Grassmaniano

Espacio matemático

En matemáticas , el Grassmanniano (nombrado en honor a Hermann Grassmann ) es una variedad diferenciable que parametriza el conjunto de subespacios lineales de todas las dimensiones de un espacio vectorial de dimensión 1 sobre un cuerpo . Por ejemplo, el Grassmanniano es el espacio de líneas que pasan por el origen en , por lo que es el mismo que el espacio proyectivo de una dimensión menor que . ^{[1] [2]} Cuando es un espacio vectorial real o complejo , los Grassmannianos son variedades compactas y suaves , de dimensión . ^[3] En general, tienen la estructura de una variedad algebraica proyectiva no singular . ${\displaystyle \mathbf {Gr} _{k}(V)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \mathbf {Gr} _{1}(V)}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbf {P} (V)}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle k(n-k)}$

El primer trabajo sobre un Grassmanniano no trivial se debe a Julius Plücker , quien estudió el conjunto de líneas proyectivas en el 3-espacio proyectivo real, que es equivalente a , parametrizándolas por lo que ahora se llaman coordenadas de Plücker . (Véase § Coordenadas de Plücker y relaciones de Plücker más abajo.) Hermann Grassmann introdujo posteriormente el concepto en general. ${\displaystyle \mathbf {Gr} _{2}(\mathbf {R} ^{4})}$

Las notaciones para Grassmannianos varían entre autores e incluyen , , , para denotar el Grassmanniano de subespacios -dimensionales de un espacio vectorial -dimensional . ${\displaystyle \mathbf {Gr} _{k}(V)}$ ${\displaystyle \mathbf {Gr} (k,V)}$ ${\displaystyle \mathbf {Gr} _{k}(n)}$ ${\displaystyle \mathbf {Gr} (k,n)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle V}$

Motivación

Al darle a una colección de subespacios de un espacio vectorial una estructura topológica , es posible hablar de una elección continua de subespacios o de colecciones abiertas y cerradas de subespacios. Al darles la estructura adicional de una variedad diferenciable , se puede hablar de elecciones suaves de subespacios.

Un ejemplo natural proviene de los fibrados tangentes de variedades suaves embebidas en un espacio euclidiano . Supongamos que tenemos una variedad de dimensión embebida en . En cada punto , el espacio tangente a puede considerarse como un subespacio del espacio tangente de , que también es simplemente . La función que asigna a su espacio tangente define una función de M a . (Para hacer esto, tenemos que trasladar el espacio tangente en cada uno de modo que pase por el origen en lugar de por , y por lo tanto defina un subespacio vectorial en -dimensional. Esta idea es muy similar a la función de Gauss para superficies en un espacio tridimensional). ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$ ${\displaystyle x\in M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \mathbf {Gr} _{k}(\mathbf {R} ^{n})}$ ${\displaystyle x\in M}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle k}$

Esto puede extenderse con cierto esfuerzo a todos los fibrados vectoriales sobre una variedad , de modo que cada fibrado vectorial genere una función continua de a un Grassmanniano adecuadamente generalizado, aunque deben probarse varios teoremas de incrustación para mostrar esto. Entonces encontramos que las propiedades de nuestros fibrados vectoriales están relacionadas con las propiedades de las funciones correspondientes. En particular, encontramos que los fibrados vectoriales que inducen funciones homotópicas al Grassmanniano son isomorfos . Aquí la definición de homotopía se basa en una noción de continuidad y, por lo tanto, en una topología. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$

Dimensiones reducidas

Para k = 1 , el Grassmanniano Gr (1, n ) es el espacio de líneas que pasan por el origen en el espacio n , por lo que es el mismo que el espacio proyectivo de n − 1 dimensiones. ${\displaystyle \mathbf {P} ^{n-1}}$

Para k = 2 , el Grassmanniano es el espacio de todos los planos bidimensionales que contienen el origen. En el espacio tridimensional euclidiano, un plano que contiene el origen está completamente caracterizado por la única línea que pasa por el origen y que es perpendicular a ese plano (y viceversa); por lo tanto, los espacios Gr (2, 3) , Gr (1, 3) y P ² (el plano proyectivo ) pueden identificarse entre sí.

El Grassmanniano más simple que no es un espacio proyectivo es Gr (2, 4) .

El Grassmanniano como variedad diferenciable

Para dotar de la estructura de una variedad diferenciable, elijamos una base para . Esto es equivalente a identificar con , con la base estándar denotada , vista como vectores columna. Entonces, para cualquier subespacio -dimensional , visto como un elemento de , podemos elegir una base que consista en vectores columna linealmente independientes . Las coordenadas homogéneas del elemento consisten en los elementos de la matriz rectangular de rango máximo cuyo -ésimo vector columna es , . Dado que la elección de la base es arbitraria, dos de esas matrices rectangulares de rango máximo y representan el mismo elemento si y solo si ${\displaystyle \mathbf {Gr} _{k}(V)}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle K^{n}}$ ${\displaystyle (e_{1},\dots ,e_{n})}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle w\subset V}$ ${\displaystyle \mathbf {Gr} _{k}(V)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle (W_{1},\dots ,W_{k})}$ ${\displaystyle w\in \mathbf {Gr} _{k}(V)}$ ${\displaystyle n\times k}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle W_{i}}$ ${\displaystyle i=1,\dots ,k}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle {\tilde {W}}}$ ${\displaystyle w\in \mathbf {Gr} _{k}(V)}$

${\displaystyle {\tilde {W}}=Wg}$

para algún elemento del grupo lineal general de matrices invertibles con entradas en . Esto define una relación de equivalencia entre matrices de rango , para las cuales las clases de equivalencia se denotan como . ${\displaystyle g\in GL(k,K)}$ ${\displaystyle k\times k}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle n\times k}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle [W]}$

