Grassmanniano

Espacio matemático

En matemáticas , el Grassmanniano (llamado así en honor a Hermann Grassmann ) es una variedad diferenciable que parametriza el conjunto de subespacios lineales totalmente dimensionales de un espacio vectorial dimensional sobre un campo . Por ejemplo, el Grassmanniano es el espacio de líneas que pasan por el origen en , por lo que es lo mismo que el espacio proyectivo de una dimensión inferior a . ^{[1] [2]} Cuando es un espacio vectorial real o complejo , los Grassmannianos son variedades compactas suaves , de dimensión . ^[3] En general tienen la estructura de una variedad algebraica proyectiva no singular . ${\displaystyle \mathbf {Gr} _{k}(V)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \mathbf {Gr} _{1}(V)}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbf {P} (V)}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle k(n-k)}$

El primer trabajo sobre un Grassmanniano no trivial se debe a Julius Plücker , quien estudió el conjunto de líneas proyectivas en el 3-espacio proyectivo real, lo que equivale a , parametrizándolas mediante lo que ahora se llaman coordenadas de Plücker . (Ver § Coordenadas de Plücker y relaciones de Plücker a continuación). Hermann Grassmann introdujo más tarde el concepto en general. ${\displaystyle \mathbf {Gr} _{2}(\mathbf {R} ^{4})}$

Las notaciones para los Grassmannianos varían entre autores e incluyen ,,, para denotar el Grassmanniano de subespacios -dimensionales de un espacio vectorial -dimensional . ${\displaystyle \mathbf {Gr} _{k}(V)}$ ${\displaystyle \mathbf {Gr} (k,V)}$ ${\displaystyle \mathbf {Gr} _{k}(n)}$ ${\displaystyle \mathbf {Gr} (k,n)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle V}$

Motivación

Al darle una estructura topológica a una colección de subespacios de un espacio vectorial , es posible hablar de una elección continua de subespacios o colecciones de subespacios abiertas y cerradas . Dándoles la estructura adicional de una variedad diferencial , se puede hablar de elecciones suaves del subespacio.

Un ejemplo natural proviene de haces tangentes de variedades suaves incrustadas en un espacio euclidiano . Supongamos que tenemos una variedad de dimensiones incrustada en . En cada punto , el espacio tangente a puede considerarse como un subespacio del espacio tangente de , que también es justo . El mapa que asigna a su espacio tangente define un mapa de M a . (Para hacer esto, tenemos que trasladar el espacio tangente en cada uno de manera que pase por el origen en lugar de por , y por lo tanto define un subespacio vectorial de dimensiones. Esta idea es muy similar al mapa de Gauss para superficies en un espacio tridimensional. espacio dimensional.) ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$ ${\displaystyle x\in M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \mathbf {Gr} _{k}(\mathbf {R} ^{n})}$ ${\displaystyle x\in M}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle k}$

Con un poco de esfuerzo, esto se puede extender a todos los paquetes de vectores en una variedad , de modo que cada paquete de vectores genere un mapa continuo desde un Grassmanniano adecuadamente generalizado, aunque se deben demostrar varios teoremas de incrustación para demostrar esto. Luego encontramos que las propiedades de nuestros paquetes de vectores están relacionadas con las propiedades de los mapas correspondientes. En particular, encontramos que los paquetes de vectores que inducen mapas homotópicos del Grassmanniano son isomórficos . Aquí la definición de homotopía se basa en una noción de continuidad y, por tanto, en una topología. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$

Dimensiones bajas

Para k = 1 , el Grassmanniano Gr (1, n ) es el espacio de líneas que pasan por el origen en el espacio n , por lo que es lo mismo que el espacio proyectivo de n − 1 dimensiones. ${\displaystyle \mathbf {P} ^{n-1}}$

Para k = 2 , el Grassmanniano es el espacio de todos los planos bidimensionales que contienen el origen. En el espacio tridimensional euclidiano, un plano que contiene el origen está completamente caracterizado por la única línea que pasa por el origen que es perpendicular a ese plano (y viceversa); por lo tanto, los espacios Gr (2, 3) , Gr (1, 3) y P ² (el plano proyectivo ) pueden identificarse entre sí.

El Grassmanniano más simple que no es un espacio proyectivo es Gr (2, 4) .

El Grassmanniano como variedad diferenciable

Para dotarlo de la estructura de una variedad diferenciable, elija una base para . Esto equivale a identificarse con , con la base estándar denotada , vista como vectores de columna. Entonces, para cualquier subespacio dimensional , visto como un elemento de , podemos elegir una base que consista en vectores columna linealmente independientes . Las coordenadas homogéneas del elemento constan de los elementos de la matriz rectangular de rango máximo cuyo vector de columna es , . Dado que la elección de la base es arbitraria, dos matrices rectangulares de rango máximo representan el mismo elemento si y solo si ${\displaystyle \mathbf {Gr} _{k}(V)}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle K^{n}}$ ${\displaystyle (e_{1},\dots ,e_{n})}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle w\subset V}$ ${\displaystyle \mathbf {Gr} _{k}(V)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle (W_{1},\dots ,W_{k})}$ ${\displaystyle w\in \mathbf {Gr} _{k}(V)}$ ${\displaystyle n\times k}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle W_{i}}$ ${\displaystyle i=1,\dots ,k}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle {\tilde {W}}}$ ${\displaystyle w\in \mathbf {Gr} _{k}(V)}$

${\displaystyle {\tilde {W}}=Wg}$

para algún elemento del grupo lineal general de matrices invertibles con entradas en . Esto define una relación de equivalencia entre matrices de rango , para las cuales se denotan las clases de equivalencia . ${\displaystyle g\in GL(k,K)}$ ${\displaystyle k\times k}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle n\times k}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle [W]}$

