grupo unitario

Grupo de matrices unitarias

En matemáticas , el grupo unitario de grado n , denotado U( n ), es el grupo de matrices unitarias n  ×  n , con la operación grupal de multiplicación de matrices . El grupo unitario es un subgrupo del grupo lineal general GL( n , C ) . Grupo hiperortogonal es un nombre arcaico para el grupo unitario, especialmente sobre campos finitos . Para el grupo de matrices unitarias con determinante 1, véase Grupo unitario especial .

En el caso simple n = 1 , el grupo U(1) corresponde al grupo circular , que consta de todos los números complejos con valor absoluto 1, bajo multiplicación. Todos los grupos unitarios contienen copias de este grupo.

El grupo unitario U( n ) es un grupo de Lie real de dimensión n ² . El álgebra de Lie de U( n ) consta de n  ×  n matrices sesgadas-hermitianas , con el soporte de Lie dado por el conmutador .

El grupo unitario general (también llamado grupo de similitudes unitarias ) consta de todas las matrices A tales que A ^∗ A es un múltiplo distinto de cero de la matriz identidad , y es simplemente el producto del grupo unitario por el grupo de todos los múltiplos positivos de la matriz de identidad.

Propiedades

Dado que el determinante de una matriz unitaria es un número complejo con norma 1 , el determinante da un homomorfismo de grupo

${\displaystyle \det \colon \operatorname {U} (n)\to \operatorname {U} (1).}$

El núcleo de este homomorfismo es el conjunto de matrices unitarias con determinante 1 . Este subgrupo se llama grupo unitario especial , denotado SU( n ) . Luego tenemos una secuencia corta y exacta de grupos de Lie:

${\displaystyle 1\to \operatorname {SU} (n)\to \operatorname {U} (n)\to \operatorname {U} (1)\to 1.}$

El mapa anterior U( n ) a U(1) tiene una sección: podemos ver U(1) como el subgrupo de U( n ) que son diagonales con e ^iθ en la esquina superior izquierda y 1 en el resto de la diagonal. . Por lo tanto U( n ) es un producto semidirecto de U(1) con SU( n ) .

El grupo unitario U( n ) no es abeliano para n > 1 . El centro de U( n ) es el conjunto de matrices escalares λI con λ ∈ U(1) ; esto se sigue del lema de Schur . El centro es entonces isomorfo a U(1) . Dado que el centro de U( n ) es un subgrupo normal abeliano unidimensional de U( n ) , el grupo unitario no es semisimple , pero sí reductivo .

Topología

El grupo unitario U( n ) está dotado de la topología relativa como un subconjunto de M( n , C ) , el conjunto de todas las matrices complejas n × n , que es en sí mismo homeomorfo a un espacio euclidiano ^{bidimensional} de 2 n .

Como espacio topológico, U( n ) es compacto y conexo . Para demostrar que U( n ) es conexa, recuerde que cualquier matriz unitaria A puede ser diagonalizada por otra matriz unitaria S. Cualquier matriz unitaria diagonal debe tener números complejos de valor absoluto 1 en la diagonal principal. Por lo tanto podemos escribir

${\displaystyle A=S\,\operatorname {diag} \left(e^{i\theta _{1}},\dots ,e^{i\theta _{n}}\right)\,S^{-1}.}$

Un camino en U( n ) desde la identidad hasta A viene dado por

${\displaystyle t\mapsto S\,\operatorname {diag} \left(e^{it\theta _{1}},\dots ,e^{it\theta _{n}}\right)\,S^{-1}.}$

El grupo unitario no está simplemente conectado ; el grupo fundamental de U( n ) es cíclico infinito para todo n : ^[1]

${\displaystyle \pi _{1}(\operatorname {U} (n))\cong \mathbf {Z} .}$

Para ver esto, tenga en cuenta que la división anterior de U( n ) como un producto semidirecto de SU( n ) y U(1) induce una estructura de producto topológico en U( n ), de modo que

${\displaystyle \pi _{1}(\operatorname {U} (n))\cong \pi _{1}(\operatorname {SU} (n))\times \pi _{1}(\operatorname {U} (1)).}$

Ahora bien, el primer grupo unitario U(1) es topológicamente un círculo , que es bien conocido por tener un grupo fundamental isomorfo a Z , mientras que simplemente es conexo. ^[2] ${\displaystyle \operatorname {SU} (n)}$

El mapa determinante det: U( n ) → U(1) induce un isomorfismo de grupos fundamentales, y la división U(1) → U( n ) induce lo inverso.