Ahora definimos un atlas de coordenadas. Para cualquier matriz de coordenadas homogénea , podemos aplicar operaciones elementales de columna (que equivalen a multiplicar por una secuencia de elementos ) para obtener su forma escalonada de columna reducida . Si las primeras filas de son linealmente independientes, el resultado tendrá la forma ${\displaystyle n\times k}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle g\in GL(k,K)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle W}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1\\&1\\&&\ddots \\&&&1\\a_{1,1}&\cdots &\cdots &a_{1,k}\\\vdots &&&\vdots \\a_{n-k,1}&\cdots &\cdots &a_{n-k,k}\end{bmatrix}}}$

y la matriz de coordenadas afines con entradas determina . En general, las primeras filas no necesitan ser independientes, pero dado que tiene rango máximo , existe un conjunto ordenado de enteros tal que la submatriz cuyas filas son las -ésimas filas de no es singular . Podemos aplicar operaciones de columna para reducir esta submatriz a la matriz identidad , y las entradas restantes determinan de manera única . Por lo tanto, tenemos la siguiente definición: ${\displaystyle (n-k)\times k}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (a_{ij})}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle 1\leq i_{1}<\cdots <i_{k}\leq n}$ ${\displaystyle k\times k}$ ${\displaystyle W_{i_{1},\dots ,i_{k}}}$ ${\displaystyle (i_{1},\ldots ,i_{k})}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle w}$

Para cada conjunto ordenado de números enteros , sea el conjunto de elementos para los cuales, para cualquier elección de matriz de coordenadas homogénea , la submatriz cuya fila -ésima es la fila -ésima de no es singular. Las funciones de coordenadas afines en se definen entonces como las entradas de la matriz cuyas filas son las de la matriz complementaria a , escritas en el mismo orden. La elección de la matriz de coordenadas homogénea para representar el elemento no afecta los valores de la matriz de coordenadas afín que representa w en el entorno de coordenadas . Además, las matrices de coordenadas pueden tomar valores arbitrarios, y definen un difeomorfismo de al espacio de matrices con valores - . Denote por ${\displaystyle 1\leq i_{1}<\cdots <i_{k}\leq n}$ ${\displaystyle U_{i_{1},\dots ,i_{k}}}$ ${\displaystyle w\in \mathbf {Gr} _{k}(V)}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle k\times k}$ ${\displaystyle W_{i_{1},\dots ,i_{k}}}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle i_{j}}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle U_{i_{1},\dots ,i_{k}}}$ ${\displaystyle (n-k)\times k}$ ${\displaystyle A^{i_{1},\dots ,i_{k}}}$ ${\displaystyle WW_{i_{1},\dots ,i_{k}}^{-1}}$ ${\displaystyle (i_{1},\dots ,i_{k})}$ ${\displaystyle n\times k}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle [W]}$ ${\displaystyle w\in \mathbf {Gr} _{k}(V)}$ ${\displaystyle A^{i_{1},\dots ,i_{k}}}$ ${\displaystyle U_{i_{1},\dots ,i_{k}}}$ ${\displaystyle A^{i_{1},\dots ,i_{k}}}$ ${\displaystyle U_{i_{1},\dots ,i_{k}}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle (n-k)\times k}$

${\displaystyle {\hat {A}}^{i_{1},\dots ,i_{k}}:=W(W_{i_{1},\dots ,i_{k}})^{-1}}$

La matriz de coordenadas homogénea que tiene la matriz identidad como submatriz con filas y la matriz de coordenadas afines en las filas complementarias consecutivas. En la superposición entre dos de tales vecindarios de coordenadas, los valores de la matriz de coordenadas afines y están relacionados por las relaciones de transición. ${\displaystyle k\times k}$ ${\displaystyle (i_{1},\dots ,i_{k})}$ ${\displaystyle A^{i_{1},\dots ,i_{k}}}$ ${\displaystyle U_{i_{1},\dots ,i_{k}}\cap U_{j_{1},\dots ,j_{k}}}$ ${\displaystyle A^{i_{1},\dots ,i_{k}}}$ ${\displaystyle A^{j_{1},\dots ,j_{k}}}$

${\displaystyle {\hat {A}}^{i_{1},\dots ,i_{k}}W_{i_{1},\dots ,i_{k}}={\hat {A}}^{j_{1},\dots ,j_{k}}W_{j_{1},\dots ,j_{k}},}$

donde tanto y son invertibles. Esto se puede escribir de forma equivalente como ${\displaystyle W_{i_{1},\dots ,i_{k}}}$ ${\displaystyle W_{j_{1},\dots ,j_{k}}}$

${\displaystyle {\hat {A}}^{j_{1},\dots ,j_{k}}={\hat {A}}^{i_{1},\dots ,i_{k}}({\hat {A}}_{j_{1},\dots ,j_{k}}^{i_{1},\dots ,i_{k}})^{-1},}$

donde es la matriz invertible cuya fila n es la fila n de . Por lo tanto, las funciones de transición son racionales en los elementos de la matriz de , y da un atlas para como variedad diferenciable y también como variedad algebraica. ${\displaystyle {\hat {A}}_{j_{1},\dots ,j_{k}}^{i_{1},\dots ,i_{k}}}$ ${\displaystyle k\times k}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle j_{l}}$ ${\displaystyle {\hat {A}}^{i_{1},\dots ,i_{k}}}$ ${\displaystyle A^{i_{1},\dots ,i_{k}}}$ ${\displaystyle \{U_{i_{1},\dots ,i_{k}},A^{i_{1},\dots ,i_{k}}\}}$ ${\displaystyle \mathbf {Gr} _{k}(V)}$