Ahora definimos un atlas de coordenadas. Para cualquier matriz de coordenadas homogénea , podemos aplicar operaciones de columnas elementales (que equivalen a multiplicar por una secuencia de elementos ) para obtener su forma escalonada de columnas reducida . Si las primeras filas de son linealmente independientes, el resultado tendrá la forma ${\displaystyle n\times k}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle g\in GL(k,K)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle W}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1\\&1\\&&\ddots \\&&&1\\a_{1,1}&\cdots &\cdots &a_{1,k}\\\vdots &&&\vdots \\a_{n-k,1}&\cdots &\cdots &a_{n-k,k}\end{bmatrix}}}$

y la matriz de coordenadas afines con entradas determina . En general, las primeras filas no necesitan ser independientes, pero como tienen rango máximo , existe un conjunto ordenado de números enteros tal que la submatriz cuyas filas son las filas -ésimas de no es singular . Podemos aplicar operaciones de columnas para reducir esta submatriz a la matriz de identidad , y las entradas restantes se determinan de forma única . De ahí que tengamos la siguiente definición: ${\displaystyle (n-k)\times k}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (a_{ij})}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle 1\leq i_{1}<\cdots <i_{k}\leq n}$ ${\displaystyle k\times k}$ ${\displaystyle W_{i_{1},\dots ,i_{k}}}$ ${\displaystyle (i_{1},\ldots ,i_{k})}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle w}$

Para cada conjunto ordenado de números enteros , sea el conjunto de elementos para los cuales, para cualquier elección de matriz de coordenadas homogénea , la submatriz cuya -ésima fila es la -ésima fila de es no singular. Las funciones de coordenadas afines en se definen entonces como las entradas de la matriz cuyas filas son las de la matriz complementaria a , escritas en el mismo orden. La elección de una matriz de coordenadas homogénea para representar el elemento no afecta los valores de la matriz de coordenadas afines que representa w en la vecindad de coordenadas . Además, las matrices de coordenadas pueden tomar valores arbitrarios y definen un difeomorfismo desde el espacio de matrices valoradas . Denotamos por ${\displaystyle 1\leq i_{1}<\cdots <i_{k}\leq n}$ ${\displaystyle U_{i_{1},\dots ,i_{k}}}$ ${\displaystyle w\in \mathbf {Gr} _{k}(V)}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle k\times k}$ ${\displaystyle W_{i_{1},\dots ,i_{k}}}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle i_{j}}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle U_{i_{1},\dots ,i_{k}}}$ ${\displaystyle (n-k)\times k}$ ${\displaystyle A^{i_{1},\dots ,i_{k}}}$ ${\displaystyle WW_{i_{1},\dots ,i_{k}}^{-1}}$ ${\displaystyle (i_{1},\dots ,i_{k})}$ ${\displaystyle n\times k}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle [W]}$ ${\displaystyle w\in \mathbf {Gr} _{k}(V)}$ ${\displaystyle A^{i_{1},\dots ,i_{k}}}$ ${\displaystyle U_{i_{1},\dots ,i_{k}}}$ ${\displaystyle A^{i_{1},\dots ,i_{k}}}$ ${\displaystyle U_{i_{1},\dots ,i_{k}}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle (n-k)\times k}$

${\displaystyle {\hat {A}}^{i_{1},\dots ,i_{k}}:=W(W_{i_{1},\dots ,i_{k}})^{-1}}$

teniendo la matriz de coordenadas homogénea la matriz identidad como submatriz con filas y la matriz de coordenadas afines en las filas complementarias consecutivas. En la superposición entre dos vecindades de coordenadas cualesquiera, los valores de la matriz de coordenadas afines y están relacionados por las relaciones de transición ${\displaystyle k\times k}$ ${\displaystyle (i_{1},\dots ,i_{k})}$ ${\displaystyle A^{i_{1},\dots ,i_{k}}}$ ${\displaystyle U_{i_{1},\dots ,i_{k}}\cap U_{j_{1},\dots ,j_{k}}}$ ${\displaystyle A^{i_{1},\dots ,i_{k}}}$ ${\displaystyle A^{j_{1},\dots ,j_{k}}}$

${\displaystyle {\hat {A}}^{i_{1},\dots ,i_{k}}W_{i_{1},\dots ,i_{k}}={\hat {A}}^{j_{1},\dots ,j_{k}}W_{j_{1},\dots ,j_{k}},}$

donde ambos y son invertibles. Esto puede escribirse de manera equivalente como ${\displaystyle W_{i_{1},\dots ,i_{k}}}$ ${\displaystyle W_{j_{1},\dots ,j_{k}}}$

${\displaystyle {\hat {A}}^{j_{1},\dots ,j_{k}}={\hat {A}}^{i_{1},\dots ,i_{k}}({\hat {A}}_{j_{1},\dots ,j_{k}}^{i_{1},\dots ,i_{k}})^{-1},}$

donde está la matriz invertible cuya fila es la fila de . Por lo tanto, las funciones de transición son racionales en los elementos matriciales de , y proporciona un atlas para como variedad diferenciable y también como variedad algebraica. ${\displaystyle {\hat {A}}_{j_{1},\dots ,j_{k}}^{i_{1},\dots ,i_{k}}}$ ${\displaystyle k\times k}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle j_{l}}$ ${\displaystyle {\hat {A}}^{i_{1},\dots ,i_{k}}}$ ${\displaystyle A^{i_{1},\dots ,i_{k}}}$ ${\displaystyle \{U_{i_{1},\dots ,i_{k}},A^{i_{1},\dots ,i_{k}}\}}$ ${\displaystyle \mathbf {Gr} _{k}(V)}$

El Grassmanniano como conjunto de proyecciones ortogonales.

