Instantáneo

Solitones en el espacio-tiempo euclidiano

El coeficiente dx ¹ ⊗σ ₃ de un instantón BPST en la porción (x ¹ ,x ² ) de R ⁴ donde σ ₃ es la tercera matriz de Pauli (arriba a la izquierda). El coeficiente dx ² ⊗σ ₃ (arriba a la derecha). Estos coeficientes determinan la restricción del instantón BPST A con g=2,ρ=1,z=0 a esta porción. La intensidad de campo correspondiente centrada alrededor de z=0 (abajo a la izquierda). Una representación visual de la intensidad de campo de un instantón BPST con centro z en la compactificación S ⁴ de R ⁴ (abajo a la derecha). El instantón BPST es una solución de instantón clásica para las ecuaciones de Yang–Mills en R ⁴ .

Un instantón (o pseudopartícula ^{[1] [2] [3]} ) es una noción que aparece en la física teórica y matemática . Un instantón es una solución clásica a las ecuaciones de movimiento con una acción finita, distinta de cero , ya sea en la mecánica cuántica o en la teoría cuántica de campos . Más precisamente, es una solución a las ecuaciones de movimiento de la teoría clásica de campos en un espacio-tiempo euclidiano . ^[4]

En estas teorías cuánticas, las soluciones de las ecuaciones de movimiento pueden considerarse puntos críticos de la acción . Los puntos críticos de la acción pueden ser máximos locales de la acción, mínimos locales o puntos de silla . Los instantones son importantes en la teoría cuántica de campos porque:

• Aparecen en la integral de trayectoria como las principales correcciones cuánticas al comportamiento clásico de un sistema, y
• Se pueden utilizar para estudiar el comportamiento de tunelización en varios sistemas, como la teoría de Yang-Mills .

En términos de dinámica , las familias de instantones permiten que los instantones, es decir, los diferentes puntos críticos de la ecuación de movimiento, se relacionen entre sí. En física, los instantones son particularmente importantes porque se cree que la condensación de los instantones (y los antiinstantones inducidos por ruido) es la explicación de la fase caótica inducida por ruido conocida como criticidad autoorganizada .

Matemáticas

Matemáticamente, un instantón de Yang-Mills es una conexión autodual o antiautodual en un fibrado principal sobre una variedad riemanniana de cuatro dimensiones que desempeña el papel de espacio-tiempo físico en la teoría de calibre no abeliana . Los instantones son soluciones topológicamente no triviales de las ecuaciones de Yang-Mills que minimizan absolutamente la energía funcional dentro de su tipo topológico. ^[5] Las primeras soluciones de este tipo se descubrieron en el caso del espacio euclidiano de cuatro dimensiones compactificado a la esfera de cuatro dimensiones , y resultaron estar localizadas en el espacio-tiempo, lo que provocó los nombres de pseudopartícula e instantón .

Los instantones de Yang-Mills se han construido explícitamente en muchos casos por medio de la teoría de twistores , que los relaciona con fibrados vectoriales algebraicos sobre superficies algebraicas , y a través de la construcción ADHM , o reducción de hyperkähler (véase variedad de hyperkähler ), un procedimiento de teoría de invariantes geométricos. El trabajo pionero de Simon Donaldson , por el que más tarde recibió la medalla Fields , utilizó el espacio de módulos de los instantones sobre una variedad diferenciable de cuatro dimensiones dada como un nuevo invariante de la variedad que depende de su estructura diferenciable y lo aplicó a la construcción de cuatro variedades homeomorfas pero no difeomorfas . Muchos métodos desarrollados para estudiar los instantones también se han aplicado a los monopolos . Esto se debe a que los monopolos magnéticos surgen como soluciones de una reducción dimensional de las ecuaciones de Yang-Mills. ^[6]

Mecánica cuántica

Se puede utilizar un instantón para calcular la probabilidad de transición de una partícula mecánica cuántica que atraviesa una barrera de potencial. Un ejemplo de un sistema con un efecto de instantón es una partícula en un pozo de potencial doble . A diferencia de una partícula clásica, existe una probabilidad constante de que cruce una región de energía potencial superior a su propia energía. ^[4]

Motivación para considerar los instantones

Considere la mecánica cuántica del movimiento de una sola partícula dentro del potencial de doble pozo. La energía potencial toma su valor mínimo en , y estos se denominan mínimos clásicos porque la partícula tiende a estar en uno de ellos en la mecánica clásica. Hay dos estados de energía más bajos en la mecánica clásica. ${\displaystyle V(x)={1 \over 4}(x^{2}-1)^{2}.}$ ${\displaystyle x=\pm 1}$

En mecánica cuántica, resolvemos la ecuación de Schrödinger

${\displaystyle -{\hbar ^{2} \over 2m}{\partial ^{2} \over \partial x^{2}}\psi (x)+V(x)\psi (x)=E\psi (x),}$

para identificar los estados propios de energía. Si hacemos esto, encontraremos solo el estado único de menor energía en lugar de dos estados. La función de onda del estado fundamental se localiza en ambos mínimos clásicos en lugar de solo en uno de ellos debido a la interferencia cuántica o efecto túnel cuántico. ${\displaystyle x=\pm 1}$

Los instantones son la herramienta para entender por qué sucede esto dentro de la aproximación semiclásica de la formulación de la integral de trayectoria en tiempo euclidiano. Primero veremos esto usando la aproximación WKB que calcula aproximadamente la función de onda en sí, y luego pasaremos a presentar los instantones usando la formulación de la integral de trayectoria.

