hiperboloide

Superficie cuádrica ilimitada

En geometría , un hiperboloide de revolución , a veces llamado hiperboloide circular , es la superficie generada al girar una hipérbola alrededor de uno de sus ejes principales . Un hiperboloide es la superficie que se obtiene de un hiperboloide de revolución deformándolo mediante escalamientos direccionales , o más generalmente, de una transformación afín .

Un hiperboloide es una superficie cuádrica , es decir, una superficie definida como el conjunto cero de un polinomio de grado dos en tres variables. Entre las superficies cuádricas, un hiperboloide se caracteriza por no ser un cono ni un cilindro , tener un centro de simetría y cortar muchos planos formando hipérbolas. Un hiperboloide tiene tres ejes de simetría perpendiculares por pares y tres planos de simetría perpendiculares por pares .

Dado un hiperboloide, se puede elegir un sistema de coordenadas cartesiano tal que el hiperboloide esté definido por una de las siguientes ecuaciones:

$${\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}-{z^{2} \over c^{2}}=1,}$$

$${\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}-{z^{2} \over c^{2}}=-1.}$$

asintótico

$${\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}-{z^{2} \over c^{2}}=0.}$$

Se tiene un hiperboloide de revolución si y sólo si. De lo contrario, los ejes están definidos de forma única ( hasta el intercambio del eje x y el eje y ). ${\displaystyle a^{2}=b^{2}.}$

Hay dos tipos de hiperboloides. En el primer caso ( +1 en el lado derecho de la ecuación): un hiperboloide de una hoja , también llamado hiperboloide hiperbólico . Es una superficie conexa , que tiene una curvatura gaussiana negativa en cada punto. Esto implica que cerca de cada punto la intersección del hiperboloide y su plano tangente en el punto consta de dos ramas de curva que tienen tangentes distintas en el punto. En el caso del hiperboloide de una hoja, estas ramas de las curvas son líneas y, por tanto, el hiperboloide de una hoja es una superficie doblemente reglada .

En el segundo caso ( −1 en el lado derecho de la ecuación): un hiperboloide de dos hojas , también llamado hiperboloide elíptico . La superficie tiene dos componentes conectados y una curvatura gaussiana positiva en cada punto. La superficie es convexa en el sentido de que el plano tangente en cada punto interseca la superficie sólo en este punto.

Representaciones paramétricas

Animación de un hiperboloide de revolución.

Se pueden definir coordenadas cartesianas para los hiperboloides, similares a las coordenadas esféricas , manteniendo el ángulo de azimut θ ∈ [0, 2 π ) , pero cambiando la inclinación v a funciones trigonométricas hiperbólicas :

Hiperboloide de una superficie: v ∈ (−∞, ∞)

$${\displaystyle {\begin{aligned}x&=a\cosh v\cos \theta \\y&=b\cosh v\sin \theta \\z&=c\sinh v\end{aligned}}}$$

Hiperboloide de dos superficies: v ∈ [0, ∞)

$${\displaystyle {\begin{aligned}x&=a\sinh v\cos \theta \\y&=b\sinh v\sin \theta \\z&=\pm c\cosh v\end{aligned}}}$$

Hiperboloide de una hoja: generación mediante una hipérbola giratoria (arriba) y una línea (abajo: roja o azul)

hiperboloide de una hoja: secciones planas

La siguiente representación paramétrica incluye hiperboloides de una hoja, dos hojas y su cono límite común, cada uno con el eje - como eje de simetría: ${\displaystyle z}$

$${\displaystyle \mathbf {x} (s,t)=\left({\begin{array}{lll}a{\sqrt {s^{2}+d}}\cos t\\b{\sqrt {s^{2}+d}}\sin t\\cs\end{array}}\right)}$$

• Se obtiene un hiperboloide de una hoja, ${\displaystyle d>0}$
• Para un hiperboloide de dos hojas, y ${\displaystyle d<0}$
• Para un doble cono. ${\displaystyle d=0}$

Se puede obtener una representación paramétrica de un hiperboloide con un eje de coordenadas diferente como eje de simetría mezclando la posición del término con el componente apropiado en la ecuación anterior. ${\displaystyle cs}$

Ecuaciones generalizadas

De manera más general, un hiperboloide orientado arbitrariamente, centrado en v , se define mediante la ecuación

$${\displaystyle (\mathbf {x} -\mathbf {v} )^{\mathrm {T} }A(\mathbf {x} -\mathbf {v} )=1,}$$

Amatrizxvvectores

Los vectores propios de A definen las direcciones principales del hiperboloide y los valores propios de A son los recíprocos de los cuadrados de los semiejes: , y . El hiperboloide de una hoja tiene dos valores propios positivos y un valor propio negativo. El hiperboloide de dos hojas tiene un valor propio positivo y dos valores propios negativos. ${\displaystyle {1/a^{2}}}$ ${\displaystyle {1/b^{2}}}$ ${\displaystyle {1/c^{2}}}$

Propiedades

Hiperboloide de una hoja.