El Grassmanniano como un conjunto de proyecciones ortogonales

Una forma alternativa de definir un Grassmanniano real o complejo como una variedad es verlo como un conjunto de operadores de proyección ortogonales (Milnor & Stasheff (1974) problema 5-C). Para esto, elija un producto interno real o hermítico definido positivo en , dependiendo de si es real o complejo. Un subespacio -dimensional determina un operador de proyección ortogonal único cuya imagen es al dividirse en la suma directa ortogonal ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle P_{w}:V\rightarrow V}$ ${\displaystyle w\subset V}$ ${\displaystyle V}$

${\displaystyle V=w\oplus w^{\perp }}$

de y su complemento ortogonal y definitorio ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle w^{\perp }}$

${\displaystyle P_{w}(v)={\begin{cases}v\quad {\text{ if }}v\in w\\0\quad {\text{ if }}v\in w^{\perp }.\end{cases}}}$

Por el contrario, cada operador de proyección de rango define un subespacio como su imagen. Como el rango de un operador de proyección ortogonal es igual a su traza , podemos identificar la variedad de Grassmann con el conjunto de operadores de proyección ortogonales de rango : ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle w_{P}:=\mathrm {Im} (P)}$ ${\displaystyle \mathbf {Gr} (k,V)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle P}$

${\displaystyle \mathbf {Gr} (k,V)\sim \left\{P\in \mathrm {End} (V)\mid P=P^{2}=P^{\dagger },\,\mathrm {tr} (P)=k\right\}.}$

En particular, al tomar o esto se obtienen ecuaciones completamente explícitas para incrustar los Grassmannianos , en el espacio de matrices reales o complejas , , respectivamente. ${\displaystyle V=\mathbf {R} ^{n}}$ ${\displaystyle V=\mathbf {C} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbf {Gr} (k,\mathbf {R} ^{N})}$ ${\displaystyle \mathbf {Gr} (k,\mathbf {C} ^{N})}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle \mathbf {R} ^{n\times n}}$ ${\displaystyle \mathbf {C} ^{n\times n}}$

Dado que esto define al Grassmanniano como un subconjunto cerrado de la esfera, esta es una forma de ver que el Grassmanniano es un espacio de Hausdorff compacto . Esta construcción también convierte al Grassmanniano en un espacio métrico con métricas ${\displaystyle \{X\in \mathrm {End} (V)\mid \mathrm {tr} (XX^{\dagger })=k\}}$ ${\displaystyle \mathbf {Gr} (k,V)}$

${\displaystyle d(w,w'):=\lVert P_{w}-P_{w'}\rVert ,}$

para cualquier par de subespacios -dimensionales, donde ‖ ⋅ ‖ denota la norma del operador . El producto interno exacto utilizado no importa, porque un producto interno diferente dará una norma equivalente en , y por lo tanto una métrica equivalente. ${\displaystyle w,w'\subset V}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle V}$

Para el caso de Grassmannianos reales o complejos, la siguiente es una forma equivalente de expresar la construcción anterior en términos de matrices.

GrassmannianosGramo(a,Rnorte) yGramo(a,donorte) como variedades algebraicas afines

Sea el espacio de matrices reales y el subconjunto de matrices que satisfacen las tres condiciones: ${\displaystyle M(n,\mathbf {R} )}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle P(k,n,\mathbf {R} )\subset M(n,\mathbf {R} )}$ ${\displaystyle P\in M(n,\mathbf {R} )}$

• ${\displaystyle P}$es un operador de proyección : . ${\displaystyle P^{2}=P}$
• ${\displaystyle P}$es simétrico : . ${\displaystyle P^{T}=P}$
• ${\displaystyle P}$tiene rastro ${\displaystyle \operatorname {tr} (P)=k}$

Existe una correspondencia biyectiva entre y el Grassmanniano de subespacios -dimensionales de dados enviando al subespacio -dimensional de generado por sus columnas y, a la inversa, enviando cualquier elemento a la matriz de proyección ${\displaystyle P(k,n,\mathbf {R} )}$ ${\displaystyle \mathbf {Gr} (k,\mathbf {R} ^{n})}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$ ${\displaystyle P\in P(k,n,\mathbf {R} )}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$ ${\displaystyle w\in \mathbf {Gr} (k,\mathbf {R} ^{n})}$

${\displaystyle P_{w}:=\sum _{i=1}^{k}w_{i}w_{i}^{T},}$

donde es cualquier base ortonormal para , vistos como vectores de columna de componentes reales. ${\displaystyle (w_{1},\cdots ,w_{k})}$ ${\displaystyle w\subset \mathbf {R} ^{n}}$ ${\displaystyle n}$

Una construcción análoga se aplica al complejo Grassmanniano , identificándolo biyectivamente con el subconjunto de matrices complejas que satisfacen ${\displaystyle \mathbf {Gr} (k,\mathbf {C} ^{n})}$ ${\displaystyle P(k,n,\mathbf {C} )\subset M(n,\mathbf {C} )}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle P\in M(n,\mathbf {C} )}$

• ${\displaystyle P}$es un operador de proyección : . ${\displaystyle P^{2}=P}$
• ${\displaystyle P}$es autoadjunto (hermítico): . ${\displaystyle P^{\dagger }=P}$
• ${\displaystyle P}$tiene rastro , ${\displaystyle {\rm {{tr}(P)=k}}}$

donde la autoadjunción es con respecto al producto interno hermítico en el que los vectores base estándar son ortonómicos. La fórmula para la matriz de proyección ortogonal sobre el subespacio complejo de dimensión generado por los vectores base ortonormales (unitarios) es ${\displaystyle \langle \,\cdot ,\cdot \,\rangle }$ ${\displaystyle (e_{1},\cdots ,e_{n})}$ ${\displaystyle P_{w}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle w\subset \mathbf {C} ^{n}}$ ${\displaystyle (w_{1},\cdots ,w_{k})}$

