En teoría de cuerdas , las D-branas , abreviatura de membrana de Dirichlet , son una clase de objetos extendidos en los que las cuerdas abiertas pueden terminar con condiciones de contorno de Dirichlet , de ahí su nombre. Las D-branas se clasifican normalmente por su dimensión espacial , que se indica mediante un número escrito después de la D. Una D0-brana es un único punto, una D1-brana es una línea (a veces llamada "cuerda D"), una D2-brana es un plano y una D25-brana llena el espacio de mayor dimensión considerado en la teoría de cuerdas bosónica . También hay D(−1)-branas instantónicas , que se localizan tanto en el espacio como en el tiempo .
Las D-branas fueron descubiertas por Jin Dai, Leigh y Polchinski [1] e independientemente por Hořava [2] en 1989. En 1995, Polchinski identificó las D-branas con soluciones de p-brana negra de supergravedad , un descubrimiento que desencadenó la Segunda Revolución de Supercuerdas y condujo a dualidades holográficas y de teoría M.
Las ecuaciones de movimiento de la teoría de cuerdas requieren que los puntos finales de una cuerda abierta (una cuerda con puntos finales) satisfagan uno de dos tipos de condiciones de contorno: la condición de contorno de Neumann , correspondiente a los puntos finales libres que se mueven a través del espacio-tiempo a la velocidad de la luz, o las condiciones de contorno de Dirichlet , que fijan el punto final de la cuerda. Cada coordenada de la cuerda debe satisfacer una u otra de estas condiciones. También pueden existir cuerdas con condiciones de contorno mixtas, donde los dos puntos finales satisfacen las condiciones de contorno NN, DD, ND y DN. Si p dimensiones espaciales satisfacen la condición de contorno de Neumann, entonces el punto final de la cuerda está confinado a moverse dentro de un hiperplano p -dimensional. Este hiperplano proporciona una descripción de una D p -brana.
Aunque rígido en el límite de acoplamiento cero, el espectro de cuerdas abiertas que terminan en una D-brana contiene modos asociados con sus fluctuaciones, lo que implica que las D-branas son objetos dinámicos. Cuando las D-branas son casi coincidentes, el espectro de cuerdas que se extienden entre ellas se vuelve muy rico. Un conjunto de modos produce una teoría de calibración no abeliana sobre el volumen del mundo. Otro conjunto de modos es una matriz dimensional para cada dimensión transversal de la brana. Si estas matrices conmutan, pueden diagonalizarse y los valores propios definen la posición de las D-branas en el espacio. De manera más general, las branas se describen mediante geometría no conmutativa, que permite un comportamiento exótico como el efecto Myers, en el que una colección de D p -branas se expanden en una D( p +2)-brana.
La condensación de taquiones es un concepto central en este campo. Ashoke Sen ha argumentado que en la teoría de cuerdas de tipo IIB , la condensación de taquiones permite (en ausencia de flujo de forma 3 de Neveu-Schwarz ) obtener una configuración arbitraria de D-brana a partir de una pila de D9 y anti-D9-branas. Edward Witten ha demostrado que tales configuraciones se clasificarán mediante la teoría K del espacio-tiempo . La condensación de taquiones aún se entiende muy poco. Esto se debe a la falta de una teoría de campo de cuerdas exacta que describa la evolución fuera de capa del taquión.
Esto tiene implicaciones para la cosmología física . Debido a que la teoría de cuerdas implica que el Universo tiene más dimensiones de las que esperamos (26 para las teorías de cuerdas bosónicas y 10 para las teorías de supercuerdas ), tenemos que encontrar una razón por la que las dimensiones adicionales no son evidentes. Una posibilidad sería que el Universo visible sea de hecho una D-brana muy grande que se extiende sobre tres dimensiones espaciales. Los objetos materiales, hechos de cuerdas abiertas, están ligados a la D-brana y no pueden moverse "en ángulos rectos con la realidad" para explorar el Universo fuera de la brana. Este escenario se llama cosmología de branas . La fuerza de la gravedad no se debe a cuerdas abiertas; los gravitones que transportan fuerzas gravitacionales son estados vibracionales de cuerdas cerradas . Debido a que las cuerdas cerradas no tienen que estar unidas a las D-branas, los efectos gravitacionales podrían depender de las dimensiones adicionales ortogonales a la brana.
