En geometría, el doble seis de Schläfli es una configuración de 30 puntos y 12 líneas en el espacio euclidiano tridimensional , introducida por Ludwig Schläfli en 1858. [1] Las líneas de la configuración se pueden dividir en dos subconjuntos de seis líneas: cada línea es disjunta de ( se oblicua con ) las líneas en su propio subconjunto de seis líneas, e interseca todas menos una de las líneas en el otro subconjunto de seis líneas. Cada una de las 12 líneas de la configuración contiene cinco puntos de intersección, y cada uno de estos 30 puntos de intersección pertenece exactamente a dos líneas, una de cada subconjunto, por lo que en la notación de configuraciones el doble seis de Schläfli se escribe 30 2 12 5 . [2]
Como demostró Schläfli, el doble seis puede construirse a partir de cinco líneas cualesquiera a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , que son intersecadas por una línea común b 6 , pero que por lo demás están en posición general (en particular, cada dos líneas a i y a j deben estar oblicuas , y ninguna de las cuatro líneas a i debe estar sobre una superficie reglada común ). Para cada una de las cinco líneas a i , el conjunto complementario de cuatro de las cinco líneas tiene dos cuadrisecantes : b 6 y una segunda línea b i . Las cinco líneas b 1 , b 2 , b 3 , b 4 y b 5 formadas de esta manera son a su vez intersecadas por otra línea, a 6 . Las doce líneas a i y b i forman un doble seis: cada línea a i tiene un punto de intersección con cinco de las otras líneas, las líneas b j para las que i ≠ j , y viceversa. [3]
Una construcción alternativa, mostrada en la ilustración, es colocar doce líneas a través de los seis centros de las caras de un cubo , cada una en el plano de su cara y todas formando los mismos ángulos con respecto a los bordes del cubo. [4] Una vez construido de cualquiera de estas maneras, el doble seis se puede proyectar en el plano, formando un sistema bidimensional de puntos y líneas con el mismo patrón de incidencia.
Una superficie cúbica genérica contiene 27 líneas, entre las que se pueden encontrar 36 configuraciones de doble seis de Schläfli. Puede ser necesario utilizar coordenadas de números complejos para representar todas estas líneas; las superficies cúbicas pueden tener menos de 27 líneas sobre los números reales . En cualquier conjunto de 27 líneas, las 15 líneas complementarias a un doble seis, junto con los 15 planos tangentes a través de triples de estas líneas, tiene el patrón de incidencia de otra configuración, la configuración de Cremona-Richmond . [5]
El gráfico de intersección de las doce líneas de la configuración de doble seis es un gráfico de corona de doce vértices , un gráfico bipartito en el que cada vértice es adyacente a cinco de los seis vértices del color opuesto. [6] El gráfico de Levi del doble seis se puede obtener reemplazando cada borde del gráfico de corona por un camino de dos bordes. El gráfico de intersección de todo el conjunto de 27 líneas en una superficie cúbica es el complemento del gráfico de Schläfli . [7]