipo de singularidad que contenga, es isomorfa a la superficie proyectiva dada por donde se muestran en la siguiente tabla. Eso significa que podemos obtener una clasificación de todas las superficies cúbicas singulares. Los parámetros de la siguiente tabla son los siguientes: son tres elementos distintos de , los parámetros están en y es un elemento de . Observe que hay dos superficies cúbicas singulares diferentes con singularidad . ^[21] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\textbf {P}}_{\mathbb {C} }^{3}}$ ${\displaystyle [x_{0}:x_{1}:x_{2}:x_{3}]}$ ${\displaystyle F=x_{3}f_{2}(x_{0},x_{1},x_{2})-f_{3}(x_{0},x_{1},x_{2})=0}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\textbf {P}}^{3}}$ ${\displaystyle F=x_{3}f_{2}(x_{0},x_{1},x_{2})-f_{3}(x_{0},x_{1},x_{2})=0}$ ${\displaystyle f_{2},f_{3}}$ ${\displaystyle a,b,c}$ ${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{0,1\}}$ ${\displaystyle d,e}$ ${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{0,-1\}}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{0\}}$ ${\displaystyle D_{4}}$

En forma normal, siempre que una superficie cúbica contenga al menos una singularidad, tendrá una singularidad en . ^[20] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A_{1}}$ ${\displaystyle A_{1}}$ ${\displaystyle [0:0:0:1]}$

Líneas sobre superficies cúbicas singulares.

Según la clasificación de superficies cúbicas singulares, la siguiente tabla muestra el número de líneas que contiene cada superficie.

Grupos de automorfismos de superficies cúbicas singulares sin parámetros.

Un automorfismo de una superficie cúbica singular normal es la restricción de un automorfismo del espacio proyectivo a . Tales automorfismos preservan puntos singulares. Además, no permutan singularidades de diferentes tipos. Si la superficie contiene dos singularidades del mismo tipo, el automorfismo puede permutarlas. La colección de automorfismos en una superficie cúbica forma un grupo , el llamado grupo de automorfismos . La siguiente tabla muestra todos los grupos de automorfismos de superficies cúbicas singulares sin parámetros. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\textbf {P}}^{3}}$ ${\displaystyle X}$

Ver también

• Superficie algebraica
• Clasificación Enriques-Kodaira
• variedad fano
• cálculo de schubert

Notas

1. Reid (1988), Corolario 7.4.
2. Kollár, Smith, Corti (2004), Ejemplo 1.28.
3. Kollár, Smith, Corti (2004), Ejercicio 1.59.
4. Dolgachev (2012), Capítulo 9, Notas históricas.
5. Reid (1988), sección 7.6.
6. Hartshorne (1997), Ejercicio V.4.11.
7. Bruce y Wall (1979), sección 4; Dolgachev (2012), cuadro 9.1.
8. Dolgachev (2012), sección 9.1.4.
9. Hartshorne (1997), Teorema V.4.9.
10. Serganova y Skorobogatov (2007).
11. Dolgachev (2012), cuadro 9.6.
12. Degtyarev y Kharlamov (2000), sección 3.5.2. Los distintos tipos de superficies cúbicas reales y las líneas sobre ellas se muestran en Holzer & Labs (2006).
13. Silhol (1989), sección VI.5.
14. Basu, S.; Lerario, A.; Lundberg, E.; Peterson, C. (2019). "Campos aleatorios y geometría enumerativa de líneas sobre hipersuperficies reales y complejas". Annalen Matemáticas . 374 (3–4): 1773–1810. arXiv : 1610.01205 . doi :10.1007/s00208-019-01837-0. S2CID  253717173.
15. Dolgachev (2012), ecuación (9.57).
16. Hartshorne (1997), Teorema V.4.11.
17. Kollár, Smith, Corti (2004), Ejercicio 1.29.
18. Kollár, Smith, Corti (2004), Teoremas 1.37 y 1.38.
19. Kollár, Smith, Corti (2004), Teoremas 2.1 y 2.2.
20. Bruce, JW; Muro, CTC (1979). "Sobre la clasificación de superficies cúbicas". Revista de la Sociedad Matemática de Londres . T2-19 (2): 245–256. doi :10.1112/jlms/s2-19.2.245. ISSN  1469-7750.
21. SAKAMAKI, YOSHIYUKI (2010). "Grupos de automorfismo en superficies cúbicas singulares normales sin parámetros". Transacciones de la Sociedad Matemática Estadounidense . 362 (5): 2641–2666. doi : 10.1090/S0002-9947-09-05023-5 . ISSN  0002-9947. JSTOR  25677798.

