Integral

Operación en cálculo matemático.

Una integral definida de una función se puede representar como el área con signo de la región delimitada por su gráfica y el eje horizontal; En el gráfico anterior como ejemplo, la integral de es el área amarilla (-) restada del área azul (+) ${\displaystyle f(x)}$

En matemáticas , una integral es el análogo continuo de una suma , que se utiliza para calcular áreas , volúmenes y sus generalizaciones. La integración, el proceso de calcular una integral, es una de las dos operaciones fundamentales del cálculo , ^[a] la otra es la diferenciación . La integración se utilizó inicialmente para resolver problemas de matemáticas y física , como encontrar el área bajo una curva o determinar el desplazamiento a partir de la velocidad. A partir de entonces, el uso de la integración se expandió a una amplia variedad de campos científicos.

Una integral definida calcula el área con signo de la región en el plano delimitada por la gráfica de una función dada entre dos puntos de la recta real . Convencionalmente, las áreas por encima del eje horizontal del plano son positivas mientras que las áreas por debajo son negativas. Las integrales también hacen referencia al concepto de antiderivada , una función cuya derivada es la función dada; en este caso, también se les llama integrales indefinidas . El teorema fundamental del cálculo relaciona la integración definida con la diferenciación y proporciona un método para calcular la integral definida de una función cuando se conoce su primitiva; la diferenciación y la integración son operaciones inversas .

Aunque los métodos para calcular áreas y volúmenes databan de las matemáticas griegas antiguas , los principios de integración fueron formulados de forma independiente por Isaac Newton y Gottfried Wilhelm Leibniz a finales del siglo XVII, quienes pensaban que el área bajo una curva era una suma infinita de rectángulos de ancho infinitesimal. . Bernhard Riemann dio más tarde una definición rigurosa de integrales, que se basa en un procedimiento limitante que aproxima el área de una región curvilínea rompiendo la región en losas verticales infinitamente delgadas. A principios del siglo XX, Henri Lebesgue generalizó la formulación de Riemann introduciendo lo que hoy se conoce como integral de Lebesgue ; es más general que el de Riemann en el sentido de que una clase más amplia de funciones son integrables en Lebesgue.

Las integrales se pueden generalizar según el tipo de función y el dominio sobre el que se realiza la integración. Por ejemplo, una integral de línea se define para funciones de dos o más variables y el intervalo de integración se reemplaza por una curva que conecta dos puntos en el espacio. En una integral de superficie , la curva se reemplaza por un trozo de superficie en un espacio tridimensional .

Historia

Integración previa al cálculo

La primera técnica sistemática documentada capaz de determinar integrales es el método de agotamiento del antiguo astrónomo griego Eudoxo y el filósofo Demócrito ( ca. 370 a. C.), que buscaba encontrar áreas y volúmenes dividiéndolos en un número infinito de divisiones para las cuales el Se conocía el área o el volumen. ^[1] Este método fue desarrollado y empleado por Arquímedes en el siglo III a. C. y se utilizó para calcular el área de un círculo , el área de superficie y el volumen de una esfera , el área de una elipse , el área bajo una parábola , el volumen de un segmento de un paraboloide de revolución, el volumen de un segmento de un hiperboloide de revolución y el área de una espiral . ^[2]

Liu Hui desarrolló de forma independiente un método similar en China alrededor del siglo III d.C. , quien lo utilizó para encontrar el área del círculo. Este método fue utilizado más tarde en el siglo V por los matemáticos chinos, padre e hijo, Zu Chongzhi y Zu Geng para encontrar el volumen de una esfera. ^[3]

En Oriente Medio, Hasan Ibn al-Haytham, latinizado como Alhazen ( c.  965  – c.  1040  d. C.) derivó una fórmula para la suma de los cuartos poderes . ^[4] Alhazen determinó las ecuaciones para calcular el área encerrada por la curva representada por (que se traduce en la integral en notación contemporánea), para cualquier valor entero no negativo dado de . ^[5] Usó los resultados para llevar a cabo lo que ahora se llamaría una integración de esta función, donde las fórmulas para las sumas de cuadrados integrales y cuartas potencias le permitieron calcular el volumen de un paraboloide . ^[6] ${\displaystyle y=x^{k}}$ ${\displaystyle \int x^{k}\,dx}$ ${\displaystyle k}$

Los siguientes avances significativos en el cálculo integral no comenzaron a aparecer hasta el siglo XVII. En esta época, el trabajo de Cavalieri con su método de los indivisibles , y el trabajo de Fermat , comenzaron a sentar las bases del cálculo moderno, ^[7] con Cavalieri calculando las integrales de x ⁿ hasta el grado n = 9 en la fórmula de cuadratura de Cavalieri . ^[8] El caso n = −1 requirió la invención de una función , el logaritmo hiperbólico , logrado por cuadratura de la hipérbola en 1647.

Barrow y Torricelli dieron nuevos pasos a principios del siglo XVII , quienes proporcionaron los primeros indicios de una conexión entre integración y diferenciación . Barrow proporcionó la primera prueba del teorema fundamental del cálculo . ^[9] Wallis generalizó el método de Cavalieri, calculando integrales de x elevado a una potencia general, incluidas potencias negativas y potencias fraccionarias. ^[10]

Leibniz y Newton

El mayor avance en integración se produjo en el siglo XVII con el descubrimiento independiente del teorema fundamental del cálculo por parte de Leibniz y Newton . ^[11] El teorema demuestra una conexión entre integración y diferenciación. Esta conexión, combinada con la relativa facilidad de diferenciación, se puede aprovechar para calcular integrales. En particular, el teorema fundamental del cálculo permite resolver una clase mucho más amplia de problemas. De igual importancia es el marco matemático integral que desarrollaron tanto Leibniz como Newton. Con el nombre de cálculo infinitesimal, permitió el análisis preciso de funciones con dominios continuos. Este marco finalmente se convirtió en el cálculo moderno , cuya notación para integrales se extrae directamente del trabajo de Leibniz.