${\displaystyle P_{w}:=\sum _{i=1}^{k}w_{i}w_{i}^{\dagger }.}$

El Grassmanniano como espacio homogéneo

La forma más rápida de dar al Grassmanniano una estructura geométrica es expresarlo como un espacio homogéneo . Primero, recordemos que el grupo lineal general actúa transitivamente sobre los subespacios de dimensión . Por lo tanto, si elegimos un subespacio de dimensión , cualquier elemento puede expresarse como ${\displaystyle \mathrm {GL} (V)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle w_{0}\subset V}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle w\in \mathbf {Gr} (k,V)}$

${\displaystyle w=g(w_{0})}$

para algún elemento del grupo , donde se determina solo hasta la multiplicación correcta por elementos del estabilizador de : ${\displaystyle g\in \mathrm {GL} (V)}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \{h\in H\}}$ ${\displaystyle w_{0}}$

${\displaystyle H:=\mathrm {stab} (w_{0}):=\{h\in \mathrm {GL} (V)\,|\,h(w_{0})=w_{0}\}\subset \mathrm {GL} (V)}$

bajo la -acción. ${\displaystyle \mathrm {GL} (V)}$

Por lo tanto, podemos identificarnos con el espacio cociente. ${\displaystyle \mathbf {Gr} (k,V)}$

${\displaystyle \mathbf {Gr} (k,V)=\mathrm {GL} (V)/H}$

de clases laterales izquierdas de . ${\displaystyle H}$

Si el cuerpo subyacente es o y se considera como un grupo de Lie , esta construcción hace que el Grassmanniano sea una variedad suave bajo la estructura de cociente. De manera más general, sobre un cuerpo base , el grupo es un grupo algebraico , y esta construcción muestra que el Grassmanniano es una variedad algebraica no singular . Se deduce de la existencia de la incrustación de Plücker que el Grassmanniano es completo como variedad algebraica. En particular, es un subgrupo parabólico de . ${\displaystyle \mathbf {R} }$ ${\displaystyle \mathbf {C} }$ ${\displaystyle \mathrm {GL} (V)}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \mathrm {GL} (V)}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \mathrm {GL} (V)}$

Sobre o también es posible utilizar grupos más pequeños en esta construcción. Para ello , se fija un producto interno euclidiano en . El grupo ortogonal real actúa transitivamente sobre el conjunto de subespacios -dimensionales y el estabilizador de un -espacio es ${\displaystyle \mathbf {R} }$ ${\displaystyle \mathbf {C} }$ ${\displaystyle \mathbf {R} }$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle O(V,q)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \mathbf {Gr} (k,V)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle w_{0}\subset V}$

${\displaystyle O(w_{0},q|_{w_{0}})\times O(w_{0}^{\perp },q|_{w_{0}^{\perp }})}$,

donde es el complemento ortogonal de en . Esto da una identificación como el espacio homogéneo ${\displaystyle w_{0}^{\perp }}$ ${\displaystyle w_{0}}$ ${\displaystyle V}$

${\displaystyle \mathbf {Gr} (k,V)=O(V,q)/\left(O(w,q|_{w})\times O(w^{\perp },q|_{w^{\perp }})\right)}$.

Si tomamos y (los primeros componentes) obtenemos el isomorfismo ${\displaystyle V=\mathbf {R} ^{n}}$ ${\displaystyle w_{0}=\mathbf {R} ^{k}\subset \mathbf {R} ^{n}}$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle \mathbf {Gr} (k,\mathbf {R} ^{n})=O(n)/\left(O(k)\times O(n-k)\right).}$

Sobre C , si elegimos un producto interno hermítico , el grupo unitario actúa transitivamente, y encontramos análogamente ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle U(V,h)}$

${\displaystyle \mathbf {Gr} (k,V)=U(V,h)/\left(U(w_{0},h|_{w_{0}})\times U(w_{0}^{\perp }|,h_{w_{0}^{\perp }})\right),}$

o, para y , ${\displaystyle V=\mathbf {C} ^{n}}$ ${\displaystyle w_{0}=\mathbf {C} ^{k}\subset \mathbf {C} ^{n}}$

${\displaystyle \mathbf {Gr} (k,\mathbf {C} ^{n})=U(n)/\left(U(k)\times U(n-k)\right).}$

En particular, esto demuestra que el Grassmanniano es compacto y de dimensión (real o compleja) k ( n − k ) .

El Grassmanniano como esquema

En el ámbito de la geometría algebraica , el Grassmanniano puede construirse como un esquema expresándolo como un funtor representable . ^[4]

Functor representable

Sea un haz cuasi coherente en un esquema . Fije un entero positivo . Luego, a cada -esquema , el funtor de Grassmann asocia el conjunto de módulos cocientes de ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T}$

${\displaystyle {\mathcal {E}}_{T}:={\mathcal {E}}\otimes _{O_{S}}O_{T}}$

localmente libre de rango en . Denotamos este conjunto como . ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \mathbf {Gr} (k,{\mathcal {E}}_{T})}$

Este funtor es representable por un -esquema separado . Este último es proyectivo si se genera finitamente. Cuando es el espectro de un cuerpo , entonces el haz está dado por un espacio vectorial y recuperamos la variedad Grassmanniana habitual del espacio dual de , a saber: . Por construcción, el esquema Grassmanniano es compatible con los cambios de base: para cualquier -esquema , tenemos un isomorfismo canónico ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbf {Gr} (k,{\mathcal {E}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbf {Gr} (k,V)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S'}$

${\displaystyle \mathbf {Gr} (k,{\mathcal {E}})\times _{S}S'\simeq \mathbf {Gr} (k,{\mathcal {E}}_{S'})}$