Líneas en la superficie

• Un hiperboloide de una hoja contiene dos lápices de líneas. Es una superficie doblemente reglada .

Si el hiperboloide tiene la ecuación entonces las rectas ${\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}-{z^{2} \over c^{2}}=1}$

$${\displaystyle g_{\alpha }^{\pm }:\mathbf {x} (t)={\begin{pmatrix}a\cos \alpha \\b\sin \alpha \\0\end{pmatrix}}+t\cdot {\begin{pmatrix}-a\sin \alpha \\b\cos \alpha \\\pm c\end{pmatrix}}\ ,\quad t\in \mathbb {R} ,\ 0\leq \alpha \leq 2\pi \ }$$

En caso de que el hiperboloide sea una superficie de revolución y se pueda generar girando una de las dos líneas o , que están sesgadas con respecto al eje de rotación (ver imagen). Esta propiedad se llama teorema de Wren . ^[1] La generación más común de un hiperboloide de revolución de una hoja es rotar una hipérbola alrededor de su semieje menor (ver imagen; rotar la hipérbola alrededor de su otro eje da una hipérbola de revolución de dos hojas). ${\displaystyle a=b}$ ${\displaystyle g_{0}^{+}}$ ${\displaystyle g_{0}^{-}}$

Un hiperboloide de una hoja es proyectivamente equivalente a un paraboloide hiperbólico .

Secciones planas

Por simplicidad , se consideran las secciones planas del hiperboloide unitario con ecuación . Debido a que un hiperboloide en posición general es una imagen afín del hiperboloide unitario, el resultado también se aplica al caso general. ${\displaystyle \ H_{1}:x^{2}+y^{2}-z^{2}=1}$

• Un plano con pendiente menor que 1 (1 es la pendiente de las rectas del hiperboloide) se corta en una elipse , ${\displaystyle H_{1}}$
• Un plano con pendiente igual a 1 que contiene el origen se corta en un par de rectas paralelas , ${\displaystyle H_{1}}$
• Un plano con pendiente igual a 1 que no contiene el origen se corta en una parábola , ${\displaystyle H_{1}}$
• Un plano tangencial se corta en un par de rectas que se cruzan , ${\displaystyle H_{1}}$
• Un plano no tangencial con pendiente mayor que 1 se corta en una hipérbola . ^[2] ${\displaystyle H_{1}}$

Obviamente, cualquier hiperboloide de revolución de una hoja contiene círculos. Esto también es cierto, aunque menos obvio, en el caso general (ver sección circular ).

Hiperboloide de dos hojas.

Hiperboloide de dos hojas: generación por rotación de una hipérbola.

Hiperboloide de dos hojas: secciones planas.

El hiperboloide de dos hojas no contiene líneas. La discusión de secciones planas se puede realizar para el hiperboloide unitario de dos hojas con ecuación

$${\displaystyle H_{2}:\ x^{2}+y^{2}-z^{2}=-1.}$$

hipérbola

• Un plano con pendiente menor que 1 (1 es la pendiente de las asíntotas de la hipérbola generadora) se cruza en una elipse o en un punto o no se cruza en absoluto, ${\displaystyle H_{2}}$
• Un plano con pendiente igual a 1 que contiene el origen (punto medio del hiperboloide) no se cruza , ${\displaystyle H_{2}}$
• Un plano con pendiente igual a 1 que no contiene el origen se corta en una parábola , ${\displaystyle H_{2}}$
• Un plano con pendiente mayor que 1 se cruza en una hipérbola . ^[3] ${\displaystyle H_{2}}$

Obviamente, cualquier hiperboloide de revolución de dos hojas contiene círculos. Esto también es cierto, aunque menos obvio, en el caso general (ver sección circular ).

Observación: Un hiperboloide de dos láminas es proyectivamente equivalente a una esfera.