Formalización

Si bien Newton y Leibniz proporcionaron un enfoque sistemático a la integración, su trabajo carecía de cierto grado de rigor . El obispo Berkeley atacó de manera memorable los incrementos evanescentes utilizados por Newton, llamándolos " fantasmas de cantidades desaparecidas ". ^[12] El cálculo adquirió una base más firme con el desarrollo de los límites . La integración fue formalizada rigurosamente por primera vez, utilizando límites, por Riemann . ^[13] Aunque todas las funciones continuas acotadas por partes son integrables por Riemann en un intervalo acotado, posteriormente se consideraron funciones más generales, particularmente en el contexto del análisis de Fourier , a las que no se aplica la definición de Riemann, y Lebesgue formuló una definición diferente de integral. fundado en la teoría de la medida (un subcampo del análisis real ). Se propusieron otras definiciones de integral, ampliando los enfoques de Riemann y Lebesgue. Estos enfoques basados ​​en el sistema de números reales son los más comunes en la actualidad, pero existen enfoques alternativos, como una definición de integral como la parte estándar de una suma de Riemann infinita, basada en el sistema de números hiperreal .

Notación histórica

La notación para la integral indefinida fue introducida por Gottfried Wilhelm Leibniz en 1675. ^[14] Adaptó el símbolo integral , ∫ , de la letra ſ ( s larga ), que representa summa (escrito como ſumma ; en latín "suma" o " total"). La notación moderna para la integral definida, con límites por encima y por debajo del signo integral, fue utilizada por primera vez por Joseph Fourier en Memorias de la Academia Francesa alrededor de 1819-1820, reimpreso en su libro de 1822. ^[15]

Isaac Newton usó una pequeña barra vertical encima de una variable para indicar la integración, o colocó la variable dentro de un cuadro. La barra vertical se confundía fácilmente con.Xo x ′ , que se utilizan para indicar diferenciación, y la notación de caja era difícil de reproducir para los impresores, por lo que estas notaciones no se adoptaron ampliamente. ^[dieciséis]

Primer uso del término

El término fue impreso por primera vez en latín por Jacob Bernoulli en 1690: "Ergo et horum Integralia aequantur". ^[17]

Terminología y notación

En general, la integral de una función de valor real f ( x ) con respecto a una variable real x en un intervalo [ a , b ] se escribe como

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx.}$

El signo integral ∫ representa la integración. El símbolo dx , llamado diferencial de la variable x , indica que la variable de integración es x . La función f ( x ) se llama integrando, los puntos a y b se llaman límites (o cotas) de integración, y se dice que la integral está sobre el intervalo [ a , b ] , llamado intervalo de integración. ^[18] Se dice que una función es integrablesi su integral sobre su dominio es finita. Si se especifican límites, la integral se llama integral definida.

Cuando se omiten los límites, como en

${\displaystyle \int f(x)\,dx,}$

la integral se llama integral indefinida y representa una clase de funciones (la primitiva ) cuya derivada es el integrando. ^[19] El teorema fundamental del cálculo relaciona la evaluación de integrales definidas con integrales indefinidas. Existen varias extensiones de la notación de integrales para abarcar la integración en dominios ilimitados y/o en múltiples dimensiones (consulte las secciones posteriores de este artículo).

En configuraciones avanzadas, no es raro omitir dx cuando solo se utiliza la integral de Riemann simple, o el tipo exacto de integral es irrelevante. Por ejemplo, se podría escribir para expresar la linealidad de la integral, una propiedad compartida por la integral de Riemann y todas sus generalizaciones. ^[20] ${\textstyle \int _{a}^{b}(c_{1}f+c_{2}g)=c_{1}\int _{a}^{b}f+c_{2}\int _{a}^{b}g}$

Interpretaciones

Aproximaciones a la integral de √ x de 0 a 1, con 5 particiones del extremo derecho amarillas y 10 particiones del extremo izquierdo verdes

Las integrales aparecen en muchas situaciones prácticas. Por ejemplo, a partir del largo, ancho y profundidad de una piscina rectangular con fondo plano, se puede determinar el volumen de agua que puede contener, el área de su superficie y la longitud de su borde. Pero si es ovalada con el fondo redondeado, se requieren integrales para encontrar valores exactos y rigurosos para estas cantidades. En cada caso, se puede dividir la cantidad buscada en infinitas partes infinitesimales y luego sumar las partes para lograr una aproximación precisa.

Como otro ejemplo, para encontrar el área de la región delimitada por la gráfica de la función f ( x ) = entre x = 0 y x = 1 , se puede dividir el intervalo en cinco partes ( 0, 1/5, 2/5 , ..., 1 ), luego construya rectángulos usando la altura del extremo derecho de cada pieza (por lo tanto √ 0 , √ 1/5 , √ 2/5 , ..., √ 1 ) y sume sus áreas para obtener la aproximación ${\textstyle {\sqrt {x}}}$

${\displaystyle \textstyle {\sqrt {\frac {1}{5}}}\left({\frac {1}{5}}-0\right)+{\sqrt {\frac {2}{5}}}\left({\frac {2}{5}}-{\frac {1}{5}}\right)+\cdots +{\sqrt {\frac {5}{5}}}\left({\frac {5}{5}}-{\frac {4}{5}}\right)\approx 0.7497,}$

que es mayor que el valor exacto. Alternativamente, al reemplazar estos subintervalos por otros con la altura del extremo izquierdo de cada pieza, la aproximación que se obtiene es demasiado baja: con doce subintervalos de este tipo el área aproximada es sólo 0,6203. Sin embargo, cuando el número de piezas aumenta hasta el infinito, llegará a un límite que es el valor exacto del área buscada (en este caso, 2/3 ). uno escribe

${\displaystyle \int _{0}^{1}{\sqrt {x}}\,dx={\frac {2}{3}},}$

lo que significa que 2/3 es el resultado de una suma ponderada de valores de función, √ x , multiplicada por los anchos de paso infinitesimales, denotados por dx , en el intervalo [0, 1] .

sumas de darboux

Definiciones formales

Hay muchas formas de definir formalmente una integral, y no todas son equivalentes. Las diferencias existen principalmente para abordar casos especiales diferentes que pueden no ser integrables bajo otras definiciones, pero en ocasiones también lo son por razones pedagógicas. Las definiciones más utilizadas son integrales de Riemann e integrales de Lebesgue.

integral de riemann

La integral de Riemann se define en términos de sumas de funciones de Riemann con respecto a particiones etiquetadas de un intervalo. ^[21] Una partición etiquetada de un intervalo cerrado [ a , b ] en la línea real es una secuencia finita