Una forma alternativa de definir un Grassmanniano real o complejo como una variedad es verlo como un conjunto de operadores de proyección ortogonales (Milnor & Stasheff (1974) problema 5-C). Para ello, elija un producto interno real definido positivo o hermitiano en , dependiendo de si es real o complejo. Un subespacio dimensional determina un operador de proyección ortogonal único cuya imagen se divide en la suma directa ortogonal ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle P_{w}:V\rightarrow V}$ ${\displaystyle w\subset V}$ ${\displaystyle V}$

${\displaystyle V=w\oplus w^{\perp }}$

de y su complemento ortogonal y definitorio ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle w^{\perp }}$

${\displaystyle P_{w}(v)={\begin{cases}v\quad {\text{ if }}v\in w\\0\quad {\text{ if }}v\in w^{\perp }.\end{cases}}}$

Por el contrario, todo operador de proyección de rango define un subespacio como su imagen. Dado que el rango de un operador de proyección ortogonal es igual a su traza , podemos identificar la variedad de Grassmann con el conjunto de operadores de proyección ortogonal de rango : ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle w_{P}:=\mathrm {Im} (P)}$ ${\displaystyle \mathbf {Gr} (k,V)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle P}$

${\displaystyle \mathbf {Gr} (k,V)\sim \left\{P\in \mathrm {End} (V)\mid P=P^{2}=P^{\dagger },\,\mathrm {tr} (P)=k\right\}.}$

En particular, tomar o esto da ecuaciones completamente explícitas para incrustar a los Grassmannianos , en el espacio de matrices reales o complejas , respectivamente. ${\displaystyle V=\mathbf {R} ^{n}}$ ${\displaystyle V=\mathbf {C} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbf {Gr} (k,\mathbf {R} ^{N})}$ ${\displaystyle \mathbf {Gr} (k,\mathbf {C} ^{N})}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle \mathbf {R} ^{n\times n}}$ ${\displaystyle \mathbf {C} ^{n\times n}}$

Dado que esto define al Grassmanniano como un subconjunto cerrado de la esfera, esta es una forma de ver que el Grassmanniano es un espacio compacto de Hausdorff . Esta construcción también convierte al Grassmanniano en un espacio métrico con ${\displaystyle \{X\in \mathrm {End} (V)\mid \mathrm {tr} (XX^{\dagger })=k\}}$ ${\displaystyle \mathbf {Gr} (k,V)}$

${\displaystyle d(w,w'):=\lVert P_{w}-P_{w'}\rVert ,}$

para cualquier par de subespacios -dimensionales, donde ‖ ⋅ ‖ denota la norma del operador . El producto interno exacto utilizado no importa, porque un producto interno diferente dará una norma equivalente en y, por lo tanto, una métrica equivalente. ${\displaystyle w,w'\subset V}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle V}$

Para el caso de Grassmannianos reales o complejos, la siguiente es una forma equivalente de expresar la construcción anterior en términos de matrices.

Grassmannianos , como variedades algebraicas afines G r ( k , R n ) {\displaystyle \mathbf {Gr} (k,\mathbf {R} ^{n})} G r ( k , C n ) {\displaystyle \mathbf {Gr} (k,\mathbf {C} ^{n})}

Denotemos el espacio de matrices reales y el subconjunto de matrices que satisfacen las tres condiciones: ${\displaystyle M(n,\mathbf {R} )}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle P(k,n,\mathbf {R} )\subset M(n,\mathbf {R} )}$ ${\displaystyle P\in M(n,\mathbf {R} )}$

• ${\displaystyle P}$es un operador de proyección : . ${\displaystyle P^{2}=P}$
• ${\displaystyle P}$es simétrico : . ${\displaystyle P^{T}=P}$
• ${\displaystyle P}$tiene rastro . ${\displaystyle \operatorname {tr} (P)=k}$

Existe una correspondencia biyectiva entre y el Grassmanniano de subespacios -dimensionales de dado enviando al subespacio -dimensional de abarcado por sus columnas y, a la inversa, enviando cualquier elemento a la matriz de proyección. ${\displaystyle P(k,n,\mathbf {R} )}$ ${\displaystyle \mathbf {Gr} (k,\mathbf {R} ^{n})}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$ ${\displaystyle P\in P(k,n,\mathbf {R} )}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$ ${\displaystyle w\in \mathbf {Gr} (k,\mathbf {R} ^{n})}$

${\displaystyle P_{w}:=\sum _{i=1}^{k}w_{i}w_{i}^{T},}$

¿Dónde está cualquier base ortonormal para , vista como vectores de columna de componentes reales? ${\displaystyle (w_{1},\cdots ,w_{k})}$ ${\displaystyle w\subset \mathbf {R} ^{n}}$ ${\displaystyle n}$

Se aplica una construcción análoga al complejo Grassmanniano , identificándolo biyectivamente con el subconjunto de matrices complejas que satisfacen ${\displaystyle \mathbf {Gr} (k,\mathbf {C} ^{n})}$ ${\displaystyle P(k,n,\mathbf {C} )\subset M(n,\mathbf {C} )}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle P\in M(n,\mathbf {C} )}$

• ${\displaystyle P}$es un operador de proyección : . ${\displaystyle P^{2}=P}$
• ${\displaystyle P}$es autoadjunto (hermitiano): . ${\displaystyle P^{\dagger }=P}$
• ${\displaystyle P}$tiene rastro , ${\displaystyle {\rm {{tr}(P)=k}}}$

donde la autoadjunción es con respecto al producto interno hermitiano en el que los vectores de base estándar son ortonómicos. La fórmula para la matriz de proyección ortogonal sobre el subespacio dimensional complejo abarcado por los vectores de base ortonormal (unitario) es ${\displaystyle \langle \,\cdot ,\cdot \,\rangle }$ ${\displaystyle (e_{1},\cdots ,e_{n})}$ ${\displaystyle P_{w}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle w\subset \mathbf {C} ^{n}}$ ${\displaystyle (w_{1},\cdots ,w_{k})}$

