Diferencial (matemáticas)

Noción matemática de diferencia infinitesimal

En matemáticas , diferencial se refiere a varias nociones relacionadas ^[1] derivadas de los primeros días del cálculo , puestas sobre una base rigurosa, como las diferencias infinitesimales y las derivadas de funciones. ^[2]

El término se utiliza en diversas ramas de las matemáticas como el cálculo , la geometría diferencial , la geometría algebraica y la topología algebraica .

Introducción

El término diferencial se utiliza sin rigor en cálculo para referirse a un cambio infinitesimal ("infinitamente pequeño") en alguna cantidad variable . Por ejemplo, si x es una variable , entonces un cambio en el valor de x a menudo se denota como Δ x (pronunciado delta x ). El diferencial dx representa un cambio infinitamente pequeño en la variable x . La idea de un cambio infinitamente pequeño o infinitamente lento es, intuitivamente, extremadamente útil, y hay varias maneras de hacer que la noción sea matemáticamente precisa.

Usando el cálculo, es posible relacionar matemáticamente los cambios infinitamente pequeños de varias variables entre sí usando derivadas . Si y es función de x , entonces el diferencial dy de y está relacionado con dx mediante la fórmula

$${\displaystyle dy={\frac {dy}{dx}}\,dx,}$$

derivadayxyxyxx ${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}\,}$

Nociones básicas

• En cálculo , el diferencial representa un cambio en la linealización de una función .
  • El diferencial total es su generalización para funciones de múltiples variables.
• En los enfoques tradicionales del cálculo, los diferenciales (por ejemplo, dx , dy , dt , etc.) se interpretan como infinitesimales . Existen varios métodos para definir rigurosamente los infinitesimales, pero basta con decir que un número infinitesimal es menor en valor absoluto que cualquier número real positivo, del mismo modo que un número infinitamente grande es mayor que cualquier número real.
• El diferencial es otro nombre para la matriz jacobiana de derivadas parciales de una función de R ⁿ a R ^m (especialmente cuando esta matriz se ve como una aplicación lineal ).
• De manera más general, el diferencial o avance se refiere a la derivada de un mapa entre variedades suaves y las operaciones de avance que define. El diferencial también se utiliza para definir el concepto dual de pullback .
• El cálculo estocástico proporciona una noción de diferencial estocástico y un cálculo asociado para procesos estocásticos .
• El integrador en una integral de Stieltjes se representa como el diferencial de una función. Formalmente, el diferencial que aparece bajo la integral se comporta exactamente como un diferencial: así, las fórmulas de integración por sustitución e integración por partes para la integral de Stieltjes corresponden, respectivamente, a la regla de la cadena y a la regla del producto para el diferencial.

Historia y uso

Las cantidades infinitesimales jugaron un papel importante en el desarrollo del cálculo. Arquímedes los utilizó, aunque no creía que los argumentos que involucraban infinitesimales fueran rigurosos. ^[3] Isaac Newton se refirió a ellos como fluxiones . Sin embargo, fue Gottfried Leibniz quien acuñó el término diferenciales para cantidades infinitesimales e introdujo para ellas la notación que todavía se utiliza en la actualidad.

En la notación de Leibniz , si x es una cantidad variable, entonces dx denota un cambio infinitesimal en la variable x . Por lo tanto, si y es una función de x , entonces la derivada de y con respecto a x a menudo se denota por dy / dx , que de otro modo se denotaría (en la notación de Newton o Lagrange ) ẏ o y ′ . El uso de diferenciales en esta forma atrajo muchas críticas, por ejemplo en el famoso folleto The Analyst del obispo Berkeley. Sin embargo, la notación sigue siendo popular porque sugiere fuertemente la idea de que la derivada de y en x es su tasa de cambio instantánea (la pendiente de la recta tangente de la gráfica ), que puede obtenerse tomando el límite de la relación Δ y / Δ x cuando Δ x se vuelve arbitrariamente pequeño. Los diferenciales también son compatibles con el análisis dimensional , donde un diferencial como dx tiene las mismas dimensiones que la variable x .

El cálculo evolucionó hasta convertirse en una rama distinta de las matemáticas durante el siglo XVII d.C., aunque hubo antecedentes que se remontan a la antigüedad. Las presentaciones de, por ejemplo, Newton y Leibniz estuvieron marcadas por definiciones poco rigurosas de términos como diferencial, fluido e "infinitamente pequeño". Si bien muchos de los argumentos contenidos en The Analyst del obispo Berkeley de 1734 son de naturaleza teológica, los matemáticos modernos reconocen la validez de su argumento contra " los fantasmas de las cantidades fallecidas "; sin embargo, los enfoques modernos no tienen los mismos problemas técnicos. A pesar de la falta de rigor, se lograron inmensos avances en los siglos XVII y XVIII. En el siglo XIX, Cauchy y otros desarrollaron gradualmente el enfoque Epsilon, delta , de continuidad, límites y derivadas, dando una base conceptual sólida para el cálculo.