${\displaystyle a=x_{0}\leq t_{1}\leq x_{1}\leq t_{2}\leq x_{2}\leq \cdots \leq x_{n-1}\leq t_{n}\leq x_{n}=b.\,\!}$

Esto divide el intervalo [ a , b ] en n subintervalos [ x _{i −1} , x _i ] indexados por i , cada uno de los cuales está "etiquetado" con un punto específico t _i ∈ [ x _{i −1} , x _i ] . Una suma de Riemann de una función f con respecto a dicha partición etiquetada se define como

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}f(t_{i})\,\Delta _{i};}$

por lo tanto, cada término de la suma es el área de un rectángulo con una altura igual al valor de la función en el punto elegido del subintervalo dado y un ancho igual al ancho del subintervalo, Δ _i = x _i − x _{i −1} . La malla de dicha partición etiquetada es el ancho del subintervalo más grande formado por la partición, max _{i =1... n} Δ _i . La integral de Riemann de una función f en el intervalo [ a , b ] es igual a S si: ^[22]

Para todos, existe algo que, para cualquier partición etiquetada con una malla menor que , ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle \delta >0}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle \delta }$

${\displaystyle \left|S-\sum _{i=1}^{n}f(t_{i})\,\Delta _{i}\right|<\varepsilon .}$

Cuando las etiquetas elegidas son el valor máximo (respectivamente, mínimo) de la función en cada intervalo, la suma de Riemann se convierte en una suma de Darboux superior (respectivamente, inferior) , lo que sugiere la estrecha conexión entre la integral de Riemann y la integral de Darboux .

Integral de Lebesgue

Integración de Lebesgue

A menudo resulta interesante, tanto en teoría como en aplicaciones, poder pasar al límite bajo la integral. Por ejemplo, con frecuencia se puede construir una secuencia de funciones que se aproxima, en un sentido adecuado, a la solución de un problema. Entonces la integral de la función solución debería ser el límite de las integrales de las aproximaciones. Sin embargo, muchas funciones que pueden obtenerse como límites no son integrables con Riemann y, por lo tanto, dichos teoremas de límites no se cumplen con la integral de Riemann. Por lo tanto, es de gran importancia tener una definición de integral que permita integrar una clase más amplia de funciones. ^[23]

Una integral de este tipo es la integral de Lebesgue, que aprovecha el siguiente hecho para ampliar la clase de funciones integrables: si los valores de una función se reorganizan en el dominio, la integral de una función debería seguir siendo la misma. Así, Henri Lebesgue introdujo la integral que lleva su nombre, explicando así esta integral en una carta a Paul Montel : ^[24]

Tengo que pagar una determinada suma que he recogido en mi bolsillo. Saco los billetes y monedas de mi bolsillo y se los entrego al acreedor en el orden en que los encuentro hasta alcanzar la suma total. Esta es la integral de Riemann. Pero puedo proceder de otra manera. Después de haber sacado todo el dinero de mi bolsillo, ordeno los billetes y monedas según el mismo valor y luego pago los distintos fajos, uno tras otro, al acreedor. Esta es mi integral.

Como dice Folland, "Para calcular la integral de Riemann de f , se divide el dominio [ a , b ] en subintervalos", mientras que en la integral de Lebesgue, "de hecho, se está dividiendo el rango de f ". ^[25] La definición de la integral de Lebesgue comienza así con una medida , μ. En el caso más simple, la medida de Lebesgue μ ( A ) de un intervalo A = [ a , b ] es su ancho, b − a , de modo que la integral de Lebesgue concuerda con la integral de Riemann (adecuada) cuando ambas existen. ^[26] En casos más complicados, los conjuntos que se miden pueden estar muy fragmentados, sin continuidad y sin parecido con los intervalos.

Usando la filosofía de "particionar el rango de f ", la integral de una función no negativa f  : R → R debe ser la suma sobre t de las áreas entre una delgada franja horizontal entre y = t e y = t + dt . Esta área es simplemente μ { x  : f ( x ) > t }  dt . Sea f ^∗ ( t ) = μ { x  : f ( x ) > t } . La integral de Lebesgue de f se define entonces por

${\displaystyle \int f=\int _{0}^{\infty }f^{*}(t)\,dt}$

donde la integral de la derecha es una integral de Riemann impropia ordinaria ( f ^∗ es una función positiva estrictamente decreciente y, por lo tanto, tiene una integral de Riemann impropia bien definida ). ^[27] Para una clase adecuada de funciones (las funciones medibles ), esto define la integral de Lebesgue.

Una función general medible f es integrable en Lebesgue si la suma de los valores absolutos de las áreas de las regiones entre la gráfica de f y el eje x es finita: ^[28]

${\displaystyle \int _{E}|f|\,d\mu <+\infty .}$

En ese caso, la integral es, como en el caso riemanniano, la diferencia entre el área sobre el eje x y el área debajo del eje x : ^[29]

${\displaystyle \int _{E}f\,d\mu =\int _{E}f^{+}\,d\mu -\int _{E}f^{-}\,d\mu }$

dónde

${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}&f^{+}(x)&&{}={}\max\{f(x),0\}&&{}={}{\begin{cases}f(x),&{\text{if }}f(x)>0,\\0,&{\text{otherwise,}}\end{cases}}\\&f^{-}(x)&&{}={}\max\{-f(x),0\}&&{}={}{\begin{cases}-f(x),&{\text{if }}f(x)<0,\\0,&{\text{otherwise.}}\end{cases}}\end{alignedat}}}$

Otras integrales

Aunque las integrales de Riemann y Lebesgue son las definiciones de integral más utilizadas, existen otras, entre ellas:

• La integral de Darboux , que se define mediante sumas de Darboux (sumas de Riemann restringidas), es equivalente a la integral de Riemann . Una función es integrable en Darboux si y sólo si es integrable en Riemann. Las integrales de Darboux tienen la ventaja de ser más fáciles de definir que las integrales de Riemann.
• La integral de Riemann-Stieltjes , una extensión de la integral de Riemann que integra con respecto a una función en lugar de a una variable.
• La integral de Lebesgue-Stieltjes , desarrollada más adelante por Johann Radon , que generaliza tanto la integral de Riemann-Stieltjes como la de Lebesgue.
• La integral de Daniell , que subsume la integral de Lebesgue y la integral de Lebesgue-Stieltjes sin depender de medidas .
• La integral de Haar , utilizada para la integración en grupos topológicos localmente compactos, introducida por Alfréd Haar en 1933.
• La integral de Henstock-Kurzweil , definida de diversas formas por Arnaud Denjoy , Oskar Perron y (más elegantemente, como integral de calibre) Jaroslav Kurzweil , y desarrollada por Ralph Henstock .
• La integral de Itô y la integral de Stratonovich , que definen la integración con respecto a semimartingalas como el movimiento browniano .
• La integral de Young , que es una especie de integral de Riemann-Stieltjes respecto de determinadas funciones de variación ilimitada .
• La integral de ruta aproximada , que se define para funciones equipadas con alguna estructura adicional de "ruta aproximada" y generaliza la integración estocástica tanto contra semimartingalas como contra procesos como el movimiento browniano fraccional .
• La integral de Choquet , una integral subaditiva o superaditiva creada por el matemático francés Gustave Choquet en 1953.
• La integral de Bochner , una extensión de la integral de Lebesgue a una clase más general de funciones, es decir, aquellas con un dominio que es un espacio de Banach .

Propiedades

Linealidad

La colección de funciones integrables de Riemann en un intervalo cerrado [ a , b ] forma un espacio vectorial bajo las operaciones de suma puntual y multiplicación por un escalar, y la operación de integración

${\displaystyle f\mapsto \int _{a}^{b}f(x)\;dx}$

es un funcional lineal en este espacio vectorial. Por lo tanto, la colección de funciones integrables está cerrada al tomar combinaciones lineales , y la integral de una combinación lineal es la combinación lineal de las integrales: ^[30]

${\displaystyle \int _{a}^{b}(\alpha f+\beta g)(x)\,dx=\alpha \int _{a}^{b}f(x)\,dx+\beta \int _{a}^{b}g(x)\,dx.\,}$

De manera similar, el conjunto de funciones integrables de Lebesgue con valores reales en un espacio de medida dado E con medida μ está cerrado al tomar combinaciones lineales y, por lo tanto, forma un espacio vectorial, y la integral de Lebesgue

${\displaystyle f\mapsto \int _{E}f\,d\mu }$

es un funcional lineal en este espacio vectorial, de modo que: ^[29]

${\displaystyle \int _{E}(\alpha f+\beta g)\,d\mu =\alpha \int _{E}f\,d\mu +\beta \int _{E}g\,d\mu .}$

De manera más general , considere el espacio vectorial de todas las funciones medibles en un espacio de medida ( E , μ ) , tomando valores en un espacio vectorial topológico completo localmente compacto V sobre un campo topológico localmente compacto K , f  : E → V. Entonces se puede definir un mapa de integración abstracto asignando a cada función f un elemento de V o el símbolo ∞ ,

${\displaystyle f\mapsto \int _{E}f\,d\mu ,\,}$

que sea compatible con combinaciones lineales. ^[31] En esta situación, la linealidad es válida para el subespacio de funciones cuya integral es un elemento de V (es decir, "finita"). Los casos especiales más importantes surgen cuando K es R , C o una extensión finita del campo Q _p de números p-ádicos , y V es un espacio vectorial de dimensión finita sobre K , y cuando K = C y V es un complejo Espacio de Hilbert .

La linealidad, junto con algunas propiedades de continuidad natural y la normalización para una determinada clase de funciones "simples", se pueden utilizar para dar una definición alternativa de la integral. Este es el enfoque de Daniell para el caso de funciones con valores reales en un conjunto X , generalizado por Nicolas Bourbaki a funciones con valores en un espacio vectorial topológico localmente compacto. Véase Hildebrandt 1953 para una caracterización axiomática de la integral.

Desigualdades

Varias desigualdades generales son válidas para funciones integrables de Riemann definidas en un intervalo cerrado y acotado [ a , b ] y pueden generalizarse a otras nociones de integral (Lebesgue y Daniell).

• Límites superior e inferior. Una función integrable f en [ a , b ] , está necesariamente acotada en ese intervalo. Por tanto, existen números reales m y M tal que m ≤ f  ( x ) ≤ M para todo x en [ a , b ] . Dado que las sumas inferior y superior de f sobre [ a , b ] están, por lo tanto, acotadas por m ( b − a ) y M ( b − a ) , respectivamente , se deduce que
  $${\displaystyle m(b-a)\leq \int _{a}^{b}f(x)\,dx\leq M(b-a).}$$
• Desigualdades entre funciones. ^[32] Si f ( x ) ≤ g ( x ) para cada x en [ a , b ] entonces cada una de las sumas superior e inferior de f está acotada arriba por las sumas superior e inferior, respectivamente, de g . De este modo
  $${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\leq \int _{a}^{b}g(x)\,dx.}$$
  Esta es una generalización de las desigualdades anteriores, ya que M ( b − a ) es la integral de la función constante con valor M sobre [ a , b ] . Además, si la desigualdad entre funciones es estricta, entonces la desigualdad entre integrales también lo es. Es decir, si f ( x ) < g ( x ) para cada x en [ a , b ] , entonces
  $${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx<\int _{a}^{b}g(x)\,dx.}$$
• Subintervalos. Si [ c , d ] es un subintervalo de [ a , b ] y f  ( x ) no es negativo para todo x , entonces
  $${\displaystyle \int _{c}^{d}f(x)\,dx\leq \int _{a}^{b}f(x)\,dx.}$$
• Productos y valores absolutos de funciones. Si f y g son dos funciones, entonces podemos considerar sus productos y potencias puntuales y sus valores absolutos :
  $${\displaystyle (fg)(x)=f(x)g(x),\;f^{2}(x)=(f(x))^{2},\;|f|(x)=|f(x)|.}$$
  Si f es integrable en Riemann en [ a , b ] entonces lo mismo es cierto para | f | , y
  $${\displaystyle \left|\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right|\leq \int _{a}^{b}|f(x)|\,dx.}$$
  Además, si f y g son integrables con Riemann, entonces fg también es integrable con Riemann, y
  $${\displaystyle \left(\int _{a}^{b}(fg)(x)\,dx\right)^{2}\leq \left(\int _{a}^{b}f(x)^{2}\,dx\right)\left(\int _{a}^{b}g(x)^{2}\,dx\right).}$$
  Esta desigualdad, conocida como desigualdad de Cauchy-Schwarz , juega un papel destacado en la teoría del espacio de Hilbert , donde el lado izquierdo se interpreta como el producto interno de dos funciones integrables al cuadrado f y g en el intervalo [ a , b ] .
• La desigualdad de Hölder . ^[33] Supongamos que p y q son dos números reales, 1 ≤ p , q ≤ ∞ con1/pag+1/q= 1 , y f y g son dos funciones integrables de Riemann. Entonces las funciones | f | ^p y | gramo | ^q también son integrables y se cumple la siguiente desigualdad de Hölder :
  $${\displaystyle \left|\int f(x)g(x)\,dx\right|\leq \left(\int \left|f(x)\right|^{p}\,dx\right)^{1/p}\left(\int \left|g(x)\right|^{q}\,dx\right)^{1/q}.}$$
  Para p = q = 2 , la desigualdad de Hölder se convierte en la desigualdad de Cauchy-Schwarz.
• Desigualdad de Minkowski . ^[33] Supongamos que p ≥ 1 es un número real y f y g son funciones integrables de Riemann. Entonces | f | ^pag , | gramo | ^p y | f + gramo | ^p también son integrables de Riemann y se cumple la siguiente desigualdad de Minkowski :
  $${\displaystyle \left(\int \left|f(x)+g(x)\right|^{p}\,dx\right)^{1/p}\leq \left(\int \left|f(x)\right|^{p}\,dx\right)^{1/p}+\left(\int \left|g(x)\right|^{p}\,dx\right)^{1/p}.}$$
  Un análogo de esta desigualdad para la integral de Lebesgue se utiliza en la construcción de espacios L p .