Otras propiedades

Simetrías

Los hiperboloides con ecuaciones.

$${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1,\quad {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=-1}$$

• puntosimétrico al origen,
• simétrico a los planos coordenados y
• simétrico rotacional con respecto al eje z y simétrico con cualquier plano que contenga el eje z, en el caso de (hiperboloide de revolución). ${\displaystyle a=b}$

Curvatura

Mientras que la curvatura gaussiana de un hiperboloide de una hoja es negativa, la de un hiperboloide de dos hojas es positiva. A pesar de su curvatura positiva, el hiperboloide de dos láminas con otra métrica adecuadamente elegida también puede utilizarse como modelo de geometría hiperbólica.

En más de tres dimensiones

Los hiperboloides imaginarios se encuentran frecuentemente en matemáticas de dimensiones superiores. Por ejemplo, en un espacio pseudoeuclidiano se utiliza una forma cuadrática :

$${\displaystyle q(x)=\left(x_{1}^{2}+\cdots +x_{k}^{2}\right)-\left(x_{k+1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}\right),\quad k<n.}$$

cconstante

$${\displaystyle \lbrace x\ :\ q(x)=c\rbrace }$$

hiperboloidec = 0

Como ejemplo, considere el siguiente pasaje: ^[4]

... los vectores de velocidad siempre se encuentran sobre una superficie que Minkowski llama hiperboloide de cuatro dimensiones ya que, expresada en términos de coordenadas puramente reales ( y ₁ , ..., y ₄ ) , su ecuación es y²
₁+ y²
₂+ y²
₃− y²
₄= −1 , análogo al hiperboloide y²
₁+ y²
₂− y²
₃= −1 del espacio tridimensional. ^[6]

Sin embargo, el término cuasiesfera también se utiliza en este contexto ya que la esfera y el hiperboloide tienen algunos puntos en común (ver § Relación con la esfera a continuación).

Estructuras hiperboloides

Los hiperboloides de una hoja se utilizan en la construcción, y las estructuras se denominan estructuras hiperboloides . Un hiperboloide es una superficie doblemente reglada ; por lo tanto, se puede construir con vigas rectas de acero, lo que produce una estructura resistente a un costo menor que otros métodos. Los ejemplos incluyen torres de enfriamiento , especialmente de centrales eléctricas , y muchas otras estructuras .

• Galería de estructuras hiperboloides de una hoja.
• 
  El faro de Adziogol , Ucrania , 1911.
• 
  La primera torre de refrigeración Van Iterson patentada en 1916 por DSM Emma en Heerlen , Países Bajos , 1918
• 
  Torre del Puerto de Kobe , Japón , 1963.
• 
  Planetario James S. McDonnell del Centro de Ciencias de Saint Louis , St. Louis , Missouri , 1963.
• 
  Torre de control del Aeropuerto Internacional de Newcastle , Newcastle upon Tyne , Inglaterra , 1967.
• 
  Torre de Transmisión de Ještěd , República Checa , 1968.
• 
  Catedral de Brasilia , Brasil , 1970.
• 
  Torre de agua hiperboloide con tanque toroidal , Ciechanów , Polonia , 1972.
• 
  Roy Thomson Hall , Toronto , Canadá , 1982.
• 
  La torre de refrigeración THTR-300 para el reactor nuclear de torio actualmente fuera de servicio en Hamm -Uentrop, Alemania , 1983.
• 
  The Corporation Street Bridge , Manchester , Inglaterra , 1999.
• 
  La torre de observación de Killesberg , Stuttgart , Alemania , 2001.
• 
  BMW Welt , (BMW World), museo y lugar de eventos, Múnich , Alemania , 2007.
• 
  La Torre de Cantón , China , 2010.
• 
  La torre de agua de Essarts-le-Roi, Francia .

Relación con la esfera

En 1853 William Rowan Hamilton publicó sus Lectures on Quaternions que incluían la presentación de biquaternions . El siguiente pasaje de la página 673 muestra cómo Hamilton usa el álgebra de bicuaterniones y vectores de cuaterniones para producir hiperboloides a partir de la ecuación de una esfera :

... la ecuación de la esfera unitaria ρ ² + 1 = 0 , y cambiar el vector ρ a una forma bivectorial , como σ + τ √ −1 . La ecuación de la esfera luego se divide en el sistema de los dos siguientes,

σ ² − τ ² + 1 = 0 , S . στ = 0 ;

y sugiere considerar σ y τ como dos vectores reales y rectangulares, tales que

T τ = ( T σ ² - 1 ) ^1/2 .