En particular, para cualquier punto de , el morfismo canónico induce un isomorfismo de la fibra al Grassmanniano habitual sobre el campo de residuos . ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \{s\}={\text{Spec}}K(s)\rightarrow S}$ ${\displaystyle \mathbf {Gr} (k,{\mathcal {E}})_{s}}$ ${\displaystyle \mathbf {Gr} (k,{\mathcal {E}}\otimes _{O_{S}}K(s))}$ ${\displaystyle K(s)}$

Familia universal

Como el esquema de Grassmann representa un funtor, viene con un objeto universal, , que es un objeto de y por lo tanto un módulo cociente de , localmente libre de rango sobre . El homomorfismo cociente induce una inmersión cerrada a partir del fibrado proyectivo: ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle \mathbf {Gr} \left(k,{\mathcal {E}}_{\mathbf {Gr} (k,{\mathcal {E}})}\right),}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}_{\mathbf {Gr} (k,{\mathcal {E}})}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \mathbf {Gr} (k,{\mathcal {E}})}$

${\displaystyle \mathbf {P} ({\mathcal {G}})\to \mathbf {P} \left({\mathcal {E}}_{\mathbf {Gr} (k,{\mathcal {E}})}\right)=\mathbf {P} ({\mathcal {E}})\times _{S}\mathbf {Gr} (k,{\mathcal {E}}).}$

Para cualquier morfismo de S -esquemas:

${\displaystyle T\to \mathbf {Gr} (k,{\mathcal {E}}),}$

Esta inmersión cerrada induce una inmersión cerrada

${\displaystyle \mathbf {P} ({\mathcal {G}}_{T})\to \mathbf {P} ({\mathcal {E}})\times _{S}T.}$

Por el contrario, cualquier inmersión cerrada de este tipo proviene de un homomorfismo sobreyectivo de -módulos de a un módulo localmente libre de rango . ^[5] Por lo tanto, los elementos de son exactamente los subfibrados proyectivos de rango en ${\displaystyle O_{T}}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}_{T}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \mathbf {Gr} (k,{\mathcal {E}})(T)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \mathbf {P} ({\mathcal {E}})\times _{S}T.}$

Bajo esta identificación, cuando es el espectro de un campo y está dado por un espacio vectorial , el conjunto de puntos racionales corresponden a los subespacios lineales proyectivos de dimensión en , y la imagen de en ${\displaystyle T=S}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbf {Gr} (k,{\mathcal {E}})(K)}$ ${\displaystyle k-1}$ ${\displaystyle \mathbf {P} (V)}$ ${\displaystyle \mathbf {P} ({\mathcal {G}})(K)}$

$\mathbf {P} (V)\times _{K}\mathbf {Gr} (k,{\mathcal {E}})$

es el conjunto

${\displaystyle \left\{(x,v)\in \mathbf {P} (V)(K)\times \mathbf {Gr} (k,{\mathcal {E}})(K)\mid x\in v\right\}.}$

La incrustación de Plücker

La incrustación de Plücker ^[6] es una incrustación natural del Grassmanniano en la proyectivización del Poder exterior de . ${\displaystyle \mathbf {Gr} (k,V)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \Lambda ^{k}V}$ ${\displaystyle V}$

$\iota :\mathbf {Gr} (k,V)\to \mathbf {P} \left(\Lambda ^{k}V\right).$

Supóngase que es un subespacio -dimensional del espacio vectorial -dimensional . Para definir , elija una base para , y sea la proyectivización del producto de cuña de estos elementos de base: donde denota la clase de equivalencia proyectiva. ${\displaystyle w\subset V}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \iota (w)}$ ${\displaystyle (w_{1},\cdots ,w_{k})}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle \iota (w)}$ $${\displaystyle \iota (w)=[w_{1}\wedge \cdots \wedge w_{k}],}$$ ${\displaystyle [\,\cdot \,]}$

Una base diferente para dará un producto de cuña diferente, pero los dos diferirán solo por un múltiplo escalar distinto de cero (el determinante de la matriz de cambio de base ). Dado que el lado derecho toma valores en el espacio proyectivizado, está bien definido. Para ver que es una incrustación, observe que es posible recuperarse de como el espacio del conjunto de todos los vectores tales que ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle \iota }$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle \iota (w)}$ ${\displaystyle v\in V}$

${\displaystyle v\wedge \iota (w)=0}$.

Coordenadas de Plücker y relaciones de Plücker

La incrustación de Plücker del Grassmanniano satisface un conjunto de relaciones cuadráticas simples llamadas relaciones de Plücker . Estas muestran que el Grassmanniano se incrusta como una subvariedad algebraica proyectiva no singular de la proyectivización de la potencia exterior th de y dan otro método para construir el Grassmanniano. Para enunciar las relaciones de Plücker, fije una base para , y sea un subespacio -dimensional de con base . Sean los componentes de con respecto a la base elegida de , y los vectores columna de los componentes que forman la transpuesta de la matriz de coordenadas homogénea correspondiente: ${\displaystyle \mathbf {Gr} _{k}(V)}$ ${\displaystyle \mathbf {P} (\Lambda ^{k}V)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle (e_{1},\cdots ,e_{n})}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle w\subset V}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle (w_{1},\cdots ,w_{k})}$ ${\displaystyle (w_{i1},\cdots ,w_{in})}$ ${\displaystyle w_{i}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle (W^{1},\dots ,W^{n})}$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle W^{T}=[W^{1}\,\cdots W^{n}]={\begin{bmatrix}w_{11}&\cdots &w_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\w_{k1}&\cdots &w_{kn}\end{bmatrix}},}$