Convenciones

En esta sección, f es una función integrable de Riemann de valor real . la integral

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx}$

sobre un intervalo [ a , b ] se define si a < b . Esto significa que las sumas superior e inferior de la función f se evalúan en una partición a = x ₀ ≤ x ₁ ≤. . . ≤ x _n = b cuyos valores x _i son crecientes. Geométricamente, esto significa que la integración tiene lugar "de izquierda a derecha", evaluando f dentro de intervalos [ x _i  , x _{i  +1} ] donde un intervalo con un índice más alto se encuentra a la derecha de uno con un índice más bajo. Los valores a y b , los puntos finales del intervalo , se denominan límites de integración de f . Las integrales también se pueden definir si a > b : ^[18]

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=-\int _{b}^{a}f(x)\,dx.}$

Con a = b , esto implica:

${\displaystyle \int _{a}^{a}f(x)\,dx=0.}$

La primera convención es necesaria al considerar la toma de integrales sobre subintervalos de [ a , b ] ; el segundo dice que una integral tomada sobre un intervalo degenerado, o un punto , debe ser cero . Una razón para la primera convención es que la integrabilidad de f en un intervalo [ a , b ] implica que f es integrable en cualquier subintervalo [ c , d ] , pero en particular las integrales tienen la propiedad de que si c es cualquier elemento de [ a , b ] , entonces: ^[30]

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=\int _{a}^{c}f(x)\,dx+\int _{c}^{b}f(x)\,dx.}$

Con la primera convención, la relación resultante

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{a}^{c}f(x)\,dx&{}=\int _{a}^{b}f(x)\,dx-\int _{c}^{b}f(x)\,dx\\&{}=\int _{a}^{b}f(x)\,dx+\int _{b}^{c}f(x)\,dx\end{aligned}}}$

entonces está bien definido para cualquier permutación cíclica de a , b y c .

Teorema fundamental del cálculo

El teorema fundamental del cálculo es la afirmación de que la diferenciación y la integración son operaciones inversas: si una función continua se integra primero y luego se diferencia, se recupera la función original. ^[34] Una consecuencia importante, a veces llamada segundo teorema fundamental del cálculo , permite calcular integrales utilizando una antiderivada de la función que se va a integrar. ^[35]

primer teorema

Sea f una función continua de valor real definida en un intervalo cerrado [ a , b ] . Sea F la función definida, para todo x en [ a , b ] , por ^[36]

${\displaystyle F(x)=\int _{a}^{x}f(t)\,dt.}$

Entonces, F es continua en [ a , b ] , diferenciable en el intervalo abierto ( a , b ) , y

${\displaystyle F'(x)=f(x)}$

para todo x en ( a , b ) .

Segundo teorema

Sea f una función de valor real definida en un intervalo cerrado [ a , b ] que admite una primitiva F en [ a , b ] . Es decir, f y F son funciones tales que para todo x en [ a , b ] ,

${\displaystyle f(x)=F'(x).}$

Si f es integrable en [ a , b ] entonces

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a).}$

Extensiones

Integrales impropias

La integral impropia tiene intervalos ilimitados tanto para el dominio como para el rango. ${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {dx}{(x+1){\sqrt {x}}}}=\pi }$

Una integral de Riemann "adecuada" supone que el integrando está definido y finito en un intervalo cerrado y acotado, entre corchetes por los límites de integración. Una integral impropia ocurre cuando una o más de estas condiciones no se cumplen. En algunos casos, estas integrales pueden definirse considerando el límite de una secuencia de integrales de Riemann propias en intervalos progresivamente mayores.

Si el intervalo no está acotado, por ejemplo en su extremo superior, entonces la integral impropia es el límite cuando ese punto final llega al infinito: ^[37]

${\displaystyle \int _{a}^{\infty }f(x)\,dx=\lim _{b\to \infty }\int _{a}^{b}f(x)\,dx.}$

Si el integrando solo está definido o es finito en un intervalo medio abierto, por ejemplo ( a , b ] , entonces nuevamente un límite puede proporcionar un resultado finito: ^[38]

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=\lim _{\varepsilon \to 0}\int _{a+\epsilon }^{b}f(x)\,dx.}$

Es decir, la integral impropia es el límite de las integrales propias cuando un punto final del intervalo de integración se acerca a un número real específico , o ∞ , o −∞ . En casos más complicados, se requieren límites en ambos puntos finales o en puntos interiores.