Aproximación WKB

Una forma de calcular esta probabilidad es mediante la aproximación semiclásica WKB , que requiere que el valor de sea pequeño. La ecuación de Schrödinger independiente del tiempo para la partícula dice ${\displaystyle \hbar }$

${\displaystyle {\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}={\frac {2m(V(x)-E)}{\hbar ^{2}}}\psi .}$

Si el potencial fuera constante, la solución sería una onda plana, hasta un factor de proporcionalidad,

${\displaystyle \psi =\exp(-\mathrm {i} kx)\,}$

con

${\displaystyle k={\frac {\sqrt {2m(E-V)}}{\hbar }}.}$

Esto significa que si la energía de la partícula es menor que la energía potencial, se obtiene una función exponencialmente decreciente. La amplitud de tunelización asociada es proporcional a

${\displaystyle e^{-{\frac {1}{\hbar }}\int _{a}^{b}{\sqrt {2m(V(x)-E)}}\,dx},}$

donde a y b son el punto inicial y final de la trayectoria de tunelización.

Interpretación de la integral de trayectoria mediante instantones

Como alternativa, el uso de integrales de trayectoria permite una interpretación instantánea y se puede obtener el mismo resultado con este enfoque. En la formulación de la integral de trayectoria, la amplitud de transición se puede expresar como

${\displaystyle K(a,b;t)=\langle x=a|e^{-{\frac {i\mathbb {H} t}{\hbar }}}|x=b\rangle =\int d[x(t)]e^{\frac {iS[x(t)]}{\hbar }}.}$

Siguiendo el proceso de rotación de Wick (continuación analítica) hasta el espacio-tiempo euclidiano ( ), se obtiene ${\displaystyle it\rightarrow \tau }$

${\displaystyle K_{E}(a,b;\tau )=\langle x=a|e^{-{\frac {\mathbb {H} \tau }{\hbar }}}|x=b\rangle =\int d[x(\tau )]e^{-{\frac {S_{E}[x(\tau )]}{\hbar }}},}$

con la acción euclidiana

${\displaystyle S_{E}=\int _{\tau _{a}}^{\tau _{b}}\left({\frac {1}{2}}m\left({\frac {dx}{d\tau }}\right)^{2}+V(x)\right)d\tau .}$

La energía potencial cambia de signo bajo la rotación de Wick y los mínimos se transforman en máximos, exhibiendo así dos "colinas" de energía máxima. ${\displaystyle V(x)\rightarrow -V(x)}$ ${\displaystyle V(x)}$

Consideremos ahora el mínimo local de la acción euclidiana con el potencial de doble pozo , y establecemos simplemente para simplificar el cálculo. Como queremos saber cómo se conectan los dos estados de energía clásicamente más bajos, establezcamos y . Para y , podemos reescribir la acción euclidiana como ${\displaystyle S_{E}}$ ${\displaystyle V(x)={1 \over 4}(x^{2}-1)^{2}}$ ${\displaystyle m=1}$ ${\displaystyle x=\pm 1}$ ${\displaystyle a=-1}$ ${\displaystyle b=1}$ ${\displaystyle a=-1}$ ${\displaystyle b=1}$

${\displaystyle S_{E}=\int _{\tau _{a}}^{\tau _{b}}d\tau {1 \over 2}\left({dx \over d\tau }-{\sqrt {2V(x)}}\right)^{2}+{\sqrt {2}}\int _{\tau _{a}}^{\tau _{b}}d\tau {dx \over d\tau }{\sqrt {V(x)}}}$

${\displaystyle \quad =\int _{\tau _{a}}^{\tau _{b}}d\tau {1 \over 2}\left({dx \over d\tau }-{\sqrt {2V(x)}}\right)^{2}+\int _{-1}^{1}dx{1 \over {\sqrt {2}}}(1-x^{2}).}$

${\displaystyle \quad \geq {2{\sqrt {2}} \over 3}.}$

La desigualdad anterior está saturada por la solución de con la condición y . Tales soluciones existen, y la solución toma la forma simple cuando y . La fórmula explícita para la solución instantón está dada por ${\displaystyle {dx \over d\tau }={\sqrt {2V(x)}}}$ ${\displaystyle x(\tau _{a})=-1}$ ${\displaystyle x(\tau _{b})=1}$ ${\displaystyle \tau _{a}=-\infty }$ ${\displaystyle \tau _{b}=\infty }$

${\displaystyle x(\tau )=\tanh \left({1 \over {\sqrt {2}}}(\tau -\tau _{0})\right).}$

Aquí hay una constante arbitraria. Como esta solución salta de un vacío clásico a otro vacío clásico instantáneamente alrededor de , se llama instantón. ${\displaystyle \tau _{0}}$ ${\displaystyle x=-1}$ ${\displaystyle x=1}$ ${\displaystyle \tau =\tau _{0}}$

Fórmula explícita para el potencial de doble pozo

La fórmula explícita para las energías propias de la ecuación de Schrödinger con potencial de doble pozo ha sido dada por Müller–Kirsten ^[7] con derivación mediante un método de perturbación (más condiciones de contorno) aplicado a la ecuación de Schrödinger, y una derivación explícita a partir de la integral de trayectoria (y WKB). El resultado es el siguiente. Definición de parámetros de la ecuación de Schrödinger y el potencial mediante las ecuaciones