Por tanto, es fácil inferir que si asumimos σ || λ , donde λ es un vector en una posición dada, el nuevo vector real σ + τ terminará en la superficie de un hiperboloide equilátero y de doble lámina ; y que si por el contrario asumimos τ || λ , entonces el lugar geométrico del extremo del vector real σ + τ será un hiperboloide equilátero pero de una sola hoja . El estudio de estos dos hiperboloides está, por tanto, conectado muy simplemente, a través de bicuaterniones, con el estudio de la esfera; ...

En este pasaje S es el operador que da la parte escalar de un cuaternión, y T es el "tensor", ahora llamado norma , de un cuaternión.

Una visión moderna de la unificación de la esfera y el hiperboloide utiliza la idea de una sección cónica como un corte de una forma cuadrática . En lugar de una superficie cónica , se requieren hipersuperficies cónicas en un espacio de cuatro dimensiones con puntos p = ( w , x , y , z ) ∈ R ⁴ determinados por formas cuadráticas . Primero considere la hipersuperficie cónica.

• ${\displaystyle P=\left\{p\;:\;w^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}\right\}}$y
• ${\displaystyle H_{r}=\lbrace p\ :\ w=r\rbrace ,}$que es un hiperplano .

Entonces es la esfera con radio r . Por otro lado, la hipersuperficie cónica ${\displaystyle P\cap H_{r}}$

${\displaystyle Q=\lbrace p\ :\ w^{2}+z^{2}=x^{2}+y^{2}\rbrace }$establece que es un hiperboloide. ${\displaystyle Q\cap H_{r}}$

En la teoría de formas cuadráticas , una cuasiesfera unitaria es el subconjunto de un espacio cuadrático X que consta de x ∈ X tal que la norma cuadrática de x es uno. ^[7]

Ver también

Torre hiperboloide de Shújov (1898) en Vyksa , Rusia

• Espacio de niñera
• elipsoide
• Lista de superficies
• Paraboloide / Paraboloide hiperbólico
• Régulo
• Rotación de ejes
• Perfil de cuaternión dividido
• Traducción de ejes

Referencias

1. K. Strubecker: Vorlesungen der Darstellenden Geometrie. Vandenhoeck y Ruprecht, Gotinga 1967, pág. 218
2. CDKG: Computerunterstützte Darstellende und Konstruktive Geometrie (TU Darmstadt) (PDF; 3,4 MB), pág.116
3. CDKG: Computerunterstützte Darstellende und Konstruktive Geometrie (TU Darmstadt) (PDF; 3,4 MB), pág.122
4. Thomas Hawkins (2000) Aparición de la teoría de los grupos de mentiras: un ensayo sobre la historia de las matemáticas, 1869-1926 , §9.3 "La matematización de la física en Göttingen", consulte la página 340, Springer ISBN  0-387-98963-3
5. Walter, Scott A. (1999), "El estilo no euclidiano de la relatividad minkowskiana", en J. Gray (ed.), The Symbolic Universe: Geometry and Physics 1890-1930 , Oxford University Press, págs.
6. Minkowski usó el término "hiperboloide de cuatro dimensiones" solo una vez, en un texto mecanografiado publicado póstumamente y este era un uso no estándar, ya que el hiperboloide de Minkowski es una subvariedad tridimensional de un espacio de Minkowski de cuatro dimensiones ^[5] ${\displaystyle M^{4}.}$
7. Ian R. Porteous (1995) Clifford Algebras and the Classical Groups , páginas 22, 24 y 106, Cambridge University Press ISBN 0-521-55177-3 

• Wilhelm Blaschke (1948) Analytische Geometrie , Kapital V: "Quadriken", Wolfenbütteler Verlagsanstalt.
• David A. Brannan, MF Esplen y Jeremy J Gray (1999) Geometría , págs. 39–41 Cambridge University Press .
• HSM Coxeter (1961) Introducción a la geometría , p. 130, John Wiley e hijos .

enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Hiperboloide". MundoMatemático .
  • Weisstein, Eric W. "Hiperboloide de una hoja". MundoMatemático .
  • Weisstein, Eric W. "Hiperboloide de dos hojas". MundoMatemático .
  • Weisstein, Eric W. "Hiperboloide elíptico". MundoMatemático .