Para cualquier secuencia ordenada de números enteros positivos, sea el determinante de la matriz con columnas . Los elementos se denominan coordenadas de Plücker del elemento del Grassmanniano (con respecto a la base de ). Estas son las coordenadas lineales de la imagen de bajo la función de Plücker, relativas a la base del espacio de potencia exterior generado por la base de . Como un cambio de base para da lugar a la multiplicación de las coordenadas de Plücker por una constante distinta de cero (el determinante de la matriz de cambio de base), estas solo están definidas hasta la equivalencia proyectiva y, por lo tanto, determinan un punto en . ${\displaystyle 1\leq i_{1}<\cdots <i_{k}\leq n}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle w_{i_{1},\dots ,i_{k}}}$ ${\displaystyle k\times k}$ ${\displaystyle [W^{i_{1}},\dots ,W^{i_{k}}]}$ ${\displaystyle \{w_{i_{1},\dots ,i_{k}}\,\vert \,1\leq i_{1}<\cdots <i_{k}\leq n\}}$ ${\displaystyle w\in \mathbf {Gr} _{k}(V)}$ ${\displaystyle (e_{1},\cdots ,e_{n})}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \iota (w)}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle \Lambda ^{k}V}$ ${\displaystyle (e_{1},\cdots ,e_{n})}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle \mathbf {P} (\Lambda ^{k}V)}$

Para dos secuencias ordenadas cualesquiera de y de números enteros positivos, respectivamente, las siguientes ecuaciones cuadráticas homogéneas, conocidas como relaciones de Plücker o relaciones de Plücker-Grassmann , son válidas y determinan la imagen de bajo la incrustación del mapa de Plücker: ${\displaystyle 1\leq i_{1}<i_{2}\cdots <i_{k-1}\leq n}$ ${\displaystyle 1\leq j_{1}<j_{2}\cdots <j_{k+1}\leq n}$ ${\displaystyle k-1}$ ${\displaystyle k+1}$ ${\displaystyle \iota (\mathbf {Gr} _{k}(V))}$ ${\displaystyle \mathbf {Gr} _{k}(V)}$

${\displaystyle \sum _{l=1}^{k+1}(-1)^{\ell }w_{i_{1},\dots ,i_{k-1},j_{l}}w_{j_{1},\dots ,{\widehat {j_{l}}},\dots j_{k+1}}=0,}$

donde denota la sucesión con el término omitido. Estos son consistentes, ya que determinan una variedad algebraica proyectiva no singular , pero no son algebraicamente independientes. Son equivalentes al enunciado que es la proyectivización de un elemento completamente descomponible de . ${\displaystyle j_{1},\ldots ,{\widehat {j_{l}}},\ldots j_{k+1}}$ ${\displaystyle j_{1},\ldots ,j_{k+1}}$ ${\displaystyle j_{l}}$ ${\displaystyle \iota (w)}$ ${\displaystyle \Lambda ^{k}V}$

Cuando , y (el Grassmanniano más simple que no es un espacio proyectivo), lo anterior se reduce a una única ecuación. Denotando las coordenadas homogéneas de la imagen bajo la función de Plücker como , esta única relación de Plücker es ${\displaystyle \dim(V)=4}$ ${\displaystyle k=2}$ ${\displaystyle \iota (\mathbf {Gr} _{2}(V)\subset \mathbf {P} (\Lambda ^{2}V)}$ ${\displaystyle (w_{12},w_{13},w_{14},w_{23},w_{24},w_{34})}$

${\displaystyle w_{12}w_{34}-w_{13}w_{24}+w_{14}w_{23}=0.}$

En general, se necesitan muchas más ecuaciones para definir la imagen del Grassmanniano bajo la incrustación de Plücker. ${\displaystyle \iota (\mathbf {Gr} _{k}(V))}$ ${\displaystyle \mathbf {P} (\Lambda ^{k}V)}$

Dualidad

Cada subespacio -dimensional determina un espacio cociente -dimensional de . Esto da la secuencia exacta corta natural : ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle W\subset V}$ ${\displaystyle (n-k)}$ ${\displaystyle V/W}$ ${\displaystyle V}$

${\displaystyle 0\rightarrow W\rightarrow V\rightarrow V/W\rightarrow 0.}$

Tomando el dual para cada uno de estos tres espacios y las transformaciones lineales duales se obtiene una inclusión de en con cociente ${\displaystyle (V/W)^{*}}$ ${\displaystyle V^{*}}$ ${\displaystyle W^{*}}$

${\displaystyle 0\rightarrow (V/W)^{*}\rightarrow V^{*}\rightarrow W^{*}\rightarrow 0.}$

Usando el isomorfismo natural de un espacio vectorial de dimensión finita con su dual doble se muestra que tomando nuevamente el dual se recupera la secuencia exacta corta original. En consecuencia, hay una correspondencia biunívoca entre los subespacios de dimensión finita de y los subespacios de dimensión finita de . En términos del Grassmanniano, esto da un isomorfismo canónico ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle (n-k)}$ ${\displaystyle V^{*}}$

${\displaystyle \mathbf {Gr} _{k}(V)\leftrightarrow \mathbf {Gr} {(n-k},V^{*})}$

que asocia a cada subespacio su aniquilador . La elección de un isomorfismo de con determina por tanto un isomorfismo (no canónico) entre y . Un isomorfismo de con es equivalente a la elección de un producto interno, por lo que con respecto al producto interno elegido, este isomorfismo de Grassmannianos envía cualquier subespacio de -dimensional a su complemento ortogonal de }-dimensional . ${\displaystyle W\subset V}$ ${\displaystyle W^{0}\subset V^{*}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V^{*}}$ ${\displaystyle \mathbf {Gr} _{k}(V)}$ ${\displaystyle \mathbf {Gr} _{n-k}(V)}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V^{*}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle (n-k)}$