Integración múltiple

La integral doble calcula el volumen debajo de una superficie ${\displaystyle z=f(x,y)}$

Así como la integral definida de una función positiva de una variable representa el área de la región entre la gráfica de la función y el eje x , la integral doble de una función positiva de dos variables representa el volumen de la región entre la superficie definida por la función y el plano que contiene su dominio. ^[39] Por ejemplo, una función en dos dimensiones depende de dos variables reales, x e y , y la integral de una función f sobre el rectángulo R dado como el producto cartesiano de dos intervalos se puede escribir ${\displaystyle R=[a,b]\times [c,d]}$

${\displaystyle \int _{R}f(x,y)\,dA}$

donde el diferencial dA indica que la integración se toma con respecto al área. Esta doble integral se puede definir usando sumas de Riemann y representa el volumen (con signo) bajo la gráfica de z = f ( x , y ) sobre el dominio R. ^[40] En condiciones adecuadas (por ejemplo, si f es continua), el teorema de Fubini establece que esta integral se puede expresar como una integral iterada equivalente ^[41]

${\displaystyle \int _{a}^{b}\left[\int _{c}^{d}f(x,y)\,dy\right]\,dx.}$

Esto reduce el problema de calcular una integral doble a calcular integrales unidimensionales. Debido a esto, otra notación para la integral sobre R utiliza un signo integral doble: ^[40]

${\displaystyle \iint _{R}f(x,y)\,dA.}$

Es posible la integración en dominios más generales. La integral de una función f , con respecto al volumen, sobre una región D de n dimensiones se denota mediante símbolos como: ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle \int _{D}f(\mathbf {x} )d^{n}\mathbf {x} \ =\int _{D}f\,dV.}$

Integrales de línea e integrales de superficie

Una integral de línea suma elementos a lo largo de una curva.

El concepto de integral se puede extender a dominios de integración más generales, como líneas curvas y superficies dentro de espacios de dimensiones superiores. Estas integrales se conocen como integrales de línea e integrales de superficie, respectivamente. Estos tienen importantes aplicaciones en física, como cuando se trata de campos vectoriales .

Una integral de línea (a veces llamada integral de trayectoria ) es una integral donde la función a integrar se evalúa a lo largo de una curva . ^[42] Se utilizan varias integrales de línea diferentes. En el caso de una curva cerrada también se le llama integral de contorno .

La función a integrar puede ser un campo escalar o un campo vectorial . El valor de la integral de línea es la suma de los valores del campo en todos los puntos de la curva, ponderados por alguna función escalar en la curva (comúnmente longitud de arco o, para un campo vectorial, el producto escalar del campo vectorial con un diferencial vector en la curva). ^[43] Esta ponderación distingue la integral de línea de integrales más simples definidas en intervalos . Muchas fórmulas simples en física tienen análogos continuos naturales en términos de integrales de línea; por ejemplo, el hecho de que el trabajo sea igual a la fuerza , F , multiplicada por el desplazamiento, s , puede expresarse (en términos de cantidades vectoriales) como: ^[44]

${\displaystyle W=\mathbf {F} \cdot \mathbf {s} .}$

Para un objeto que se mueve a lo largo de una trayectoria C en un campo vectorial F, como un campo eléctrico o un campo gravitacional , el trabajo total realizado por el campo sobre el objeto se obtiene sumando el trabajo diferencial realizado al moverse de s a s + d s. . Esto da la integral de línea ^[45]

${\displaystyle W=\int _{C}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {s} .}$

La definición de integral de superficie se basa en dividir la superficie en pequeños elementos de superficie.

Una integral de superficie generaliza integrales dobles a la integración sobre una superficie (que puede ser un conjunto curvo en el espacio ); se puede considerar como la integral doble análoga de la integral de línea . La función a integrar puede ser un campo escalar o un campo vectorial . El valor de la integral de superficie es la suma del campo en todos los puntos de la superficie. Esto se puede lograr dividiendo la superficie en elementos de superficie, que proporcionan la partición para las sumas de Riemann. ^[46]

Para ver un ejemplo de aplicaciones de integrales de superficie, considere un campo vectorial v en una superficie S ; es decir, para cada punto x en S , v ( x ) es un vector. Imagine que un fluido fluye a través de S , de modo que v ( x ) determina la velocidad del fluido en x . El flujo se define como la cantidad de fluido que fluye a través de S en una unidad de tiempo. Para encontrar el flujo, es necesario tomar el producto escalar de v con la superficie unitaria normal a S en cada punto, lo que dará un campo escalar, que se integra sobre la superficie: ^[47]

${\displaystyle \int _{S}{\mathbf {v} }\cdot \,d{\mathbf {S} }.}$

El flujo de fluido en este ejemplo puede provenir de un fluido físico como agua o aire, o de un flujo eléctrico o magnético. Así, las integrales de superficie tienen aplicaciones en física, particularmente en la teoría clásica del electromagnetismo .

Integrales de contorno

En análisis complejo , el integrando es una función de valor complejo de una variable compleja z en lugar de una función real de una variable real x . Cuando una función compleja se integra a lo largo de una curva en el plano complejo, la integral se denota de la siguiente manera ${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle \int _{\gamma }f(z)\,dz.}$

Esto se conoce como integral de contorno .

Integrales de formas diferenciales.

Una forma diferencial es un concepto matemático en los campos del cálculo multivariable , topología diferencial y tensores . Las formas diferenciales están organizadas por grados. Por ejemplo, una forma única es una suma ponderada de los diferenciales de las coordenadas, como por ejemplo:

${\displaystyle E(x,y,z)\,dx+F(x,y,z)\,dy+G(x,y,z)\,dz}$

donde E , F , G son funciones en tres dimensiones. Se puede integrar una forma diferencial a lo largo de una trayectoria orientada, y la integral resultante es simplemente otra forma de escribir una integral de línea. Aquí los diferenciales básicos dx , dy , dz miden longitudes orientadas infinitesimales paralelas a los tres ejes de coordenadas.