Cuando dos branas D se aproximan entre sí, la interacción es capturada por la amplitud del anillo de un bucle de cuerdas entre las dos branas. El escenario de dos branas paralelas que se aproximan entre sí a una velocidad constante se puede mapear al problema de dos branas estacionarias que giran una respecto de la otra en un ángulo determinado. La amplitud del anillo produce singularidades que corresponden a la producción en la capa de cuerdas abiertas estiradas entre las dos branas. Esto es cierto independientemente de la carga de las branas D. A velocidades de dispersión no relativistas, las cuerdas abiertas pueden describirse mediante una acción efectiva de baja energía que contiene dos campos escalares complejos que están acoplados a través de un término . Por lo tanto, a medida que el campo (separación de las branas) cambia, la masa del campo cambia. Esto induce la producción de cuerdas abiertas y, como resultado, las dos branas de dispersión quedarán atrapadas.
La disposición de las D-branas restringe los tipos de estados de cuerdas que pueden existir en un sistema. Por ejemplo, si tenemos dos D2-branas paralelas, podemos imaginar fácilmente cuerdas que se extienden desde la brana 1 a la brana 2 o viceversa. (En la mayoría de las teorías, las cuerdas son objetos orientados : cada una lleva una "flecha" que define una dirección a lo largo de su longitud). Las cuerdas abiertas permisibles en esta situación se dividen en dos categorías o "sectores": las que se originan en la brana 1 y terminan en la brana 2, y las que se originan en la brana 2 y terminan en la brana 1. Simbólicamente, decimos que tenemos los sectores [1 2] y [2 1]. Además, una cuerda puede comenzar y terminar en la misma brana, lo que da lugar a los sectores [1 1] y [2 2]. (Los números dentro de los corchetes se llaman índices de Chan-Paton , pero en realidad son solo etiquetas que identifican las branas). Una cuerda en el sector [1 2] o [2 1] tiene una longitud mínima: no puede ser más corta que la separación entre las branas. Todas las cuerdas tienen cierta tensión, contra la cual uno debe tirar para alargar el objeto; este tirón hace trabajo sobre la cuerda, sumándose a su energía. Debido a que las teorías de cuerdas son por naturaleza relativistas , agregar energía a una cuerda es equivalente a agregar masa, por la relación de Einstein E = mc 2 . Por lo tanto, la separación entre D-branas controla la masa mínima que pueden tener las cuerdas abiertas.
Además, la fijación del punto final de una cuerda a una brana influye en la forma en que la cuerda puede moverse y vibrar. Debido a que los estados de las partículas "emergen" de la teoría de cuerdas como los diferentes estados vibracionales que la cuerda puede experimentar, la disposición de las D-branas controla los tipos de partículas presentes en la teoría. El caso más simple es el sector [1 1] para una D p -brana, es decir, las cuerdas que comienzan y terminan en cualquier D-brana particular de p dimensiones. Examinando las consecuencias de la acción de Nambu-Goto (y aplicando las reglas de la mecánica cuántica para cuantizar la cuerda), uno encuentra que entre el espectro de partículas hay una que se asemeja al fotón , el cuanto fundamental del campo electromagnético. La semejanza es precisa: una versión p -dimensional del campo electromagnético, que obedece a un análogo p -dimensional de las ecuaciones de Maxwell , existe en cada D p -brana.
En este sentido, entonces, se puede decir que la teoría de cuerdas "predice" el electromagnetismo: las D-branas son una parte necesaria de la teoría si permitimos que existan cuerdas abiertas, y todas las D-branas llevan un campo electromagnético en su volumen.
Otros estados de partículas se originan a partir de cuerdas que comienzan y terminan en la misma D-brana. Algunas corresponden a partículas sin masa como el fotón; también en este grupo hay un conjunto de partículas escalares sin masa. Si una D p -brana está incrustada en un espacio-tiempo de d dimensiones espaciales, la brana lleva (además de su campo de Maxwell) un conjunto de d − p escalares sin masa (partículas que no tienen polarizaciones como los fotones que forman la luz). Curiosamente, hay tantos escalares sin masa como direcciones perpendiculares a la brana; la geometría de la disposición de la brana está estrechamente relacionada con la teoría cuántica de campos de las partículas que existen en ella. De hecho, estos escalares sin masa son excitaciones de Goldstone de la brana, que corresponden a las diferentes formas en que se puede romper la simetría del espacio vacío. La colocación de una brana D en un universo rompe la simetría entre ubicaciones, porque define un lugar particular, asignando un significado especial a una ubicación particular a lo largo de cada una de las direcciones d − p perpendiculares a la brana.