Celdas de Schubert

El estudio detallado de los Grassmannianos hace uso de una descomposición en subespacios afines llamados celdas de Schubert , que se aplicaron por primera vez en geometría enumerativa . Las celdas de Schubert para se definen en términos de una bandera completa especificada de subespacios de dimensión . Para cualquier partición entera ${\displaystyle \mathbf {Gr} _{k}(V)}$ ${\displaystyle V_{1}\subset V_{2}\subset \cdots \subset V_{n}=V}$ ${\displaystyle \mathrm {dim} (V_{i})=i}$

${\displaystyle \lambda =(\lambda _{1},\cdots ,\lambda _{k})}$

de peso

${\displaystyle |\lambda |=\sum _{i=1}^{k}\lambda _{i}}$

que consiste en números enteros no negativos débilmente decrecientes

${\displaystyle \lambda _{1}\geq \cdots \geq \lambda _{k}\geq 0,}$

cuyo diagrama de Young encaja dentro del rectangular , la celda de Schubert consta de aquellos elementos cuyas intersecciones con los subespacios tienen las siguientes dimensiones ${\displaystyle (n-k)^{k}}$ ${\displaystyle X_{\lambda }(k,n)\subset \mathbf {Gr} _{k}(V)}$ ${\displaystyle W\in \mathbf {Gr} _{k}(V)}$ ${\displaystyle \{V_{i}\}}$

${\displaystyle X_{\lambda }(k,n)=\{W\in \mathbf {Gr} _{k}(V)\,|\,\dim(W\cap V_{n-k+j-\lambda _{j}})=j\}.}$

Estos son espacios afines, y sus cierres (dentro de la topología de Zariski ) se conocen como variedades de Schubert .

Como ejemplo de la técnica, considere el problema de determinar la característica de Euler del Grassmanniano de subespacios k -dimensionales de R ⁿ . Fije un subespacio k-dimensional y considere la partición de en aquellos subespacios k -dimensionales de R ⁿ que contienen a R y aquellos que no. El primero es y el último es un fibrado vectorial de rango sobre . Esto da las fórmulas recursivas: ${\displaystyle \chi _{k,n}}$ ${\displaystyle \mathbf {Gr} _{k}(\mathbf {R} ^{n})}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \mathbf {R} \subset \mathbf {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbf {Gr} _{k}(\mathbf {R} ^{n})}$ ${\displaystyle \mathbf {Gr} _{k-1}(\mathbf {R} ^{n-1})}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \mathbf {Gr} _{k}(\mathbf {R} ^{n-1})}$

${\displaystyle \chi _{k,n}=\chi _{k-1,n-1}+(-1)^{k}\chi _{k,n-1},\qquad \chi _{0,n}=\chi _{n,n}=1.}$

Resolviendo estas relaciones de recursión se obtiene la fórmula: si es par y es impar y ${\displaystyle \chi _{k,n}=0}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle \chi _{k,n}={\begin{pmatrix}\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor \\\left\lfloor {\frac {k}{2}}\right\rfloor \end{pmatrix}}}$

de lo contrario.

Anillo de cohomología del complejo Grassmanniano

Cada punto en la variedad compleja de Grassmann define un plano en el espacio. Al hibridar estos planos sobre el de Grassmann se llega al fibrado vectorial que generaliza el fibrado tautológico de un espacio proyectivo . De manera similar, los complementos ortogonales -dimensionales de estos planos producen un fibrado vectorial ortogonal . La cohomología integral de los Grassmannianos se genera, como un anillo , por las clases de Chern de . En particular, toda la cohomología integral es de grado par como en el caso de un espacio proyectivo. ${\displaystyle \mathbf {Gr} _{k}(\mathbf {C} ^{n})}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle (n-k)}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle E}$

Estos generadores están sujetos a un conjunto de relaciones, que define el anillo. Las relaciones definitorias son fáciles de expresar para un conjunto más grande de generadores, que consta de las clases de Chern de y . Entonces las relaciones simplemente establecen que la suma directa de los haces y es trivial. La funcionalidad de las clases de Chern totales permite escribir esta relación como ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle F}$

${\displaystyle c(E)c(F)=1.}$

El anillo de cohomología cuántica fue calculado por Edward Witten . ^[7] Los generadores son idénticos a los del anillo de cohomología clásico, pero la relación superior se cambia a

${\displaystyle c_{k}(E)c_{n-k}(F)=(-1)^{n-k}}$

reflejando la existencia en la teoría cuántica de campos correspondiente de un instantón con modos cero fermiónicos que viola el grado de cohomología correspondiente a un estado por unidades. ${\displaystyle 2n}$ ${\displaystyle 2n}$

Medida asociada

Cuando es un espacio euclidiano de dimensión -, podemos definir una medida uniforme en de la siguiente manera. Sea la medida unitaria de Haar en el grupo ortogonal y fijemos . Luego, para un conjunto , definamos ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbf {Gr} _{k}(V)}$ ${\displaystyle \theta _{n}}$ ${\displaystyle O(n)}$ ${\displaystyle w\in \mathbf {Gr} _{k}(V)}$ ${\displaystyle A\subset \mathbf {Gr} _{k}(V)}$

${\displaystyle \gamma _{k,n}(A)=\theta _{n}\{g\in \operatorname {O} (n):gw\in A\}.}$

Esta medida es invariante bajo la acción del grupo ; es decir, ${\displaystyle O(n)}$

${\displaystyle \gamma _{k,n}(gA)=\gamma _{k,n}(A)}$

para todos . Como , tenemos . Además, es una medida de Radon con respecto a la topología del espacio métrico y es uniforme en el sentido de que cada bola del mismo radio (con respecto a esta métrica) tiene la misma medida. ${\displaystyle g\in O(n)}$ ${\displaystyle \theta _{n}(O(n))=1}$ ${\displaystyle \gamma _{k,n}(\mathbf {Gr} _{k}(V))=1}$ ${\displaystyle \gamma _{k,n}}$