En el siglo XX, varios conceptos nuevos, por ejemplo en cálculo multivariable y geometría diferencial, parecieron encapsular la intención de los términos antiguos, especialmente diferencial ; tanto diferencial como infinitesimal se utilizan con significados nuevos y más rigurosos.

Los diferenciales también se utilizan en la notación de integrales porque una integral puede considerarse como una suma infinita de cantidades infinitesimales: el área bajo una gráfica se obtiene subdividiendo la gráfica en franjas infinitamente delgadas y sumando sus áreas. En una expresión como

$${\displaystyle \int f(x)\,dx,}$$

s largafxdx

Enfoques

Existen varios enfoques para hacer que la noción de diferenciales sea matemáticamente precisa.

1. Diferenciales como aplicaciones lineales . Este enfoque subyace a la definición de la derivada y la derivada exterior en geometría diferencial . ^[4]
2. Diferenciales como elementos nilpotentes de anillos conmutativos . Este enfoque es popular en geometría algebraica. ^[5]
3. Diferenciales en modelos suaves de teoría de conjuntos. Este enfoque se conoce como geometría diferencial sintética o análisis infinitesimal suave y está estrechamente relacionado con el enfoque geométrico algebraico, excepto que las ideas de la teoría del topos se utilizan para ocultar los mecanismos mediante los cuales se introducen los infinitesimales nilpotentes. ^[6]
4. Diferenciales como infinitesimales en sistemas numéricos hiperreales , que son extensiones de los números reales que contienen infinitesimales invertibles y números infinitamente grandes. Este es el enfoque del análisis no estándar iniciado por Abraham Robinson . ^[7]

Estos enfoques son muy diferentes entre sí, pero tienen en común la idea de ser cuantitativos , es decir, decir no sólo que un diferencial es infinitamente pequeño, sino qué tan pequeño es.

Diferenciales como mapas lineales.

Hay una forma sencilla de dar sentido preciso a las diferenciales, que se utilizó por primera vez en la línea Real al considerarlas como aplicaciones lineales . Se puede utilizar en un espacio de Hilbert , un espacio de Banach o , más generalmente, un espacio vectorial topológico . El caso de la línea Real es el más fácil de explicar. Este tipo de diferencial también se conoce como vector covariante o vector cotangente , según el contexto. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Diferenciales como mapas lineales en R

Supongamos que es una función de valor real en . Podemos reinterpretar la variable en como una función en lugar de un número, es decir, el mapa de identidad en la línea real, que toma un número real para sí mismo: . Entonces es el compuesto de con , cuyo valor en es . El diferencial (que por supuesto depende de ) es entonces una función cuyo valor en (generalmente denotado como ) no es un número, sino una aplicación lineal desde hasta . Dado que una aplicación lineal de a está dada por una matriz , es esencialmente lo mismo que un número, pero el cambio en el punto de vista nos permite pensar en un infinitesimal y compararlo con el infinitesimal estándar , que nuevamente es simplemente el mapa de identidad desde hasta (una matriz con entrada ). El mapa de identidad tiene la propiedad de que si es muy pequeño, entonces es muy pequeño, lo que nos permite considerarlo infinitesimal. El diferencial tiene la misma propiedad, porque es simplemente un múltiplo de y este múltiplo es la derivada por definición. Por lo tanto obtenemos eso , y por tanto . Así recuperamos la idea de que es el cociente de los diferenciales y . ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle x(p)=p}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle f(x(p))=f(p)}$ ${\displaystyle \operatorname {d} f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle df_{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle 1\times 1}$ ${\displaystyle df_{p}}$ ${\displaystyle dx_{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle 1\times 1}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle dx_{p}(\varepsilon )}$ ${\displaystyle df_{p}}$ ${\displaystyle dx_{p}}$ ${\displaystyle f'(p)}$ ${\displaystyle df_{p}=f'(p)\,dx_{p}}$ ${\displaystyle df=f'\,dx}$ ${\displaystyle f'}$ ${\displaystyle df}$ ${\displaystyle dx}$

Esto sería sólo un truco si no fuera por el hecho de que:

1. captura la idea de la derivada de at como la mejor aproximación lineal a at ; ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle p}$
2. tiene muchas generalizaciones.