La versión cuántica del electromagnetismo de Maxwell es sólo un tipo de teoría de calibre , una teoría de calibre U (1) donde el grupo de calibre está formado por matrices unitarias de orden 1. Las D-branas se pueden utilizar para generar teorías de calibre de orden superior, de la siguiente manera:
Consideremos un grupo de N D p -branas separadas , dispuestas en paralelo para simplificar. Las branas están etiquetadas 1,2,..., N por conveniencia. Las cuerdas abiertas en este sistema existen en uno de muchos sectores: las cuerdas que comienzan y terminan en alguna brana i le dan a esa brana un campo de Maxwell y algunos campos escalares sin masa en su volumen. Las cuerdas que se extienden desde la brana i hasta otra brana j tienen propiedades más intrigantes. Para empezar, vale la pena preguntar qué sectores de cuerdas pueden interactuar entre sí. Un mecanismo sencillo para una interacción de cuerdas es que dos cuerdas unan sus puntos finales (o, a la inversa, que una cuerda se "divida por la mitad" y forme dos cuerdas "hijas"). Dado que los puntos finales están restringidos a estar en D-branas, es evidente que una cuerda [1 2] puede interactuar con una cuerda [2 3], pero no con una [3 4] o una [4 17]. Las masas de estas cuerdas se verán influenciadas por la separación entre las branas, como se ha comentado anteriormente, por lo que, para simplificar, podemos imaginar que las branas se van apretando cada vez más hasta que quedan una encima de la otra. Si consideramos dos branas superpuestas como objetos distintos, entonces todavía tenemos todos los sectores que teníamos antes, pero sin los efectos debidos a las separaciones de las branas.
Los estados de masa cero en el espectro de partículas de cuerdas abiertas para un sistema de N D-branas coincidentes producen un conjunto de campos cuánticos en interacción que es exactamente una teoría de gauge U ( N ). (La teoría de cuerdas contiene otras interacciones, pero sólo son detectables a energías muy altas). Las teorías de gauge no se inventaron a partir de cuerdas bosónicas o fermiónicas; se originaron en un área diferente de la física y se han vuelto bastante útiles por derecho propio. Como mínimo, la relación entre la geometría de las D-branas y la teoría de gauge ofrece una herramienta pedagógica útil para explicar las interacciones de gauge, incluso si la teoría de cuerdas no logra ser la "teoría del todo".
Otro uso importante de las D-branas ha sido en el estudio de los agujeros negros . Desde la década de 1970, los científicos han debatido el problema de si los agujeros negros tienen entropía . Consideremos, como experimento mental , dejar caer una cantidad de gas caliente en un agujero negro. Dado que el gas no puede escapar de la atracción gravitatoria del agujero, su entropía parecería haber desaparecido del universo. Para mantener la segunda ley de la termodinámica , uno debe postular que el agujero negro ganó la entropía que originalmente tenía el gas que cayó. Al intentar aplicar la mecánica cuántica al estudio de los agujeros negros, Stephen Hawking descubrió que un agujero debería emitir energía con el espectro característico de la radiación térmica. La temperatura característica de esta radiación de Hawking está dada por donde es la constante de gravitación newtoniana , es la masa del agujero negro y es la constante de Boltzmann .
Utilizando esta expresión para la temperatura de Hawking, y asumiendo que un agujero negro de masa cero tiene entropía cero, se pueden utilizar argumentos termodinámicos para derivar la " entropía de Bekenstein ":
La entropía de Bekenstein es proporcional al cuadrado de la masa del agujero negro; como el radio de Schwarzschild es proporcional a la masa, la entropía de Bekenstein es proporcional al área de la superficie del agujero negro. De hecho, donde es la longitud de Planck .
El concepto de entropía de un agujero negro plantea algunos interrogantes interesantes. En una situación ordinaria, un sistema tiene entropía cuando un gran número de "microestados" diferentes pueden satisfacer la misma condición macroscópica. Por ejemplo, dada una caja llena de gas, muchas disposiciones diferentes de los átomos del gas pueden tener la misma energía total. Sin embargo, se creía que un agujero negro era un objeto sin rasgos distintivos (en la frase de John Wheeler , " Los agujeros negros no tienen pelo "). ¿Cuáles son, entonces, los "grados de libertad" que pueden dar lugar a la entropía de un agujero negro?