Grassmaniano orientado

Esta es la variedad que consta de todos los subespacios orientados -dimensionales de . Es una doble cobertura de y se denota por . ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbf {Gr} _{k}(\mathbf {R} ^{n})}$ ${\displaystyle {\widetilde {\mathbf {Gr} }}_{k}(\mathbf {R} ^{n})}$

Como espacio homogéneo se puede expresar como:

${\displaystyle {\widetilde {\mathbf {Gr} }}_{k}(\mathbf {R} ^{n})=\operatorname {SO} (n)/(\operatorname {SO} (k)\times \operatorname {SO} (n-k)).}$

Grassmannianos isotrópicos ortogonales

Dada una forma bilineal simétrica no degenerada real o compleja en el espacio -dimensional (es decir, un producto escalar), el Grassmanniano totalmente isótropo se define como la subvariedad que consiste en todos los subespacios -dimensionales para los cuales ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbf {Gr} _{k}^{0}(V,Q)}$ ${\displaystyle \mathbf {Gr} _{k}^{0}(V,Q)\subset \mathbf {Gr} _{k}(V)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle w\subset V}$

${\displaystyle Q(u,v)=0,\,\forall \,u,v\in w.}$

Los Grassmannianos isótropos máximos con respecto a un producto escalar real o complejo están estrechamente relacionados con la teoría de espinores de Cartan . ^[8] Bajo la incrustación de Cartan, sus componentes conectados son difeomórficos de manera equivariante con respecto a la órbita mínima proyectiva del espinor, bajo la representación del espín, la llamada variedad proyectiva del espinor puro que, de manera similar a la imagen de la incrustación del mapa de Plücker , se recorta como la intersección de una serie de cuádricas, las cuádricas de Cartan . ^{[8] [9] [10]}

Aplicaciones

Una aplicación clave de los Grassmannianos es como espacio de incrustación "universal" para paquetes con conexiones en variedades compactas. ^{[11] [12]}

Otra aplicación importante es el cálculo de Schubert , que es la geometría enumerativa involucrada en el cálculo del número de puntos, líneas, planos, etc. en un espacio proyectivo que intersecan un conjunto dado de puntos, líneas, etc., utilizando la teoría de intersección de variedades de Schubert . Las subvariedades de las celdas de Schubert también se pueden utilizar para parametrizar vectores propios simultáneos de conjuntos completos de operadores conmutativos en sistemas de espín integrables cuánticos, como el modelo de Gaudin , utilizando el método de ansatz de Bethe . ^[13]

Otra aplicación es la solución de jerarquías de sistemas clásicos completamente integrables de ecuaciones diferenciales parciales, como la ecuación de Kadomtsev–Petviashvili y la jerarquía KP asociada . Estas pueden expresarse en términos de flujos de grupos abelianos en una variedad de Grassmann de dimensión infinita. ^{[14] [15] [16] [17]} Las ecuaciones KP, expresadas en forma bilineal de Hirota en términos de la función Tau KP son equivalentes a las relaciones de Plücker . ^{[18] [17]} Una construcción similar se aplica a las soluciones de la jerarquía integrable BKP, en términos de flujos de grupos abelianos en una variedad de Grassmann isótropa maximal de dimensión infinita. ^{[15] [16] [19]}

Las variedades de Grassmann positivas de dimensión finita se pueden utilizar para expresar soluciones de solitones de ecuaciones KP que no son singulares para valores reales de los parámetros de flujo KP. ^{[20] [21] [22]}

Las amplitudes de dispersión de partículas subatómicas en la teoría de Yang-Mills supersimétrica máxima se pueden calcular en el límite planar a través de una construcción Grassmanniana positiva llamada amplituhedro . ^[23]

Las variedades de Grassmann también han encontrado aplicaciones en tareas de visión por computadora de reconocimiento facial y de reconocimiento de formas basadas en video, ^[24] y se utilizan en la técnica de visualización de datos conocida como grand tour .

Véase también

• Cálculo de Schubert
• Para un ejemplo del uso de Grassmannianos en geometría diferencial , véase el mapa de Gauss.
• En geometría proyectiva , véase incrustación de Plücker y coordenadas de Plücker .
• Las variedades de banderas son generalizaciones de Grassmannianos cuyos elementos, vistos geométricamente, son secuencias anidadas de subespacios de dimensiones específicas.
• Las variedades de Stiefel son haces de marcos ortonormales sobre Grassmanianos.
• Dada una clase distinguida de subespacios, se pueden definir Grassmannianos de estos subespacios, como Grassmannianos Isotrópicos o Grassmannianos Lagrangianos .
• Grassmaniano isotrópico
• Lagrangiano Grassmaniano
• Los grassmannianos proporcionan espacios de clasificación en la K-teoría , en particular el espacio de clasificación para U( n ) . En la teoría de homotopía de esquemas , el grassmanniano desempeña un papel similar para la K-teoría algebraica . ^[25]
• Grassmaniano afín
• Paquete Grassmann
• Gráfico de Grassmann

Notas

1. Lee 2012, pág. 22, Ejemplo 1.36.
2. Shafarevich 2013, pág. 42, Ejemplo 1.24.
3. Milnor y Stasheff (1974), págs. 57-59.
4. Grothendieck, Alejandro (1971). Elementos de geometría algébrique . vol. 1 (2ª ed.). Berlín, Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-05113-8., Capítulo I.9
5. EGA , II.3.6.3.
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8. Cartan, Élie (1981) [1938]. La teoría de los espinores. Nueva York: Dover Publications . ISBN 978-0-486-64070-9.Sr. 0631850  .
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