${\displaystyle {\frac {d^{2}y(z)}{dz^{2}}}+[E-V(z)]y(z)=0,}$

y

${\displaystyle V(z)=-{\frac {1}{4}}z^{2}h^{4}+{\frac {1}{2}}c^{2}z^{4},\;\;\;c^{2}>0,\;h^{4}>0,}$

Los valores propios para se encuentran como: ${\displaystyle q_{0}=1,3,5,...}$

${\displaystyle E_{\pm }(q_{0},h^{2})=-{\frac {h^{8}}{2^{5}c^{2}}}+{\frac {1}{\sqrt {2}}}q_{0}h^{2}-{\frac {c^{2}(3q_{0}^{2}+1)}{2h^{4}}}-{\frac {{\sqrt {2}}c^{4}q_{0}}{8h^{10}}}(17q_{0}^{2}+19)+O({\frac {1}{h^{16}}})}$

${\displaystyle \mp {\frac {2^{q_{0}+1}h^{2}(h^{6}/2c^{2})^{q_{0}/2}}{{\sqrt {\pi }}2^{q_{0}/4}[(q_{0}-1)/2]!}}e^{-h^{6}/6{\sqrt {2}}c^{2}}.}$

Es claro que estos valores propios se degeneran asintóticamente ( ) como se esperaba como consecuencia de la parte armónica del potencial. ${\displaystyle h^{2}\rightarrow \infty }$

Resultados

Los resultados obtenidos a partir de la integral de trayectoria euclidiana matemáticamente bien definida pueden rotarse de nuevo mediante Wick y dar los mismos resultados físicos que se obtendrían mediante el tratamiento apropiado de la integral de trayectoria minkowskiana (potencialmente divergente). Como se puede ver en este ejemplo, calcular la probabilidad de transición de la partícula para hacer un túnel a través de una región clásicamente prohibida ( ) con la integral de trayectoria minkowskiana corresponde a calcular la probabilidad de transición para hacer un túnel a través de una región clásicamente permitida (con potencial − V ( X )) en la integral de trayectoria euclidiana (hablando pictóricamente - en la imagen euclidiana - esta transición corresponde a una partícula rodando desde una colina de un potencial de doble pozo parada sobre su cabeza a la otra colina). Esta solución clásica de las ecuaciones euclidianas de movimiento a menudo se denomina "solución de quiebre" y es un ejemplo de un instantón . En este ejemplo, los dos "vacíos" (es decir, estados fundamentales) del potencial de doble pozo , se convierten en colinas en la versión euclidiana del problema. ${\displaystyle V(x)}$

Así, la solución del campo de instantones de la teoría de campos (euclidiana, es decir, con tiempo imaginario) (1 + 1)-dimensional –primera descripción mecánica cuántica cuantizada– permite ser interpretada como un efecto túnel entre los dos vacíos (estados fundamentales – los estados superiores requieren instantones periódicos) del sistema físico (espacio unidimensional + tiempo real) de Minkowski. En el caso del potencial de doble pozo escrito

${\displaystyle V(\phi )={\frac {m^{4}}{2g^{2}}}\left(1-{\frac {g^{2}\phi ^{2}}{m^{2}}}\right)^{2}}$

el instantón, es decir la solución de

${\displaystyle {\frac {d^{2}\phi }{d\tau ^{2}}}=V'(\phi ),}$

(es decir, con energía ), es ${\displaystyle E_{cl}=0}$

${\displaystyle \phi _{c}(\tau )={\frac {m}{g}}\tanh \left[m(\tau -\tau _{0})\right],}$

¿Dónde está el tiempo euclidiano? ${\displaystyle \tau =it}$

Obsérvese que una teoría de perturbación ingenua en torno a uno solo de esos dos vacíos (de la descripción de Minkowski) nunca mostraría este efecto de túnel no perturbativo , cambiando drásticamente la imagen de la estructura de vacío de este sistema mecánico cuántico. De hecho, la teoría de perturbación ingenua tiene que complementarse con condiciones de contorno, y estas proporcionan el efecto no perturbativo, como es evidente a partir de la fórmula explícita anterior y cálculos análogos para otros potenciales como un potencial coseno (cf. función de Mathieu ) u otros potenciales periódicos (cf. por ejemplo, función de Lamé y función de onda esferoidal ) e independientemente de si se utiliza la ecuación de Schrödinger o la integral de trayectoria . ^[8]

Por lo tanto, el enfoque perturbativo puede no describir completamente la estructura de vacío de un sistema físico. Esto puede tener consecuencias importantes, por ejemplo, en la teoría de los "axiones" , donde los efectos de vacío de QCD no triviales (como los instantones ) arruinan explícitamente la simetría de Peccei-Quinn y transforman los bosones Nambu-Goldstone sin masa en pseudo-Nambu-Goldstone masivos .