Una dos formas diferenciales es una suma de la forma

${\displaystyle G(x,y,z)\,dx\wedge dy+E(x,y,z)\,dy\wedge dz+F(x,y,z)\,dz\wedge dx.}$

Aquí las dos formas básicas miden áreas orientadas paralelas a los dos planos de coordenadas. El símbolo denota el producto cuña , que es similar al producto transversal en el sentido de que el producto cuña de dos formas que representan longitudes orientadas representa un área orientada. Se puede integrar una forma bidimensional sobre una superficie orientada, y la integral resultante es equivalente a la integral de superficie que da el flujo de . ${\displaystyle dx\wedge dy,dz\wedge dx,dy\wedge dz}$ ${\displaystyle \wedge }$ ${\displaystyle E\mathbf {i} +F\mathbf {j} +G\mathbf {k} }$

A diferencia del producto cruz y del cálculo vectorial tridimensional, el producto cuña y el cálculo de formas diferenciales tienen sentido en dimensiones arbitrarias y en variedades más generales (curvas, superficies y sus análogos de dimensiones superiores). La derivada exterior desempeña el papel del gradiente y la curvatura del cálculo vectorial, y el teorema de Stokes generaliza simultáneamente los tres teoremas del cálculo vectorial: el teorema de la divergencia , el teorema de Green y el teorema de Kelvin-Stokes .

Sumaciones

El equivalente discreto de la integración es la suma . Las sumas y las integrales se pueden poner sobre los mismos fundamentos utilizando la teoría de las integrales de Lebesgue o el cálculo de escalas de tiempo .

Integrales funcionales

Una integración que no se realiza sobre una variable (o, en física, sobre una dimensión espacial o temporal), sino sobre un espacio de funciones , se denomina integral funcional .

Aplicaciones

Las integrales se utilizan ampliamente en muchas áreas. Por ejemplo, en teoría de la probabilidad , las integrales se utilizan para determinar la probabilidad de que alguna variable aleatoria caiga dentro de un rango determinado. ^[48] ​​Además, la integral bajo una función de densidad de probabilidad completa debe ser igual a 1, lo que proporciona una prueba de si una función sin valores negativos podría ser una función de densidad o no. ^[49]

Las integrales se pueden utilizar para calcular el área de una región bidimensional que tiene un límite curvo, así como para calcular el volumen de un objeto tridimensional que tiene un límite curvo. El área de una región bidimensional se puede calcular utilizando la integral definida antes mencionada. ^[50] El volumen de un objeto tridimensional, como un disco o una arandela, se puede calcular mediante la integración del disco utilizando la ecuación para el volumen de un cilindro, donde es el radio. En el caso de un disco simple creado al girar una curva alrededor del eje x , el radio está dado por f ( x ) y su altura es el diferencial dx . Usando una integral con límites a y b , el volumen del disco es igual a: ^[51] ${\displaystyle \pi r^{2}h}$ ${\displaystyle r}$

$${\displaystyle \pi \int _{a}^{b}f^{2}(x)\,dx.}$$

la cinemática,el desplazamientoel tiempola velocidadel movimiento rectilíneo ${\displaystyle [a,b]}$

${\displaystyle x(b)-x(a)=\int _{a}^{b}v(t)\,dt,}$

donde es la velocidad expresada en función del tiempo. ^[52] El trabajo realizado por una fuerza (dada en función de la posición) desde una posición inicial hasta una posición final es: ^[53] ${\displaystyle v(t)}$ ${\displaystyle F(x)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

${\displaystyle W_{A\rightarrow B}=\int _{A}^{B}F(x)\,dx.}$

Las integrales también se utilizan en termodinámica , donde la integración termodinámica se utiliza para calcular la diferencia de energía libre entre dos estados dados.

Cálculo

Analítico

La técnica más básica para calcular integrales definidas de una variable real se basa en el teorema fundamental del cálculo . Sea f ( x ) la función de x a integrar en un intervalo dado [ a , b ] . Luego, encuentre una primitiva de f ; es decir, una función F tal que F ′ = f en el intervalo. Siempre que el integrando y la integral no tengan singularidades en el camino de la integración, según el teorema fundamental del cálculo,

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a).}$

En ocasiones es necesario utilizar una de las muchas técnicas que se han desarrollado para evaluar integrales. La mayoría de estas técnicas reescriben una integral como otra diferente que, con suerte, es más manejable. Las técnicas incluyen integración por sustitución , integración por partes , integración por sustitución trigonométrica e integración por fracciones parciales .

Existen métodos alternativos para calcular integrales más complejas. Muchas integrales no elementales pueden expandirse en una serie de Taylor e integrarse término por término. En ocasiones, la serie infinita resultante se puede sumar analíticamente. También se puede utilizar el método de convolución que utiliza funciones G de Meijer , asumiendo que el integrando se puede escribir como un producto de funciones G de Meijer. También existen muchas formas menos comunes de calcular integrales definidas; por ejemplo, la identidad de Parseval se puede utilizar para transformar una integral sobre una región rectangular en una suma infinita. En ocasiones, una integral puede evaluarse mediante un truco; para ver un ejemplo de esto, consulte Integral gaussiana .

Los cálculos de volúmenes de sólidos de revolución generalmente se pueden realizar con integración de disco o integración de capa .

Los resultados específicos que se han obtenido mediante diversas técnicas se recogen en la lista de integrales .

Simbólico

Muchos problemas de matemáticas, física e ingeniería implican integración cuando se desea una fórmula explícita para la integral. A lo largo de los años se han compilado y publicado extensas tablas de integrales con este fin. Con la proliferación de las computadoras, muchos profesionales, educadores y estudiantes han recurrido a sistemas de álgebra informática diseñados específicamente para realizar tareas difíciles o tediosas, incluida la integración. La integración simbólica ha sido una de las motivaciones para el desarrollo de los primeros sistemas de este tipo, como Macsyma y Maple .