Los teóricos de cuerdas han construido modelos en los que un agujero negro es una cuerda muy larga (y por lo tanto muy masiva). Este modelo coincide aproximadamente con la entropía esperada de un agujero negro de Schwarzschild, pero aún no se ha encontrado una prueba exacta de una u otra manera. La principal dificultad es que es relativamente fácil contar los grados de libertad que poseen las cuerdas cuánticas si no interactúan entre sí. Esto es análogo al gas ideal estudiado en la termodinámica introductoria: la situación más fácil de modelar es cuando los átomos del gas no tienen interacciones entre sí. Desarrollar la teoría cinética de los gases en el caso en que los átomos o moléculas del gas experimentan fuerzas entre partículas (como la fuerza de van der Waals ) es más difícil. Sin embargo, un mundo sin interacciones es un lugar poco interesante: lo más importante para el problema del agujero negro es que la gravedad es una interacción y, por lo tanto, si el "acoplamiento de cuerdas" está desactivado, nunca podría surgir un agujero negro. Por lo tanto, calcular la entropía del agujero negro requiere trabajar en un régimen donde existen interacciones de cuerdas.
Para extender el caso más simple de cuerdas que no interactúan al régimen en el que podría existir un agujero negro se requiere supersimetría . En ciertos casos, el cálculo de entropía realizado para el acoplamiento de cuerdas cero sigue siendo válido cuando las cuerdas interactúan. El desafío para un teórico de cuerdas es idear una situación en la que pueda existir un agujero negro que no "rompa" la supersimetría. En los últimos años, esto se ha hecho construyendo agujeros negros a partir de D-branas. El cálculo de las entropías de estos agujeros hipotéticos proporciona resultados que coinciden con la entropía de Bekenstein esperada. Desafortunadamente, todos los casos estudiados hasta ahora involucran espacios de dimensiones superiores (D5-branas en un espacio de nueve dimensiones, por ejemplo). No se aplican directamente al caso familiar, los agujeros negros de Schwarzschild observados en nuestro propio universo.
Las condiciones de contorno de Dirichlet y las D-branas tuvieron una larga "prehistoria" antes de que se reconociera su plena importancia. Una serie de artículos de 1975-76 de Bardeen, Bars, Hanson y Peccei trataron una propuesta concreta temprana de partículas interactuantes en los extremos de las cuerdas (quarks interactuando con tubos de flujo de QCD), con condiciones de contorno dinámicas para los puntos finales de las cuerdas donde las condiciones de Dirichlet eran dinámicas en lugar de estáticas. Las condiciones de contorno mixtas de Dirichlet/Neumann fueron consideradas por primera vez por Warren Siegel en 1976 como un medio para reducir la dimensión crítica de la teoría de cuerdas abierta de 26 o 10 a 4 (Siegel también cita un trabajo inédito de Halpern y un artículo de 1974 de Chodos y Thorn, pero una lectura de este último artículo muestra que en realidad se ocupa de los fondos de dilatación lineal, no de las condiciones de contorno de Dirichlet). Este artículo, aunque profético, fue poco conocido en su época (una parodia de Siegel de 1985, "The Super-g String", contiene una descripción casi exacta de los mundos brana). Las condiciones de Dirichlet para todas las coordenadas, incluido el tiempo euclidiano (que define lo que ahora se conoce como D-instantones), fueron introducidas por Michael Green en 1977 como un medio para introducir una estructura puntual en la teoría de cuerdas, en un intento de construir una teoría de cuerdas de la interacción fuerte . Las compactificaciones de cuerdas estudiadas por Harvey y Minahan, Ishibashi y Onogi, y Pradisi y Sagnotti en 1987-1989 también emplearon condiciones de contorno de Dirichlet.
En 1989, Dai, Leigh , Polchinski y Hořava descubrieron de forma independiente que la T-dualidad intercambia las condiciones de contorno habituales de Neumann con las condiciones de contorno de Dirichlet. Este resultado implica que dichas condiciones de contorno deben aparecer necesariamente en regiones del espacio de módulos de cualquier teoría de cuerdas abierta. El artículo de Dai et al. también señala que el lugar geométrico de las condiciones de contorno de Dirichlet es dinámico y acuña el término brana de Dirichlet (brana D) para el objeto resultante (este artículo también acuña el término orientifold para otro objeto que surge bajo la T-dualidad de cuerdas). Un artículo de 1989 de Leigh mostró que la dinámica de la brana D está gobernada por la acción de Dirac–Born–Infeld. Los D-instantones fueron estudiados extensamente por Green a principios de la década de 1990 y Polchinski demostró en 1994 que producen los efectos de cuerda no perturbativos e –1 ⁄ g anticipados por Shenker . En 1995, Polchinski demostró que las D-branas son las fuentes de los campos eléctricos y magnéticos de Ramond-Ramond que requiere la dualidad de cuerdas , [3] [ verificación fallida ] que condujo a un rápido progreso en la comprensión no perturbativa de la teoría de cuerdas.