${\displaystyle P_{w}:=\sum _{i=1}^{k}w_{i}w_{i}^{\dagger }.}$

El Grassmanniano como espacio homogéneo

La forma más rápida de darle al Grassmann una estructura geométrica es expresarla como un espacio homogéneo . Primero, recuerde que el grupo lineal general actúa transitivamente sobre los subespacios -dimensionales de . Por lo tanto, si elegimos un subespacio de dimensión , cualquier elemento se puede expresar como ${\displaystyle \mathrm {GL} (V)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle w_{0}\subset V}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle w\in \mathbf {Gr} (k,V)}$

${\displaystyle w=g(w_{0})}$

para algún elemento del grupo , donde se determina sólo hasta la multiplicación correcta por elementos del estabilizador de : ${\displaystyle g\in \mathrm {GL} (V)}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \{h\in H\}}$ ${\displaystyle w_{0}}$

${\displaystyle H:=\mathrm {stab} (w_{0}):=\{h\in \mathrm {GL} (V)\,|\,h(w_{0})=w_{0}\}\subset \mathrm {GL} (V)}$

bajo la acción. ${\displaystyle \mathrm {GL} (V)}$

Por tanto, podemos identificarnos con el espacio cociente. ${\displaystyle \mathbf {Gr} (k,V)}$

${\displaystyle \mathbf {Gr} (k,V)=\mathrm {GL} (V)/H}$

de clases laterales izquierdas de . ${\displaystyle H}$

Si el campo subyacente es o y se considera un grupo de Lie , esta construcción convierte al Grassmanniano en una variedad suave bajo la estructura del cociente. De manera más general, sobre un campo terrestre , el grupo es un grupo algebraico , y esta construcción muestra que el Grassmanniano es una variedad algebraica no singular . De la existencia de la incrustación de Plücker se deduce que el Grassmanniano es completo como variedad algebraica. En particular, es un subgrupo parabólico de . ${\displaystyle \mathbf {R} }$ ${\displaystyle \mathbf {C} }$ ${\displaystyle \mathrm {GL} (V)}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \mathrm {GL} (V)}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \mathrm {GL} (V)}$

En esta construcción también es posible utilizar grupos más pequeños. Para hacer esto de nuevo , fije un producto interno euclidiano . El grupo ortogonal real actúa transitivamente sobre el conjunto de subespacios dimensionales y el estabilizador de un espacio es ${\displaystyle \mathbf {R} }$ ${\displaystyle \mathbf {C} }$ ${\displaystyle \mathbf {R} }$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle O(V,q)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \mathbf {Gr} (k,V)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle w_{0}\subset V}$

${\displaystyle O(w_{0},q|_{w_{0}})\times O(w_{0}^{\perp },q|_{w_{0}^{\perp }})}$,

¿ Dónde está el complemento ortogonal de in ? Esto da una identificación como el espacio homogéneo. ${\displaystyle w_{0}^{\perp }}$ ${\displaystyle w_{0}}$ ${\displaystyle V}$

${\displaystyle \mathbf {Gr} (k,V)=O(V,q)/\left(O(w,q|_{w})\times O(w^{\perp },q|_{w^{\perp }})\right)}$.

Si tomamos y (los primeros componentes) obtenemos el isomorfismo ${\displaystyle V=\mathbf {R} ^{n}}$ ${\displaystyle w_{0}=\mathbf {R} ^{k}\subset \mathbf {R} ^{n}}$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle \mathbf {Gr} (k,\mathbf {R} ^{n})=O(n)/\left(O(k)\times O(n-k)\right).}$

Sobre C , si elegimos un producto interno hermitiano , el grupo unitario actúa transitivamente y encontramos de manera análoga ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle U(V,h)}$

${\displaystyle \mathbf {Gr} (k,V)=U(V,h)/\left(U(w_{0},h|_{w_{0}})\times U(w_{0}^{\perp }|,h_{w_{0}^{\perp }})\right),}$

o, para y , ${\displaystyle V=\mathbf {C} ^{n}}$ ${\displaystyle w_{0}=\mathbf {C} ^{k}\subset \mathbf {C} ^{n}}$

${\displaystyle \mathbf {Gr} (k,\mathbf {C} ^{n})=U(n)/\left(U(k)\times U(n-k)\right).}$

En particular, esto muestra que el Grassmanniano es compacto y de dimensión (real o compleja) k ( n − k ) .

El Grassmanniano como esquema

En el ámbito de la geometría algebraica , el Grassmanniano se puede construir como un esquema expresándolo como un functor representable . ^[4]

funtores representables

Sea un haz cuasi coherente en un esquema . Arreglar un número entero positivo . Luego, a cada esquema , el funtor de Grassmann asocia el conjunto de módulos cocientes de ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T}$

${\displaystyle {\mathcal {E}}_{T}:={\mathcal {E}}\otimes _{O_{S}}O_{T}}$

localmente libre de rango en . Denotamos este conjunto por . ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \mathbf {Gr} (k,{\mathcal {E}}_{T})}$

Este funtor se puede representar mediante un esquema separado . Este último es proyectivo si se genera de forma finita. Cuando es el espectro de un campo , entonces el haz viene dado por un espacio vectorial y recuperamos la variedad Grassmanniana habitual del espacio dual de , a saber: . Por construcción, el esquema de Grassmann es compatible con cambios de base: para cualquier esquema , tenemos un isomorfismo canónico ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbf {Gr} (k,{\mathcal {E}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbf {Gr} (k,V)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S'}$

${\displaystyle \mathbf {Gr} (k,{\mathcal {E}})\times _{S}S'\simeq \mathbf {Gr} (k,{\mathcal {E}}_{S'})}$