Diferenciales como mapas lineales en R ⁿ

Si es una función de a , entonces decimos que es diferenciable ^[8] en si hay un mapa lineal de a tal que para cualquiera , hay una vecindad de tal que para , ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle p\in \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle df_{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle x\in N}$

$${\displaystyle \left|f(x)-f(p)-df_{p}(x-p)\right|<\varepsilon \left|x-p\right|.}$$

Ahora podemos usar el mismo truco que en el caso unidimensional y pensar en la expresión como la combinación de con las coordenadas estándar activadas (por lo que ese es el -ésimo componente de ). Entonces los diferenciales en un punto forman una base para el espacio vectorial de aplicaciones lineales desde a y por lo tanto, si es diferenciable en , podemos escribir como una combinación lineal de estos elementos básicos: ${\displaystyle f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle x_{j}(p)}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle p\in \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \left(dx_{1}\right)_{p},\left(dx_{2}\right)_{p},\ldots ,\left(dx_{n}\right)_{p}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \operatorname {d} f_{p}}$

$${\displaystyle df_{p}=\sum _{j=1}^{n}D_{j}f(p)\,(dx_{j})_{p}.}$$

Los coeficientes son (por definición) las derivadas parciales de at con respecto a . Por lo tanto, si es diferenciable en todos , podemos escribir, de manera más concisa: ${\displaystyle D_{j}f(p)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

$${\displaystyle \operatorname {d} f={\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}\,dx_{1}+{\frac {\partial f}{\partial x_{2}}}\,dx_{2}+\cdots +{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}\,dx_{n}.}$$

En el caso unidimensional esto se convierte en

$${\displaystyle df={\frac {df}{dx}}dx}$$

Esta idea se generaliza directamente a funciones desde hasta . Además, tiene la ventaja decisiva sobre otras definiciones de la derivada de que es invariante ante cambios de coordenadas. Esto significa que se puede utilizar la misma idea para definir el diferencial de mapas suaves entre variedades suaves . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$

Aparte: tenga en cuenta que la existencia de todas las derivadas parciales de at es una condición necesaria para la existencia de un diferencial at . Sin embargo, no es una condición suficiente . Para contraejemplos, véase Derivado de Gateaux . ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$

Diferenciales como mapas lineales en un espacio vectorial

El mismo procedimiento funciona en un espacio vectorial con una estructura adicional suficiente para hablar razonablemente de continuidad. El caso más concreto es un espacio de Hilbert, también conocido como espacio de producto interior completo , donde el producto interior y su norma asociada definen un concepto adecuado de distancia. El mismo procedimiento funciona para un espacio de Banach, también conocido como espacio vectorial normado completo . Sin embargo, para un espacio vectorial topológico más general, algunos de los detalles son más abstractos porque no existe el concepto de distancia.

Para el caso importante de una dimensión finita, cualquier espacio producto interno es un espacio de Hilbert, cualquier espacio vectorial normado es un espacio de Banach y cualquier espacio vectorial topológico es completo. Como resultado, puede definir un sistema de coordenadas de forma arbitraria y utilizar la misma técnica que para . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Diferenciales como gérmenes de funciones.

Este enfoque funciona en cualquier variedad diferenciable . Si

1. U y V son conjuntos abiertos que contienen p
2. ${\displaystyle f\colon U\to \mathbb {R} }$es continuo
3. ${\displaystyle g\colon V\to \mathbb {R} }$es continuo

entonces f es equivalente a g en p , denotado , si y sólo si hay un espacio abierto que contiene p tal que para cada x en W. El germen de f en p , denotado , es el conjunto de todas las funciones reales continuas equivalentes a f en p ; si f es suave en p entonces es un germen liso. Si ${\displaystyle f\sim _{p}g}$ ${\displaystyle W\subseteq U\cap V}$ ${\displaystyle f(x)=g(x)}$ ${\displaystyle [f]_{p}}$ ${\displaystyle [f]_{p}}$

1. ${\displaystyle U_{1}}$, y son conjuntos abiertos que contienen p ${\displaystyle U_{2}}$ ${\displaystyle V_{1}}$ ${\displaystyle V_{2}}$
2. ${\displaystyle f_{1}\colon U_{1}\to \mathbb {R} }$, y son funciones suaves ${\displaystyle f_{2}\colon U_{2}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle g_{1}\colon V_{1}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle g_{2}\colon V_{2}\to \mathbb {R} }$
3. ${\displaystyle f_{1}\sim _{p}g_{1}}$
4. ${\displaystyle f_{2}\sim _{p}g_{2}}$
5. r es un número real

entonces

1. ${\displaystyle r*f_{1}\sim _{p}r*g_{1}}$
2. ${\displaystyle f_{1}+f_{2}\colon U_{1}\cap U_{2}\to \mathbb {R} \sim _{p}g_{1}+g_{2}\colon V_{1}\cap V_{2}\to \mathbb {R} }$
3. ${\displaystyle f_{1}*f_{2}\colon U_{1}\cap U_{2}\to \mathbb {R} \sim _{p}g_{1}*g_{2}\colon V_{1}\cap V_{2}\to \mathbb {R} }$

Esto muestra que los gérmenes en p forman un álgebra .