Instantones periódicos

En la teoría de campos unidimensionales o mecánica cuántica se define como "instantón" una configuración de campo que es una solución de la ecuación clásica (similar a la de Newton) de movimiento con tiempo euclidiano y acción euclidiana finita. En el contexto de la teoría de solitones , la solución correspondiente se conoce como kink . En vista de su analogía con el comportamiento de las partículas clásicas, tales configuraciones o soluciones, así como otras, se conocen colectivamente como pseudopartículas o configuraciones pseudoclásicas. La solución "instantón" (kink) está acompañada por otra solución conocida como "antiinstantón" (anti-kink), y el instantón y el antiinstantón se distinguen por "cargas topológicas" +1 y −1 respectivamente, pero tienen la misma acción euclidiana.

Los "instantones periódicos" son una generalización de los instantones. ^[9] En forma explícita, se pueden expresar en términos de funciones elípticas jacobianas que son funciones periódicas (en realidad, generalizaciones de funciones trigonométricas). En el límite del período infinito, estos instantones periódicos, frecuentemente conocidos como "rebotes", "burbujas" o similares, se reducen a instantones.

La estabilidad de estas configuraciones pseudoclásicas se puede investigar ampliando el lagrangiano que define la teoría en torno a la configuración de la pseudopartícula y luego investigando la ecuación de pequeñas fluctuaciones en torno a ella. Para todas las versiones de potenciales cuárticos (doble pozo, doble pozo invertido) y potenciales periódicos (Mathieu), se descubrió que estas ecuaciones eran ecuaciones de Lamé, véase Función de Lamé . ^[10] Los valores propios de estas ecuaciones son conocidos y permiten, en caso de inestabilidad, el cálculo de las tasas de decaimiento mediante la evaluación de la integral de trayectoria. ^[9]

Instantones en la teoría de la velocidad de reacción

En el contexto de la teoría de la velocidad de reacción, los instantones periódicos se utilizan para calcular la velocidad de tunelización de los átomos en las reacciones químicas. El progreso de una reacción química se puede describir como el movimiento de una pseudopartícula en una superficie de energía potencial (PES) de alta dimensión. La constante de velocidad térmica se puede relacionar con la parte imaginaria de la energía libre mediante ^[11] ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle F}$

${\displaystyle k(\beta )=-{\frac {2}{\hbar }}{\text{Im}}\mathrm {F} ={\frac {2}{\beta \hbar }}{\text{Im}}\ {\text{ln}}(Z_{k})\approx {\frac {2}{\hbar \beta }}{\frac {{\text{Im}}Z_{k}}{{\text{Re}}Z_{k}}},\ \ {\text{Re}}Z_{k}\gg {\text{Im}}Z_{k}}$

donde es la función de partición canónica, que se calcula tomando la traza del operador de Boltzmann en la representación de la posición. ${\displaystyle Z_{k}}$

${\displaystyle Z_{k}={\text{Tr}}(e^{-\beta {\hat {H}}})=\int d\mathbf {x} \left\langle \mathbf {x} \left|e^{-\beta {\hat {H}}}\right|\mathbf {x} \right\rangle }$

Utilizando una rotación de Wick e identificando el tiempo euclidiano con , se obtiene una representación integral de trayectoria para la función de partición en coordenadas ponderadas por masa: ^[12] ${\displaystyle \hbar \beta =1/(k_{b}T)}$

${\displaystyle Z_{k}=\oint {\mathcal {D}}\mathbf {x} (\tau )e^{-S_{E}[\mathbf {x} (\tau )]/\hbar },\ \ \ S_{E}=\int _{0}^{\beta \hbar }\left({\frac {\dot {\mathbf {x} }}{2}}^{2}+V(\mathbf {x} (\tau ))\right)d\tau }$

La integral de trayectoria se aproxima entonces mediante una integración de descenso más pronunciado, que tiene en cuenta únicamente las contribuciones de las soluciones clásicas y las fluctuaciones cuadráticas a su alrededor. Esto da como resultado la expresión de la constante de velocidad en coordenadas ponderadas por la masa

${\displaystyle k(\beta )={\frac {2}{\beta \hbar }}\left({\frac {{\text{det}}\left[-{\frac {\partial ^{2}}{\partial \tau ^{2}}}+\mathbf {V} ''(x_{\text{RS}}(\tau ))\right]}{{\text{det}}\left[-{\frac {\partial ^{2}}{\partial \tau ^{2}}}+\mathbf {V} ''(x_{\text{Inst}}(\tau ))\right]}}\right)^{\frac {1}{2}}{\exp \left({\frac {-S_{E}[x_{\text{inst}}(\tau )+S_{E}[x_{\text{RS}}(\tau )]}{\hbar }}\right)}}$

donde es un instantón periódico y es la solución trivial de la pseudopartícula en reposo que representa la configuración del estado reactivo. ${\displaystyle \mathbf {x} _{\text{Inst}}}$ ${\displaystyle \mathbf {x} _{\text{RS}}}$

Fórmula de doble pozo invertido

En cuanto al potencial de doble pozo, se pueden derivar los valores propios para el potencial de doble pozo invertido. Sin embargo, en este caso, los valores propios son complejos. Definición de parámetros mediante las ecuaciones

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dz^{2}}}+[E-V(z)]y(z)=0,\;\;\;V(z)={\frac {1}{4}}h^{4}z^{2}-{\frac {1}{2}}c^{2}z^{4},}$

Los valores propios dados por Müller-Kirsten son, por ejemplo: ${\displaystyle q_{0}=1,3,5,...,}$