En particular, para cualquier punto de , el morfismo canónico induce un isomorfismo de la fibra al campo Grassmanniano habitual sobre el campo residual . ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \{s\}={\text{Spec}}K(s)\rightarrow S}$ ${\displaystyle \mathbf {Gr} (k,{\mathcal {E}})_{s}}$ ${\displaystyle \mathbf {Gr} (k,{\mathcal {E}}\otimes _{O_{S}}K(s))}$ ${\displaystyle K(s)}$

familia universal

Dado que el esquema de Grassmann representa un funtor, viene con un objeto universal, que es un objeto y, por lo tanto, un módulo cociente de , localmente libre de rango sobre . El homomorfismo del cociente induce una inmersión cerrada del paquete proyectivo: ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle \mathbf {Gr} \left(k,{\mathcal {E}}_{\mathbf {Gr} (k,{\mathcal {E}})}\right),}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}_{\mathbf {Gr} (k,{\mathcal {E}})}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \mathbf {Gr} (k,{\mathcal {E}})}$

${\displaystyle \mathbf {P} ({\mathcal {G}})\to \mathbf {P} \left({\mathcal {E}}_{\mathbf {Gr} (k,{\mathcal {E}})}\right)=\mathbf {P} ({\mathcal {E}})\times _{S}\mathbf {Gr} (k,{\mathcal {E}}).}$

Para cualquier morfismo de S -esquemas:

${\displaystyle T\to \mathbf {Gr} (k,{\mathcal {E}}),}$

esta inmersión cerrada induce una inmersión cerrada

${\displaystyle \mathbf {P} ({\mathcal {G}}_{T})\to \mathbf {P} ({\mathcal {E}})\times _{S}T.}$

Por el contrario, cualquier inmersión cerrada de este tipo proviene de un homomorfismo sobreyectivo de -módulos de a un módulo de rango localmente libre . ^[5] Por lo tanto, los elementos de son exactamente los subconjuntos proyectivos de rango en ${\displaystyle O_{T}}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}_{T}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \mathbf {Gr} (k,{\mathcal {E}})(T)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \mathbf {P} ({\mathcal {E}})\times _{S}T.}$

Bajo esta identificación, cuando es el espectro de un campo y está dado por un espacio vectorial , el conjunto de puntos racionales corresponden a los subespacios lineales proyectivos de dimensión en , y la imagen de en ${\displaystyle T=S}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbf {Gr} (k,{\mathcal {E}})(K)}$ ${\displaystyle k-1}$ ${\displaystyle \mathbf {P} (V)}$ ${\displaystyle \mathbf {P} ({\mathcal {G}})(K)}$

$\mathbf {P} (V)\times _{K}\mathbf {Gr} (k,{\mathcal {E}})$

es el conjunto

${\displaystyle \left\{(x,v)\in \mathbf {P} (V)(K)\times \mathbf {Gr} (k,{\mathcal {E}})(K)\mid x\in v\right\}.}$

La incrustación de Plücker

La incrustación de Plücker ^[6] es una incrustación natural del Grassmanniano en la proyectivización del poder exterior de . ${\displaystyle \mathbf {Gr} (k,V)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \Lambda ^{k}V}$ ${\displaystyle V}$

$\iota :\mathbf {Gr} (k,V)\to \mathbf {P} \left(\Lambda ^{k}V\right).$

Supongamos que es un subespacio dimensional del espacio vectorial dimensional . Para definir , elija una base para , y sea la proyectivización del producto de cuña de estos elementos básicos: ${\displaystyle w\subset V}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \iota (w)}$ ${\displaystyle (w_{1},\cdots ,w_{k})}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle \iota (w)}$

$${\displaystyle \iota (w)=[w_{1}\wedge \cdots \wedge w_{k}],}$$

${\displaystyle [\,\cdot \,]}$

Una base diferente para dará un producto de cuña diferente, pero los dos se diferenciarán sólo por un múltiplo escalar distinto de cero (el determinante de la matriz de cambio de base ). Dado que el lado derecho toma valores en el espacio proyectivizado, está bien definido. Para ver que es una incrustación, observe que es posible recuperar desde el intervalo del conjunto de todos los vectores tales que ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle \iota }$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle \iota (w)}$ ${\displaystyle v\in V}$

${\displaystyle v\wedge \iota (w)=0}$.

Coordenadas de Plücker y relaciones de Plücker

La incrustación de Plücker del Grassmanniano satisface un conjunto de relaciones cuadráticas simples llamadas relaciones de Plücker . Estos muestran que el Grassmanniano se incorpora como una subvariedad algebraica proyectiva no singular de la proyectivización del ésimo poder exterior de y brindan otro método para construir el Grassmanniano. Para establecer las relaciones de Plücker, fije una base para y sea un subespacio dimensional de con base . Sean los componentes de con respecto a la base elegida de , y los vectores columna de componentes que forman la transpuesta de la matriz de coordenadas homogénea correspondiente: ${\displaystyle \mathbf {Gr} _{k}(V)}$ ${\displaystyle \mathbf {P} (\Lambda ^{k}V)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle (e_{1},\cdots ,e_{n})}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle w\subset V}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle (w_{1},\cdots ,w_{k})}$ ${\displaystyle (w_{i1},\cdots ,w_{in})}$ ${\displaystyle w_{i}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle (W^{1},\dots ,W^{n})}$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle W^{T}=[W^{1}\,\cdots W^{n}]={\begin{bmatrix}w_{11}&\cdots &w_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\w_{k1}&\cdots &w_{kn}\end{bmatrix}},}$