Defínalo como el conjunto de todos los gérmenes lisos que desaparecen en p y como el producto de ideales . Entonces un diferencial en p (vector cotangente en p ) es un elemento de . El diferencial de una función suave f en p , denotada , es . ${\displaystyle {\mathcal {I}}_{p}}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}_{p}^{2}}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}_{p}{\mathcal {I}}_{p}}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}_{p}/{\mathcal {I}}_{p}^{2}}$ ${\displaystyle \mathrm {d} f_{p}}$ ${\displaystyle [f-f(p)]_{p}/{\mathcal {I}}_{p}^{2}}$

Un enfoque similar consiste en definir la equivalencia diferencial de primer orden en términos de derivadas en un parche de coordenadas arbitrario. Entonces el diferencial de f en p es el conjunto de todas las funciones diferencialmente equivalentes a en p . ${\displaystyle f-f(p)}$

geometría algebraica

En geometría algebraica , los diferenciales y otras nociones infinitesimales se manejan de una manera muy explícita al aceptar que el anillo de coordenadas o el haz de estructura de un espacio puede contener elementos nilpotentes . El ejemplo más simple es el anillo de números duales R [ ε ], donde ε ² = 0.

Esto puede estar motivado por el punto de vista algebro-geométrico sobre la derivada de una función f de R a R en un punto p . Para esto, observe primero que f  − f ( p ) pertenece al ideal I _p de funciones en R que desaparecen en p . Si la derivada f desaparece en p , entonces f  − f ( p ) pertenece al cuadrado I _p ² de este ideal. Por lo tanto, la derivada de f en p puede ser capturada por la clase de equivalencia [ f  − f ( p )] en el espacio cociente I _p / I _p ² , y el chorro 1 de f (que codifica su valor y su primera derivada) es la clase de equivalencia de f en el espacio de todas las funciones módulo I _p ² . Los geómetras algebraicos consideran esta clase de equivalencia como la restricción de f a una versión engrosada del punto p cuyo anillo de coordenadas no es R (que es el espacio cociente de funciones en R módulo I _p ) sino R [ ε ] que es el espacio cociente de funciones en R módulo I _p ² . Un punto tan engrosado es un ejemplo sencillo de esquema . ^[5]

Nociones de geometría algebraica

Los diferenciales también son importantes en geometría algebraica , y existen varias nociones importantes.

• Los diferenciales abelianos generalmente significan formas diferenciales en una curva algebraica o superficie de Riemann .
• Los diferenciales cuadráticos (que se comportan como "cuadrados" de diferenciales abelianos) también son importantes en la teoría de las superficies de Riemann.
• Los diferenciales de Kähler proporcionan una noción general de diferencial en geometría algebraica.

Geometría diferencial sintética

Una quinta aproximación a los infinitesimales es el método de geometría diferencial sintética ^[9] o análisis infinitesimal suave . ^[10] Esto está estrechamente relacionado con el enfoque algebraico-geométrico, excepto que los infinitesimales son más implícitos e intuitivos. La idea principal de este enfoque es reemplazar la categoría de conjuntos con otra categoría de conjuntos que varían suavemente, que es un topos . En esta categoría, se pueden definir los números reales, funciones suaves, etc., pero los números reales contienen automáticamente infinitesimales nilpotentes, por lo que no es necesario introducirlos a mano como en el enfoque geométrico algebraico. Sin embargo, la lógica de esta nueva categoría no es idéntica a la lógica familiar de la categoría de conjuntos: en particular, la ley del tercero excluido no se cumple. Esto significa que los argumentos matemáticos de la teoría de conjuntos sólo se extienden al análisis infinitesimal fluido si son constructivos (por ejemplo, no utilizan la prueba por contradicción ). ^¿ Algunos ^{que? ]} consideran esta desventaja como algo positivo, ya que obliga a encontrar argumentos constructivos dondequiera que estén disponibles.