${\displaystyle E={\frac {1}{2}}q_{0}h^{2}-{\frac {3c^{2}}{4h^{4}}}(q_{0}^{2}+1)-{\frac {q_{0}c^{4}}{h^{10}}}(4q_{0}^{2}+29)+O({\frac {1}{h^{16}}})\pm i{\frac {2^{q_{0}}h^{2}(h^{6}/2c^{2})^{q_{0}/2}}{(2\pi )^{1/2}[(q_{0}-1)/2]!}}e^{-h^{6}/6c^{2}}.}$

La parte imaginaria de esta expresión concuerda con el conocido resultado de Bender y Wu. ^[13] En su notación ${\displaystyle \hbar =1,q_{0}=2K+1,h^{6}/2c^{2}=\epsilon .}$

Teoría cuántica de campos

Al estudiar la teoría cuántica de campos (QFT), la estructura de vacío de una teoría puede atraer la atención hacia los instantones. Tal como lo ilustra un sistema mecánico cuántico de doble pozo, un vacío ingenuo puede no ser el vacío verdadero de una teoría de campos. Además, el vacío verdadero de una teoría de campos puede ser una "superposición" de varios sectores topológicamente no equivalentes, los llamados " vacíos topológicos ".

Un ejemplo bien entendido e ilustrativo de un instantón y su interpretación se puede encontrar en el contexto de una QFT con un grupo de calibración no abeliano , ^{[nota 2]} una teoría de Yang-Mills . Para una teoría de Yang-Mills, estos sectores no equivalentes se pueden clasificar (en una calibración apropiada) por el tercer grupo de homotopía de SU(2) (cuya variedad de grupo es la 3-esfera ). Un cierto vacío topológico (un "sector" del vacío verdadero) se etiqueta mediante una transformada inalterada , el índice de Pontryagin . Como se ha descubierto que el tercer grupo de homotopía de es el conjunto de los números enteros , ${\displaystyle S^{3}}$ ${\displaystyle S^{3}}$

${\displaystyle \pi _{3}}$ ${\displaystyle (S^{3})=}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} \,}$

Hay infinitos vacíos topológicamente no equivalentes, denotados por , donde es su índice de Pontryagin correspondiente. Un instantón es una configuración de campo que cumple las ecuaciones clásicas de movimiento en el espacio-tiempo euclidiano, lo que se interpreta como un efecto de tunelización entre estos diferentes vacíos topológicos. Se etiqueta nuevamente con un número entero, su índice de Pontryagin, . Se puede imaginar un instantón con índice para cuantificar el efecto de tunelización entre los vacíos topológicos y . Si Q = 1, la configuración se llama instantón BPST en honor a sus descubridores Alexander Belavin , Alexander Polyakov , Albert S. Schwarz y Yu. S. Tyupkin. El verdadero vacío de la teoría se etiqueta con un "ángulo" theta y es una superposición de los sectores topológicos: ${\displaystyle N\rangle }$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle |N\rangle }$ ${\displaystyle |N+Q\rangle }$

${\displaystyle |\theta \rangle =\sum _{N=-\infty }^{N=+\infty }e^{i\theta N}|N\rangle .}$

Gerard 't Hooft fue el primero en realizar el cálculo teórico de campo de los efectos del instantón BPST en una teoría acoplada a fermiones en [1]. Demostró que los modos cero de la ecuación de Dirac en el fondo del instantón conducen a una interacción multifermiónica no perturbativa en la acción efectiva de baja energía.

Teoría de Yang-Mills

La acción clásica de Yang-Mills sobre un fibrado principal con grupo de estructura G , base M , conexión A y curvatura (tensor de campo de Yang-Mills) F es

${\displaystyle S_{YM}=\int _{M}\left|F\right|^{2}d\mathrm {vol} _{M},}$

donde es la forma de volumen en . Si el producto interno en , el álgebra de Lie de en la que toma valores, está dado por la forma de Killing en , entonces esto puede denotarse como , ya que ${\displaystyle d\mathrm {vol} _{M}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \int _{M}\mathrm {Tr} (F\wedge *F)}$

${\displaystyle F\wedge *F=\langle F,F\rangle d\mathrm {vol} _{M}.}$

Por ejemplo, en el caso del grupo de calibración U(1) , F será el tensor de campo electromagnético . Del principio de acción estacionaria , se deducen las ecuaciones de Yang-Mills. Son

${\displaystyle \mathrm {d} F=0,\quad \mathrm {d} {*F}=0.}$

La primera de ellas es una identidad, porque d F = d ² A = 0, pero la segunda es una ecuación diferencial parcial de segundo orden para la conexión A , y si el vector de corriente de Minkowski no se anula, el cero en el lado derecho de la segunda ecuación se reemplaza por . Pero observe cuán similares son estas ecuaciones; difieren en una estrella de Hodge . Por lo tanto, una solución a la ecuación de primer orden (no lineal) más simple ${\displaystyle \mathbf {J} }$

${\displaystyle {*F}=\pm F\,}$

es automáticamente también una solución de la ecuación de Yang-Mills. Esta simplificación ocurre en 4 variedades con : de modo que en 2-formas. Tales soluciones suelen existir, aunque su carácter preciso depende de la dimensión y topología del espacio base M, el fibrado principal P y el grupo de norma G. ${\displaystyle s=1}$ ${\displaystyle *^{2}=+1}$

En las teorías no abelianas de Yang-Mills, y donde D es la derivada covariante exterior . Además, la identidad de Bianchi ${\displaystyle DF=0}$ ${\displaystyle D*F=0}$

${\displaystyle DF=dF+A\wedge F-F\wedge A=d(dA+A\wedge A)+A\wedge (dA+A\wedge A)-(dA+A\wedge A)\wedge A=0}$

está satisfecho.

