En matemáticas, la superficie cúbica diagonal de Clebsch , o superficie cúbica icosaédrica de Klein , es una superficie cúbica no singular , estudiada por Clebsch (1871) y Klein (1873), cuyas 27 líneas excepcionales pueden definirse sobre los números reales. El término superficie icosaédrica de Klein puede referirse a esta superficie o a su explosión en los 10 puntos de Eckardt .
La superficie de Clebsch es el conjunto de puntos ( x 0 : x 1 : x 2 : x 3 : x 4 ) de P 4 que satisfacen las ecuaciones
Eliminar x 0 muestra que también es isomorfo a la superficie
en P3 .
El grupo de simetría de la superficie de Clebsch es el grupo simétrico S 5 de orden 120, que actúa por permutaciones de las coordenadas (en P 4 ). Hasta el isomorfismo, la superficie de Clebsch es la única superficie cúbica con este grupo de automorfismo.
Las 27 líneas excepcionales son:
La superficie tiene 10 puntos de Eckardt donde se encuentran 3 líneas, dadas por el punto (1: −1: 0: 0: 0) y sus conjugados bajo permutaciones. Hirzebruch (1976) demostró que la superficie obtenida al hacer estallar la superficie de Clebsch en sus 10 puntos de Eckardt es la superficie modular de Hilbert del subgrupo de congruencia principal de nivel 2 del grupo modular de Hilbert del campo Q ( √ 5 ). El cociente del grupo modular de Hilbert por su subgrupo de congruencia de nivel 2 es isomorfo al grupo alterno de orden 60 en 5 puntos.
Como todas las superficies cúbicas no singulares, la cúbica de Clebsch se puede obtener ampliando el plano proyectivo en 6 puntos. Klein (1873) describió estos puntos de la siguiente manera. Si el plano proyectivo se identifica con el conjunto de líneas que pasan por el origen en un espacio vectorial tridimensional que contiene un icosaedro centrado en el origen, entonces los 6 puntos corresponden a las 6 líneas que pasan por los 12 vértices del icosaedro. Los puntos de Eckardt corresponden a las 10 líneas que pasan por los centros de las 20 caras.