Una dificultad matemática importante en la integración simbólica es que, en muchos casos, una función relativamente simple no tiene integrales que puedan expresarse en forma cerrada que involucren solo funciones elementales , incluidas funciones racionales y exponenciales , logaritmos , funciones trigonométricas y funciones trigonométricas inversas , y la Operaciones de multiplicación y composición. El algoritmo de Risch proporciona un criterio general para determinar si la antiderivada de una función elemental es elemental y calcular la integral si es elemental. Sin embargo, las funciones con expresiones cerradas de antiderivadas son la excepción y, en consecuencia, los sistemas de álgebra computarizados no tienen esperanzas de poder encontrar una antiderivada para una función elemental construida aleatoriamente. En el lado positivo, si los 'bloques de construcción' de las antiderivadas se fijan de antemano, aún es posible decidir si la antiderivada de una función determinada se puede expresar utilizando estos bloques y operaciones de multiplicación y composición y encontrar la respuesta simbólica. siempre que exista. El algoritmo de Risch, implementado en Mathematica , Maple y otros sistemas de álgebra informática , hace precisamente eso para funciones y antiderivadas construidas a partir de funciones racionales, radicales , logaritmos y funciones exponenciales.

Algunos integrandos especiales ocurren con suficiente frecuencia como para justificar un estudio especial. En particular, puede resultar útil tener, en el conjunto de antiderivadas, las funciones especiales (como las funciones de Legendre , la función hipergeométrica , la función gamma , la función gamma incompleta , etc.). Ampliar el algoritmo de Risch para incluir tales funciones es posible pero desafiante y ha sido un tema de investigación activo.

Más recientemente ha surgido un nuevo enfoque que utiliza funciones D -finitas , que son soluciones de ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes polinomiales. La mayoría de las funciones elementales y especiales son D -finitas, y la integral de una función D -finita también es una función D -finita. Esto proporciona un algoritmo para expresar la antiderivada de una función D -finita como la solución de una ecuación diferencial. Esta teoría también permite calcular la integral definida de una función D como la suma de una serie dada por los primeros coeficientes y proporciona un algoritmo para calcular cualquier coeficiente.

Los sistemas de integración basados ​​en reglas facilitan la integración. Rubi, un integrador basado en reglas de sistemas de álgebra informática, combina patrones con un extenso sistema de reglas de integración simbólica para integrar una amplia variedad de integrandos. Este sistema utiliza más de 6600 reglas de integración para calcular integrales. ^[54] El método de los corchetes es una generalización del teorema maestro de Ramanujan que se puede aplicar a una amplia gama de integrales univariadas y multivariadas. Se aplica un conjunto de reglas a los coeficientes y términos exponenciales de la expansión en serie de potencias del integrando para determinar la integral. El método está estrechamente relacionado con la transformada de Mellin . ^[55]

Numérico

Métodos de cuadratura numérica: método del rectángulo, regla trapezoidal, método de Romberg, cuadratura gaussiana

Las integrales definidas se pueden aproximar utilizando varios métodos de integración numérica . El método del rectángulo se basa en dividir la región bajo la función en una serie de rectángulos correspondientes a los valores de la función y multiplicarlos por el ancho del paso para encontrar la suma. Un mejor enfoque, la regla trapezoidal , reemplaza los rectángulos utilizados en una suma de Riemann con trapezoides. La regla trapezoidal pondera el primer y último valor a la mitad y luego multiplica por el ancho del paso para obtener una mejor aproximación. ^[56] La idea detrás de la regla trapezoidal, de que aproximaciones más precisas a la función producen mejores aproximaciones a la integral, puede llevarse más lejos: la regla de Simpson aproxima el integrando mediante una función cuadrática por partes. ^[57]

Las sumas de Riemann, la regla del trapecio y la regla de Simpson son ejemplos de una familia de reglas de cuadratura denominadas fórmulas de Newton-Cotes . La regla de cuadratura de Newton-Cotes de grado n aproxima el polinomio en cada subintervalo en un polinomio de grado n . Este polinomio se elige para interpolar los valores de la función en el intervalo. ^[58] Las aproximaciones de Newton-Cotes de mayor grado pueden ser más precisas, pero requieren más evaluaciones de funciones y pueden sufrir de inexactitud numérica debido al fenómeno de Runge . Una solución a este problema es la cuadratura de Clenshaw-Curtis , en la que el integrando se aproxima expandiéndolo en términos de polinomios de Chebyshev .

El método de Romberg reduce a la mitad los anchos de los pasos incrementalmente, dando aproximaciones trapezoidales denotadas por T ( h ₀ ) , T ( h ₁ ) , etc., donde h _{k +1} es la mitad de h _k . Para cada nuevo tamaño de paso, sólo es necesario calcular la mitad de los nuevos valores de la función; los demás proceden del tamaño anterior. Luego interpola un polinomio a través de las aproximaciones y lo extrapola a T (0) . La cuadratura gaussiana evalúa la función en las raíces de un conjunto de polinomios ortogonales . ^[59] Un método gaussiano de n puntos es exacto para polinomios de grado hasta 2 n − 1 .

El cálculo de integrales de dimensiones superiores (por ejemplo, cálculos de volumen) hace un uso importante de alternativas como la integración de Monte Carlo . ^[60]

Mecánico

El área de una forma bidimensional arbitraria se puede determinar utilizando un instrumento de medición llamado planímetro . El volumen de objetos irregulares se puede medir con precisión mediante el fluido desplazado cuando el objeto se sumerge.

Geométrico

A veces, el área se puede encontrar mediante construcciones geométricas con compás y regla de un cuadrado equivalente .

Integración por diferenciación

Kempf, Jackson y Morales demostraron relaciones matemáticas que permiten calcular una integral mediante derivación . Su cálculo involucra la función delta de Dirac y el operador de derivada parcial . Esto también se puede aplicar a integrales funcionales , permitiendo calcularlas mediante diferenciación funcional . ^[61] ${\displaystyle \partial _{x}}$

Ejemplos

Usando el teorema fundamental del cálculo

El teorema fundamental del cálculo permite cálculos sencillos de funciones básicas:

${\displaystyle \int _{0}^{\pi }\sin(x)\,dx=-\cos(x){\big |}_{x=0}^{x=\pi }=-\cos(\pi )-{\big (}-\cos(0){\big )}=2.}$

Ver también

• Portal de matemáticas

• Ecuación integral  : ecuaciones con función desconocida bajo signo integral
• Símbolo integral  : símbolo matemático utilizado para indicar integrales y antiderivadas.
• Listas de integrales

Notas

1. El cálculo integral es una disciplina matemática muy bien establecida para la que existen muchas fuentes. Véase Apostol 1967 y Anton, Bivens & Davis 2016, por ejemplo.

Referencias

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enlaces externos

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Libros en línea

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