En la teoría cuántica de campos , un instantón es una configuración de campo topológicamente no trivial en el espacio euclidiano de cuatro dimensiones (considerado como la rotación de Wick del espacio-tiempo de Minkowski ). Específicamente, se refiere a un campo de calibración de Yang-Mills A que se aproxima al calibre puro en el infinito espacial . Esto significa que la intensidad del campo

${\displaystyle \mathbf {F} =d\mathbf {A} +\mathbf {A} \wedge \mathbf {A} }$

se desvanece en el infinito. El nombre instantón deriva del hecho de que estos campos están localizados en el espacio y el tiempo (euclidiano), es decir, en un instante específico.

El caso de los instantones en el espacio bidimensional puede ser más fácil de visualizar porque admite el caso más simple del grupo de calibración , es decir, U(1), que es un grupo abeliano . En este caso, el campo A puede visualizarse simplemente como un campo vectorial . Un instantón es una configuración en la que, por ejemplo, las flechas apuntan en dirección opuesta a un punto central (es decir, un estado de "erizo"). En las cuatro dimensiones euclidianas , los instantones abelianos son imposibles. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$

La configuración de campo de un instantón es muy diferente de la del vacío . Por ello, los instantones no pueden estudiarse mediante diagramas de Feynman , que solo incluyen efectos perturbativos . Los instantones son fundamentalmente no perturbativos .

La energía Yang-Mills está dada por

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\int _{\mathbb {R} ^{4}}\operatorname {Tr} [*\mathbf {F} \wedge \mathbf {F} ]}$

donde ∗ es el dual de Hodge . Si insistimos en que las soluciones de las ecuaciones de Yang–Mills tienen energía finita , entonces la curvatura de la solución en el infinito (tomada como límite ) tiene que ser cero. Esto significa que el invariante de Chern–Simons se puede definir en el límite del espacio tridimensional. Esto es equivalente, a través del teorema de Stokes , a tomar la integral

${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{4}}\operatorname {Tr} [\mathbf {F} \wedge \mathbf {F} ].}$

Este es un invariante de homotopía y nos dice a qué clase de homotopía pertenece el instantón.

Dado que la integral de un integrando no negativo siempre es no negativa,

${\displaystyle 0\leq {\frac {1}{2}}\int _{\mathbb {R} ^{4}}\operatorname {Tr} [(*\mathbf {F} +e^{-i\theta }\mathbf {F} )\wedge (\mathbf {F} +e^{i\theta }*\mathbf {F} )]=\int _{\mathbb {R} ^{4}}\operatorname {Tr} [*\mathbf {F} \wedge \mathbf {F} +\cos \theta \mathbf {F} \wedge \mathbf {F} ]}$

para todos los θ reales. Por lo tanto, esto significa

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\int _{\mathbb {R} ^{4}}\operatorname {Tr} [*\mathbf {F} \wedge \mathbf {F} ]\geq {\frac {1}{2}}\left|\int _{\mathbb {R} ^{4}}\operatorname {Tr} [\mathbf {F} \wedge \mathbf {F} ]\right|.}$

Si este límite está saturado, entonces la solución es un estado BPS . Para tales estados, ∗ F = F o ∗ F = − F dependiendo del signo del invariante de homotopía .

En el Modelo Estándar se espera que los instantones estén presentes tanto en el sector electrodébil como en el sector cromodinámico, sin embargo, su existencia aún no ha sido confirmada experimentalmente. ^[14] Los efectos de instantones son importantes para comprender la formación de condensados ​​en el vacío de la cromodinámica cuántica (QCD) y para explicar la masa de la llamada "partícula eta-prima", un bosón de Goldstone ^{[nota 3]} que ha adquirido masa a través de la anomalía de corriente axial de QCD. Tenga en cuenta que a veces también hay un solitón correspondiente en una teoría con una dimensión espacial adicional. Investigaciones recientes sobre instantones los vinculan con temas como D-branas y agujeros negros y, por supuesto, la estructura de vacío de QCD. Por ejemplo, en las teorías de cuerdas orientadas, una brana Dp es un instantón de teoría de calibre en la teoría de calibre U ( N ) de volumen mundial ( p  + 5)-dimensional en una pila de N D( p  + 4)-branas.

Varios números de dimensiones

Los instantones desempeñan un papel central en la dinámica no perturbativa de las teorías de calibración. El tipo de excitación física que produce un instantón depende del número de dimensiones del espacio-tiempo, pero, sorprendentemente, el formalismo para tratar con estos instantones es relativamente independiente de la dimensión.

En las teorías de calibración de cuatro dimensiones, como se describió en la sección anterior, los instantones son fibrados de calibración con una clase característica de cuatro formas no trivial . Si la simetría de calibración es un grupo unitario o un grupo unitario especial , entonces esta clase característica es la segunda clase de Chern , que se anula en el caso del grupo de calibración U(1). Si la simetría de calibración es un grupo ortogonal, entonces esta clase es la primera clase de Pontrjagin .