Para cualquier secuencia ordenada de números enteros positivos, sea el determinante de la matriz con columnas . Los elementos se denominan coordenadas de Plücker del elemento del Grassmanniano (con respecto a la base de ). Estas son las coordenadas lineales de la imagen de bajo el mapa de Plücker, relativas a la base del espacio de poder exterior generado por la base de . Dado que un cambio de base para da lugar a la multiplicación de las coordenadas de Plücker por una constante distinta de cero (el determinante de la matriz de cambio de base), éstas sólo se definen hasta la equivalencia proyectiva y, por tanto, determinan un punto en . ${\displaystyle 1\leq i_{1}<\cdots <i_{k}\leq n}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle w_{i_{1},\dots ,i_{k}}}$ ${\displaystyle k\times k}$ ${\displaystyle [W^{i_{1}},\dots ,W^{i_{k}}]}$ ${\displaystyle \{w_{i_{1},\dots ,i_{k}}\,\vert \,1\leq i_{1}<\cdots <i_{k}\leq n\}}$ ${\displaystyle w\in \mathbf {Gr} _{k}(V)}$ ${\displaystyle (e_{1},\cdots ,e_{n})}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \iota (w)}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle \Lambda ^{k}V}$ ${\displaystyle (e_{1},\cdots ,e_{n})}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle \mathbf {P} (\Lambda ^{k}V)}$

Para dos secuencias ordenadas cualesquiera y de y enteros positivos, respectivamente, las siguientes ecuaciones cuadráticas homogéneas, conocidas como relaciones de Plücker o relaciones de Plücker-Grassmann , son válidas y determinan la imagen de bajo la incrustación del mapa de Plücker: ${\displaystyle 1\leq i_{1}<i_{2}\cdots <i_{k-1}\leq n}$ ${\displaystyle 1\leq j_{1}<j_{2}\cdots <j_{k+1}\leq n}$ ${\displaystyle k-1}$ ${\displaystyle k+1}$ ${\displaystyle \iota (\mathbf {Gr} _{k}(V))}$ ${\displaystyle \mathbf {Gr} _{k}(V)}$

${\displaystyle \sum _{l=1}^{k+1}(-1)^{\ell }w_{i_{1},\dots ,i_{k-1},j_{l}}w_{j_{1},\dots ,{\widehat {j_{l}}},\dots j_{k+1}}=0,}$

donde denota la secuencia con el término omitido. Estos son consistentes y determinan una variedad algebraica proyectiva no singular , pero no son algebraicamente independientes. Son equivalentes a la afirmación de que es la proyectivización de un elemento de . ${\displaystyle j_{1},\ldots ,{\widehat {j_{l}}},\ldots j_{k+1}}$ ${\displaystyle j_{1},\ldots ,j_{k+1}}$ ${\displaystyle j_{l}}$ ${\displaystyle \iota (w)}$ ${\displaystyle \Lambda ^{k}V}$

Cuando , y (el Grassmanniano más simple que no es un espacio proyectivo), lo anterior se reduce a una sola ecuación. Denotando las coordenadas homogéneas de la imagen bajo el mapa de Plücker como , esta única relación de Plücker es ${\displaystyle \dim(V)=4}$ ${\displaystyle k=2}$ ${\displaystyle \iota (\mathbf {Gr} _{2}(V)\subset \mathbf {P} (\Lambda ^{2}V)}$ ${\displaystyle (w_{12},w_{13},w_{14},w_{23},w_{24},w_{34})}$

${\displaystyle w_{12}w_{34}-w_{13}w_{24}+w_{14}w_{23}=0.}$

En general, se necesitan muchas más ecuaciones para definir la imagen del Grassmanniano bajo la incrustación de Plücker. ${\displaystyle \iota (\mathbf {Gr} _{k}(V))}$ ${\displaystyle \mathbf {P} (\Lambda ^{k}V)}$

Dualidad

Cada subespacio dimensional determina un espacio cociente dimensional de . Esto da la secuencia exacta corta natural : ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle W\subset V}$ ${\displaystyle (n-k)}$ ${\displaystyle V/W}$ ${\displaystyle V}$

${\displaystyle 0\rightarrow W\rightarrow V\rightarrow V/W\rightarrow 0.}$

Llevando el dual a cada uno de estos tres espacios y las transformaciones lineales duales se obtiene una inclusión de in con cociente ${\displaystyle (V/W)^{*}}$ ${\displaystyle V^{*}}$ ${\displaystyle W^{*}}$

${\displaystyle 0\rightarrow (V/W)^{*}\rightarrow V^{*}\rightarrow W^{*}\rightarrow 0.}$

El uso del isomorfismo natural de un espacio vectorial de dimensión finita con su doble dual muestra que tomar el dual nuevamente recupera la secuencia corta exacta original. En consecuencia, existe una correspondencia uno a uno entre subespacios -dimensionales de y subespacios -dimensionales de . En términos del Grassmanniano, esto da un isomorfismo canónico ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle (n-k)}$ ${\displaystyle V^{*}}$

${\displaystyle \mathbf {Gr} _{k}(V)\leftrightarrow \mathbf {Gr} {(n-k},V^{*})}$

que asocia a cada subespacio su aniquilador . Por lo tanto , elegir un isomorfismo de with determina un isomorfismo (no canónico) entre y . Un isomorfismo de with es equivalente a la elección de un producto interno, por lo que con respecto al producto interno elegido, este isomorfismo de Grassmannianos envía cualquier subespacio -dimensional a su complemento ortogonal de }-dimensional . ${\displaystyle W\subset V}$ ${\displaystyle W^{0}\subset V^{*}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V^{*}}$ ${\displaystyle \mathbf {Gr} _{k}(V)}$ ${\displaystyle \mathbf {Gr} _{n-k}(V)}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V^{*}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle (n-k)}$

células de schubert

El estudio detallado de los Grassmannianos hace uso de una descomposición en subespacios afines llamados células de Schubert , que se aplicaron por primera vez en geometría enumerativa . Las celdas de Schubert para se definen en términos de una bandera completa especificada de subespacios de dimensión . Para cualquier partición entera ${\displaystyle \mathbf {Gr} _{k}(V)}$ ${\displaystyle V_{1}\subset V_{2}\subset \cdots \subset V_{n}=V}$ ${\displaystyle \mathrm {dim} (V_{i})=i}$