Análisis no estándar

El enfoque final de los infinitesimales implica nuevamente extender los números reales, pero de una manera menos drástica. En el enfoque del análisis no estándar no hay infinitesimales nilpotentes, sólo invertibles, que pueden verse como recíprocos de números infinitamente grandes. ^[7] Tales extensiones de los números reales pueden construirse explícitamente utilizando clases de equivalencia de secuencias de números reales , de modo que, por ejemplo, la secuencia (1, 1/2, 1/3, ..., 1/ n , . ..) representa un infinitesimal. La lógica de primer orden de este nuevo conjunto de números hiperreales es la misma que la lógica de los números reales habituales, pero el axioma de completitud (que implica la lógica de segundo orden ) no se cumple. Sin embargo, esto es suficiente para desarrollar un enfoque elemental y bastante intuitivo del cálculo utilizando infinitesimales, ver principio de transferencia .

Geometría diferencial

La noción de diferencial motiva varios conceptos en geometría diferencial (y topología diferencial ).

• El diferencial (Pushforward) de un mapa entre variedades.
• Las formas diferenciales proporcionan un marco que se adapta a la multiplicación y diferenciación de diferenciales.
• La derivada exterior es una noción de diferenciación de formas diferenciales que generaliza la diferencial de una función (que es una forma diferencial 1 ).
• Pullback es, en particular, un nombre geométrico para la regla de la cadena para componer un mapa entre variedades con una forma diferencial en la variedad objetivo.
• Las derivadas o diferenciales covariantes proporcionan una noción general para diferenciar campos vectoriales y campos tensoriales en una variedad o, más generalmente, secciones de un paquete de vectores : consulte Conexión (paquete de vectores) . Esto conduce en última instancia al concepto general de conexión .

Otros significados

El término diferencial también se ha adoptado en álgebra homológica y topología algebraica, debido al papel que desempeña la derivada exterior en la cohomología de De Rham: en un complejo de cocadenas, los mapas (u operadores colímites ) d _i a menudo se denominan diferenciales. De manera dual, los operadores de frontera en un complejo de cadenas a veces se denominan codiferenciales . ${\displaystyle (C_{\bullet },d_{\bullet }),}$

Las propiedades del diferencial también motivan las nociones algebraicas de derivación y álgebra diferencial .

Ver también

• Ecuación diferencial
• forma diferencial
• Diferencial de una función

Notas

Citas

1. "Diferencial". Wolfram MathWorld . Consultado el 24 de febrero de 2022 . La palabra diferencial tiene varios significados relacionados en matemáticas. En el contexto más común, significa "relacionado con derivados". Así, por ejemplo, la parte del cálculo que trata de tomar derivadas (es decir, diferenciación) se conoce como cálculo diferencial.
   La palabra "diferencial" también tiene un significado más técnico en la teoría de las formas k diferenciales como la llamada forma única.
2. "diferencial - Definición de diferencial en inglés de EE. UU. según los diccionarios de Oxford". Diccionarios de Oxford - Inglés . Archivado desde el original el 3 de enero de 2014 . Consultado el 13 de abril de 2018 .
3. Boyer 1991.
4. Cariño 1994.
5. Eisenbud y Harris 1998.
6. Véase Kock 2006 y Moerdijk & Reyes 1991.
7. Véase Robinson 1996 y Keisler 1986.
8. Véase, por ejemplo, Apostol 1967.
9. Véase Kock 2006 y Lawvere 1968.
10. Véase Moerdijk y Reyes 1991 y Bell 1998.

Referencias

• Apostol, Tom M. (1967), Cálculo (2ª ed.), Wiley, ISBN 978-0-471-00005-1.
• Bell , John L. (1998), Invitación a un análisis infinitamente fluido (PDF).
• Boyer, Carl B. (1991), "Arquímedes de Siracusa", Una historia de las matemáticas (2ª ed.), John Wiley & Sons, Inc., ISBN 978-0-471-54397-8.
• Darling, RWR (1994), Formas y conexiones diferenciales , Cambridge, Reino Unido: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-46800-8.
• Eisenbud, David ; Harris, Joe (1998), La geometría de los esquemas , Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-98637-1
• Keisler, H. Jerome (1986), Cálculo elemental: un enfoque infinitesimal (2ª ed.).
• Kock, Anders (2006), Geometría diferencial sintética (PDF) (2ª ed.), Cambridge University Press.
• Lawvere, FW (1968), Esquema de geometría diferencial sintética (PDF) (publicado en 1998).
• Moerdijk, I .; Reyes, GE (1991), Modelos para análisis infinitamente suave , Springer-Verlag.
• Robinson, Abraham (1996), Análisis no estándar , Princeton University Press , ISBN 978-0-691-04490-3.
• Weisstein, Eric W. "Diferenciales". MundoMatemático .