En las teorías de calibración tridimensionales con campos de Higgs , los monopolos de 't Hooft-Polyakov desempeñan el papel de instantones. En su artículo de 1977 Quark Confinement and Topology of Gauge Groups, Alexander Polyakov demostró que los efectos de instantones en la QED tridimensional acoplada a un campo escalar conducen a una masa para el fotón .

En las teorías de gauge abelianas bidimensionales, los instantones de la hoja del mundo son vórtices magnéticos . Son responsables de muchos efectos no perturbativos en la teoría de cuerdas y desempeñan un papel central en la simetría especular .

En la mecánica cuántica unidimensional , los instantones describen el efecto túnel , que es invisible en la teoría de perturbaciones.

Teorías de calibre supersimétricas 4d

Las teorías de calibración supersimétricas a menudo obedecen a teoremas de no renormalización , que restringen los tipos de correcciones cuánticas que se permiten. Muchos de estos teoremas solo se aplican a correcciones calculables en la teoría de perturbaciones y, por lo tanto, los instantones, que no se ven en la teoría de perturbaciones, proporcionan las únicas correcciones a estas cantidades.

Las técnicas de teoría de campos para los cálculos de instantones en teorías supersimétricas fueron estudiadas ampliamente en la década de 1980 por varios autores. Debido a que la supersimetría garantiza la cancelación de los modos fermiónicos y bosónicos no nulos en el fondo de instantones, el cálculo de 't Hooft involucrado del punto de silla de instantones se reduce a una integración sobre modos nulos.

En  las teorías de calibre supersimétricas N = 1, los instantones pueden modificar el superpotencial , a veces levantando todos los vacíos. En 1984, Ian Affleck , Michael Dine y Nathan Seiberg calcularon las correcciones de instantones al superpotencial en su artículo Dynamical Supersymmetry Breaking in Supersymmetric QCD. Más precisamente, solo pudieron realizar el cálculo cuando la teoría contiene un sabor menos de materia quiral que el número de colores en el grupo de calibre unitario especial, porque en presencia de menos sabores, una simetría de calibre no abeliana ininterrumpida conduce a una divergencia infrarroja y en el caso de más sabores, la contribución es igual a cero. Para esta elección especial de materia quiral, los valores de expectativa de vacío de los campos escalares de materia se pueden elegir para romper completamente la simetría de calibre en el acoplamiento débil, lo que permite realizar un cálculo de punto de silla semiclásico confiable. Al considerar entonces perturbaciones por diversos términos de masa, pudieron calcular el superpotencial en presencia de un número arbitrario de colores y sabores, válido incluso cuando la teoría ya no está débilmente acoplada.

En las teorías de calibración supersimétricas N  = 2, el superpotencial no recibe correcciones cuánticas. Sin embargo, la corrección a la métrica del espacio de módulos de vacíos a partir de instantones se calculó en una serie de artículos. Primero, la corrección de un instantón fue calculada por Nathan Seiberg en Supersymmetry and Nonperturbative beta Functions. El conjunto completo de correcciones para la teoría de Yang-Mills SU(2) fue calculado por Nathan Seiberg y Edward Witten en "Electric – magnetic duality, monopole condensation, and confinement in N=2 supersymmetry Yang–Mills theory", en el proceso de creación de un tema que hoy se conoce como teoría de Seiberg–Witten . Extendieron su cálculo a las teorías de calibración SU(2) con materia fundamental en monopolos, dualidad y ruptura de simetría quiral en QCD supersimétrica N=2. Estos resultados se extendieron más tarde para varios grupos de calibración y contenidos de materia, y la derivación directa de la teoría de calibración también se obtuvo en la mayoría de los casos. Para las teorías de calibre con grupo de calibre U(N), la geometría de Seiberg-Witten ha sido derivada a partir de la teoría de calibre utilizando funciones de partición de Nekrasov en 2003 por Nikita Nekrasov y Andrei Okounkov e independientemente por Hiraku Nakajima y Kota Yoshioka.

En las teorías de calibre supersimétricas N  = 4, los instantones no conducen a correcciones cuánticas para la métrica en el espacio de módulos de vacíos.

Soluciones explícitas en R4

Un ansatz proporcionado por Corrigan y Fairlie proporciona una solución a las ecuaciones duales anti-auto de Yang-Mills con grupo de calibre SU(2) a partir de cualquier función armónica en . ^{[15] [16]} El ansatz proporciona expresiones explícitas para el campo de calibre y se puede utilizar para construir soluciones con un número de instantones arbitrariamente grande. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$

Definiendo los objetos con valores antisimétricos como donde los índices griegos van de 1 a 4, los índices latinos van de 1 a 3, y es una base para satisfacer . Entonces es una solución siempre que sea armónica. ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}$ ${\displaystyle \sigma _{\mu \nu }}$ $${\displaystyle \sigma _{ij}=\epsilon _{ijk}T_{k}\,,\sigma _{i4}=-\sigma _{4i}=T_{i},}$$ ${\displaystyle T_{i}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}$ ${\displaystyle [T_{i},T_{j}]=-\epsilon _{ijk}T_{k}}$ $${\displaystyle A_{\mu }=\sigma _{\mu \nu }{\frac {\partial _{\nu }\rho }{\rho }}=\sigma _{\mu \nu }\partial _{\nu }\log(\rho )}$$ ${\displaystyle \rho :\mathbb {R} ^{4}\rightarrow \mathbb {R} }$