${\displaystyle \lambda =(\lambda _{1},\cdots ,\lambda _{k})}$

de peso

${\displaystyle |\lambda |=\sum _{i=1}^{k}\lambda _{i}}$

que consta de números enteros no negativos débilmente decrecientes

${\displaystyle \lambda _{1}\geq \cdots \geq \lambda _{k}\geq 0,}$

cuyo diagrama de Young encaja dentro del rectangular , la celda de Schubert consta de aquellos elementos cuyas intersecciones con los subespacios tienen las siguientes dimensiones ${\displaystyle (n-k)^{k}}$ ${\displaystyle X_{\lambda }(k,n)\subset \mathbf {Gr} _{k}(V)}$ ${\displaystyle W\in \mathbf {Gr} _{k}(V)}$ ${\displaystyle \{V_{i}\}}$

${\displaystyle X_{\lambda }(k,n)=\{W\in \mathbf {Gr} _{k}(V)\,|\,\dim(W\cap V_{n-k+j-\lambda _{j}})=j\}.}$

Se trata de espacios afines, y sus cierres (dentro de la topología de Zariski ) se conocen como variedades Schubert .

Como ejemplo de la técnica, considere el problema de determinar la característica de Euler del Grassmanniano de subespacios k -dimensionales de R ⁿ . Fije un subespacio dimensional y considere la partición de en aquellos k subespacios dimensionales de R ⁿ que contienen R y los que no. El primero es y el segundo es un paquete de vectores de rango sobre . Esto da fórmulas recursivas: ${\displaystyle \chi _{k,n}}$ ${\displaystyle \mathbf {Gr} _{k}(\mathbf {R} ^{n})}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \mathbf {R} \subset \mathbf {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbf {Gr} _{k}(\mathbf {R} ^{n})}$ ${\displaystyle \mathbf {Gr} _{k-1}(\mathbf {R} ^{n-1})}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \mathbf {Gr} _{k}(\mathbf {R} ^{n-1})}$

${\displaystyle \chi _{k,n}=\chi _{k-1,n-1}+(-1)^{k}\chi _{k,n-1},\qquad \chi _{0,n}=\chi _{n,n}=1.}$

Resolviendo estas relaciones de recursividad se obtiene la fórmula: si es par y es impar y ${\displaystyle \chi _{k,n}=0}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle \chi _{k,n}={\begin{pmatrix}\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor \\\left\lfloor {\frac {k}{2}}\right\rfloor \end{pmatrix}}}$

de lo contrario.

Anillo de cohomología del complejo Grassmanniano.

Cada punto de la compleja variedad de Grassmann define un plano en el espacio. Fibrando estos planos sobre el de Grassmann se llega al paquete vectorial que generaliza el paquete tautológico de un espacio proyectivo . De manera similar, los complementos ortogonales -dimensionales de estos planos producen un paquete de vectores ortogonales . La cohomología integral de los Grassmannianos es generada, a modo de anillo , por las clases de Chern . En particular, toda la cohomología integral está en grado par como en el caso de un espacio proyectivo. ${\displaystyle \mathbf {Gr} _{k}(\mathbf {C} ^{n})}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle (n-k)}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle E}$

Estos generadores están sujetos a un conjunto de relaciones que definen el anillo. Las relaciones definitorias son fáciles de expresar para un conjunto más grande de generadores, que consta de las clases Chern de y . Entonces las relaciones simplemente establecen que la suma directa de las cestas y es trivial. La funcionalidad del total de clases de Chern permite escribir esta relación como ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle F}$

${\displaystyle c(E)c(F)=1.}$

El anillo de cohomología cuántica fue calculado por Edward Witten . ^[7] Los generadores son idénticos a los del anillo de cohomología clásico, pero la relación superior se cambia a

${\displaystyle c_{k}(E)c_{n-k}(F)=(-1)^{n-k}}$

reflejando la existencia en la correspondiente teoría cuántica de campos de un instantón con modos cero fermiónicos que viola el grado de cohomología correspondiente a un estado por unidades. ${\displaystyle 2n}$ ${\displaystyle 2n}$

Medida asociada

Cuando es un espacio euclidiano de dimensiones, podemos definir una medida uniforme de la siguiente manera. Sea la unidad de medida de Haar en el grupo ortogonal y fijemos . Luego, para un conjunto , defina ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbf {Gr} _{k}(V)}$ ${\displaystyle \theta _{n}}$ ${\displaystyle O(n)}$ ${\displaystyle w\in \mathbf {Gr} _{k}(V)}$ ${\displaystyle A\subset \mathbf {Gr} _{k}(V)}$

${\displaystyle \gamma _{k,n}(A)=\theta _{n}\{g\in \operatorname {O} (n):gw\in A\}.}$

Esta medida es invariante bajo la acción del grupo ; eso es, ${\displaystyle O(n)}$

${\displaystyle \gamma _{k,n}(gA)=\gamma _{k,n}(A)}$

para todos . Desde que tenemos . Además, es una medida de radón con respecto a la topología espacial métrica y es uniforme en el sentido de que cada bola del mismo radio (con respecto a esta métrica) es de la misma medida. ${\displaystyle g\in O(n)}$ ${\displaystyle \theta _{n}(O(n))=1}$ ${\displaystyle \gamma _{k,n}(\mathbf {Gr} _{k}(V))=1}$ ${\displaystyle \gamma _{k,n}}$

Grassmanniano orientado

Esta es la variedad que consta de todos los subespacios dimensionales orientados de . Es una doble portada de y se denota por . ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbf {Gr} _{k}(\mathbf {R} ^{n})}$ ${\displaystyle {\widetilde {\mathbf {Gr} }}_{k}(\mathbf {R} ^{n})}$