Referencias

• Bruce, JW; Wall, CTC (1979), "Sobre la clasificación de superficies cúbicas", Journal of the London Mathematical Society , 19 (2): 245–256, doi :10.1112/jlms/s2-19.2.245, ISSN  0024-6107, SEÑOR  0533323
• Cayley, Arthur (1849), "Sobre los planos triple tangente de superficies de tercer orden", Cambridge y Dublin Math. J. , 4 : 118-138
• Cayley, Arthur (1869), "Una memoria sobre superficies cúbicas", Philosophical Transactions of the Royal Society of London , 159 , The Royal Society: 231–326, doi :10.1098/rstl.1869.0010, ISSN  0080-4614, JSTOR  108997
• Degtyarev, AI; Kharlamov, VM (2000), "Propiedades topológicas de variedades algebraicas reales: el camino de Rokhlin", Russian Mathematical Surveys , 55 (4): 735–814, arXiv : math/0004134 , doi :10.1070/RM2000v055n04ABEH000315, MR  1786731, S2CID  2507 75854
• Dolgachev, Igor (2012), Geometría algebraica clásica: una visión moderna , Cambridge University Press , doi :10.1017/CBO9781139084437, ISBN 9781139084437, señor  2964027
• Robin Hartshorne (1997) [1977]. Geometría algebraica . Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-90244-9. SEÑOR  0463157.
• Henderson, Archibald (2015) [1911], Las veintisiete líneas sobre la superficie cúbica , Cambridge Tracts in Mathematics, Cambridge University Press , ISBN 978-1107493513, JFM  42.0661.01
• Holzer, Stephan; Labs, Oliver (2006), "Ilustración de la clasificación de superficies cúbicas reales" (PDF) , geometría algebraica y modelado geométrico , Springer, págs. 119-134, MR  2279847
• Iskovskikh, VA (2001) [1994], "Hipersuperficie cúbica", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Kollár, János ; Smith, Karen E .; Corti, Alessio (2004), Variedades racionales y casi racionales , Cambridge University Press , doi :10.1017/CBO9780511734991, ISBN 978-0-521-83207-6, SEÑOR  2062787, S2CID  117569533
• Manin, Yuri Ivanovich (1986), Formas cúbicas , Biblioteca de Matemáticas de Holanda Septentrional, vol. 4 (2ª ed.), Ámsterdam: Holanda Septentrional, ISBN 978-0-444-87823-6, señor  0833513
• Reid, millas (1988). Pregrado en geometría algebraica . Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 978-0-521-35662-6. SEÑOR  0982494.
• Schläfli, Ludwig (1863), "Sobre la distribución de superficies de tercer orden en especies, en referencia a la ausencia o presencia de puntos singulares y la realidad de sus líneas", Philosophical Transactions of the Royal Society of London , 153 , La Royal Society: 193–241, doi : 10.1098/rstl.1863.0010 , ISSN  0080-4614, JSTOR  108795
• Segre, Beniamino (1942), Las superficies cúbicas no singulares , Oxford University Press , MR  0008171
• Serganova, Vera ; Skorobogatov, Alexei (2007), "Teoría de representación y superficies de Del Pezzo", Álgebra y teoría de números , 1 (4): 393–419, arXiv : math/0611737 , doi : 10.2140/ant.2007.1.393 , MR  2368955
• Silhol, Robert (1989), Superficies algebraicas reales , Lecture Notes in Mathematics, vol. 1392, Springer-Verlag, doi :10.1007/BFb0088815, ISBN 3-540-51563-1, señor  1015720

enlaces externos

• O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. , "Superficie cúbica", Archivo MacTutor de Historia de las Matemáticas , Universidad de St Andrews
• Líneas sobre una superficie cúbica de Ryan Hoban (Laboratorio de Geometría Experimental de la Universidad de Maryland), basado en el trabajo de William Goldman, The Wolfram Demonstrations Project .
• El DVD Cubic Surfaces (54 animaciones de superficies cúbicas, descargables por separado o como DVD)