En cuatro dimensiones, la solución fundamental de la ecuación de Laplace es para cualquier . La superposición de estos da soluciones de -solitón de la forma Todas las soluciones de los números de instantón 1 o 2 son de esta forma, pero para números de instantón mayores hay soluciones que no son de esta forma. ${\displaystyle |x-y|^{-2}}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle N+1}$ ${\displaystyle N}$ $${\displaystyle \rho (x)=\sum _{p=1}^{N}{\frac {\lambda _{p}}{|x-x_{p}|^{2}}}.}$$

Véase también

• Fluido Instanton  – Aproximación integral de trayectoria no perturbativa
• Caloron  – Instantón de temperatura finita
• Sidney Coleman  – Físico estadounidense (1937–2007)
• El método de Holstein-Herring  es un método eficaz para obtener las descomposiciones de energía de intercambio de estados de energía asintóticamente degenerados en sistemas molecularesPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Instantón gravitacional  : variedad riemanniana completa de cuatro dimensiones que satisface las ecuaciones de Einstein del vacío
• Teoría de los estados de transición semiclásica  – Teoría de la velocidad de las reacciones químicas
• Ecuaciones de Yang-Mills  : ecuaciones diferenciales parciales cuyas soluciones son instantones
• Teoría de calibre (matemáticas)  : estudio de los fibrados vectoriales, fibrados principales y fibrados de fibras

Referencias y notas

Notas

1. Debido a que esta proyección es conforme , las curvas se intersecan entre sí ortogonalmente (en los puntos amarillos) como en 4D. Todas las curvas son círculos: las curvas que intersecan <0,0,0,1> tienen un radio infinito (= línea recta).
2. Véase también: Teoría de gauge no abeliana
3. Véase también: Bosón pseudo-Goldstone

Citas

1. Instantones en teorías de calibración. Editado por Mikhail A. Shifman. World Scientific, 1994.
2. Interacciones entre partículas cargadas en un campo magnético. Por Hrachya Nersisyan, Christian Toepffer, Günter Zwicknagel. Springer, 19 de abril de 2007. Pág. 23
3. Large-Order Behaviour of Perturbation Theory. Editado por JC Le Guillou, J. Zinn-Justin. Elsevier, 2 de diciembre de 2012. Pág. 170.
4. Vaĭnshteĭn, AI; Zakharov, Valentín I.; Novikov, Viktor A.; Shifman, Mikhail A. (30 de abril de 1982). "ABC de los instantes". Física soviética Uspekhi . 25 (4): 195. doi :10.1070/PU1982v025n04ABEH004533. ISSN  0038-5670.
5. "Instantónico de Yang-Mills en nLab". ncatlab.org . Consultado el 11 de abril de 2023 .
6. Véase, por ejemplo, el artículo de Nigel Hitchin "Ecuaciones de autodualidad en la superficie de Riemann".
7. HJW Müller-Kirsten, Introducción a la mecánica cuántica: ecuación de Schrödinger e integral de trayectoria, 2.ª ed. (World Scientific, 2012), ISBN 978-981-4397-73-5 ; fórmula (18.175b), pág. 525. 
8. HJW Müller-Kirsten, Introducción a la mecánica cuántica: ecuación de Schrödinger e integral de trayectoria, 2.ª ed., World Scientific, 2012, ISBN 978-981-4397-73-5 . 
9. Harald JW Müller-Kirsten, Introducción a la mecánica cuántica: ecuación de Schrödinger e integral de trayectoria, 2.ª ed., World Scientific (Singapur, 2012).
10. Liang, Jiu-Qing; Müller-Kirsten, HJW; Tchrakian, DH (1992). "Solitones, rebotes y esfalerones en un círculo". Physics Letters B . 282 (1–2). Elsevier BV: 105–110. Bibcode :1992PhLB..282..105L. doi :10.1016/0370-2693(92)90486-n. ISSN  0370-2693.
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15. Corrigan, E.; Fairlie, DB (marzo de 1977). "Teoría de campos escalares y soluciones exactas para una teoría de calibración SU (2) clásica". Physics Letters B . 67 (1): 69–71. doi :10.1016/0370-2693(77)90808-5.
16. Dunajski, Maciej (2010). Solitones, instantones y twistores . Oxford: Oxford University Press. pág. 123. ISBN. 9780198570639.

General

• Instantones en teorías de calibración , una recopilación de artículos sobre instantones, editado por Mikhail A. Shifman , doi :10.1142/2281
• Solitones e instantones , R. Rajaraman (Ámsterdam: Holanda Septentrional, 1987), ISBN 0-444-87047-4 
• Los usos de los instantones , por Sidney Coleman en Proc. Int. School of Subnuclear Physics , (Erice, 1977); y en Aspects of Symmetry, pág. 265, Sidney Coleman, Cambridge University Press, 1985, ISBN 0-521-31827-0 ; y en Instantones en teorías de calibración 
• Solitones, instantones y twistores . M. Dunajski, Oxford University Press. ISBN 978-0-19-857063-9 . 
• La geometría de cuatro variedades , SK Donaldson, PB Kronheimer, Oxford University Press, 1990, ISBN 0-19-853553-8 . 

Enlaces externos

• La definición del diccionario de instanton en Wikcionario