Como espacio homogéneo se puede expresar como:

${\displaystyle {\widetilde {\mathbf {Gr} }}_{k}(\mathbf {R} ^{n})=\operatorname {SO} (n)/(\operatorname {SO} (k)\times \operatorname {SO} (n-k)).}$

Grassmannianos isotrópicos ortogonales

Dada una forma bilineal simétrica no degenerada real o compleja en el espacio dimensional (es decir, un producto escalar), el Grassmanniano totalmente isotrópico se define como la subvariedad que consta de subespacios totalmente dimensionales para los cuales ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbf {Gr} _{k}^{0}(V,Q)}$ ${\displaystyle \mathbf {Gr} _{k}^{0}(V,Q)\subset \mathbf {Gr} _{k}(V)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle w\subset V}$

${\displaystyle Q(u,v)=0,\,\forall \,u,v\in w.}$

Los Grassmannianos isotrópicos máximos con respecto a un producto escalar real o complejo están estrechamente relacionados con la teoría de los espinores de Cartan . ^[8] Bajo la incrustación de Cartan , sus componentes conectados son equivariantemente difeomorfos a la órbita de espinor mínima proyectivada, bajo la representación de espín, la llamada variedad proyectiva de espinor puro que, de manera similar a la imagen de la incrustación del mapa de Plücker , se recorta como la intersección de una serie de cuádricas, las cuádricas de Cartan . ^{[8] [9] [10]}

Aplicaciones

Una aplicación clave de los Grassmannianos es como espacio de inclusión "universal" para haces con conexiones en colectores compactos. ^{[11] [12]}

Otra aplicación importante es el cálculo de Schubert , que es la geometría enumerativa involucrada en calcular el número de puntos, rectas, planos, etc. en un espacio proyectivo que intersecan a un determinado conjunto de puntos, rectas, etc., utilizando la teoría de intersección de variedades de Schubert. . Las subvariedades de células de Schubert también se pueden utilizar para parametrizar vectores propios simultáneos de conjuntos completos de operadores de conmutación en sistemas de espín integrables cuánticos, como el modelo de Gaudin , utilizando el método de Bethe ansatz . ^[13]

Una aplicación adicional es la solución de jerarquías de sistemas clásicos completamente integrables de ecuaciones diferenciales parciales, como la ecuación de Kadomtsev-Petviashvili y la jerarquía KP asociada . Estos se pueden expresar en términos de flujos de grupos abelianos en una variedad de Grassmann de dimensión infinita. ^{[14] [15] [16] [17]} Las ecuaciones de KP, expresadas en forma bilineal de Hirota en términos de la función Tau de KP , son equivalentes a las relaciones de Plücker . ^{[18] [17]} Una construcción similar es válida para soluciones de la jerarquía integrable BKP, en términos de flujos de grupos abelianos en una variedad de Grassmann isotrópica máxima de dimensión infinita. ^{[15] [16] [19]}

Las variedades de Grassmann positivas de dimensión finita se pueden utilizar para expresar soluciones de solitones de ecuaciones de KP que no son singulares para valores reales de los parámetros de flujo de KP. ^{[20] [21] [22]}

Las amplitudes de dispersión de las partículas subatómicas en la teoría súper supersimétrica de Yang-Mills se pueden calcular en el límite plano mediante una construcción de Grassmann positiva llamada amplituedro . ^[23]

Las variedades de Grassmann también han encontrado aplicaciones en tareas de visión por computadora de reconocimiento facial y de formas basadas en video, ^[24] y se utilizan en la técnica de visualización de datos conocida como grand tour .

Ver también

• cálculo de schubert
• Para ver un ejemplo del uso de Grassmannianos en geometría diferencial , consulte el mapa de Gauss.
• En geometría proyectiva , consulte Incrustación de Plücker y Coordenadas de Plücker .
• Las variedades de banderas son generalizaciones de los Grassmannianos cuyos elementos, vistos geométricamente, son secuencias anidadas de subespacios de dimensiones específicas.
• Las variedades de Stiefel son conjuntos de marcos ortonormales sobre Grassmanianos.
• Dada una clase distinguida de subespacios, se pueden definir Grassmannianos de estos subespacios, como Grassmannianos isotrópicos o Grassmannianos lagrangianos .
• Grassmaniano isotrópico
• Grassmanniano Lagrangiano
• Los Grassmannianos proporcionan espacios de clasificación en la teoría K , en particular el espacio de clasificación para U( n ) . En la teoría de esquemas de homotopía , el Grassmanniano juega un papel similar para la teoría K algebraica . ^[25]
• Grassmanniano afín
• paquete de Grassmann
• Gráfico de Grassmann

Notas

1. Lee 2012, pág. 22, Ejemplo 1.36.
2. Shafarevich 2013, pag. 42, Ejemplo 1.24.
3. Milnor y Stasheff (1974), págs. 57–59.
4. Grothendieck, Alejandro (1971). Elementos de geometría algébrique . vol. 1 (2ª ed.). Berlín, Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-05113-8., Capítulo I.9
5. EGA , II.3.6.3.
6. Griffiths, Phillip ; Harris, Joseph (1994), Principios de geometría algebraica , Wiley Classics Library (2ª ed.), Nueva York: John Wiley & Sons , p. 211, ISBN 0-471-05059-8, SEÑOR  1288523, Zbl  0836.14001
7. Witten, Edward (1993). "El álgebra de Verlinde y la cohomología del Grassmanniano". arXiv : hep-th/9312104 .
8. Cartan, Élie (1981) [1938]. La teoría de los espinores. Nueva York: Publicaciones de Dover . ISBN 978-0-486-64070-9. SEÑOR  0631850.
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