El grupo Weyl de U( n ) es el grupo simétrico Sn _, que actúa sobre el toro diagonal permutando las entradas:

${\displaystyle \operatorname {diag} \left(e^{i\theta _{1}},\dots ,e^{i\theta _{n}}\right)\mapsto \operatorname {diag} \left(e^{i\theta _{\sigma (1)}},\dots ,e^{i\theta _{\sigma (n)}}\right)}$

Grupos relacionados

Propiedad 2 de 3

El grupo unitario es la intersección triple de los grupos ortogonal , complejo y simpléctico :

${\displaystyle \operatorname {U} (n)=\operatorname {O} (2n)\cap \operatorname {GL} (n,\mathbf {C} )\cap \operatorname {Sp} (2n,\mathbf {R} ).}$

Por lo tanto, una estructura unitaria puede verse como una estructura ortogonal, una estructura compleja y una estructura simpléctica, que deben ser compatibles ( lo que significa que se usa el mismo J en la estructura compleja y en la forma simpléctica, y que este J es ortogonal ). ; escribir todos los grupos como grupos matriciales fija una J (que es ortogonal) y garantiza la compatibilidad).

De hecho, es la intersección de dos de estos tres; por tanto, una estructura ortogonal y compleja compatible induce una estructura simpléctica, y así sucesivamente. ^{[3] [4]}

A nivel de ecuaciones, esto se puede ver de la siguiente manera:

${\displaystyle {\begin{array}{r|r}{\text{Symplectic}}&A^{\mathsf {T}}JA=J\\\hline {\text{Complex}}&A^{-1}JA=J\\\hline {\text{Orthogonal}}&A^{\mathsf {T}}=A^{-1}\end{array}}}$

Dos de estas ecuaciones implican la tercera.

En el nivel de las formas, esto se puede ver descomponiendo una forma hermitiana en sus partes real e imaginaria: la parte real es simétrica (ortogonal) y la parte imaginaria es simétrica sesgada (simpléctica), y ambas están relacionadas por el complejo estructura (que es la compatibilidad). En una variedad casi Kähler , se puede escribir esta descomposición como h = g + iω , donde h es la forma hermitiana, g es la métrica de Riemann , i es la estructura casi compleja y ω es la estructura casi simpléctica .

Desde el punto de vista de los grupos de Lie , esto se puede explicar en parte de la siguiente manera: O(2 n ) es el subgrupo compacto máximo de GL(2 n , R ) y U( n ) es el subgrupo compacto máximo de ambos GL( norte , C ) y Sp(2 norte ). Por lo tanto, la intersección O(2 n ) ∩ GL( n , C ) u O(2 n ) ∩ Sp(2 n ) es el subgrupo compacto máximo de ambos, por lo que U( n ). Desde esta perspectiva, lo inesperado es la intersección GL( n , C ) ∩ Sp(2 n ) = U( n ) .

Grupos unitarios especiales y proyectivos.

Así como el grupo ortogonal O( n ) tiene el grupo ortogonal especial SO( n ) como subgrupo y el grupo ortogonal proyectivo PO( n ) como cociente, y el grupo ortogonal especial proyectivo PSO( n ) como subcociente , el grupo unitario U( n ) tiene asociado el grupo unitario especial SU( n ), el grupo unitario especial proyectivo PU( n ), y el grupo unitario especial proyectivo PSU( n ). Estos están relacionados como en el diagrama conmutativo de la derecha; en particular, ambos grupos proyectivos son iguales: PSU( n ) = PU( n ) .

Lo anterior es para el grupo unitario clásico (sobre los números complejos); para grupos unitarios sobre campos finitos, se obtienen de manera similar grupos unitarios especiales y proyectivos, pero en general . ${\displaystyle \operatorname {PSU} \left(n,q^{2}\right)\neq \operatorname {PU} \left(n,q^{2}\right)}$

Estructura G: casi hermitiana

En el lenguaje de las estructuras G , una variedad con una estructura U( n ) es una variedad casi hermitiana .

Generalizaciones

Desde el punto de vista de la teoría de Lie , el grupo unitario clásico es una forma real del grupo de Steinberg , que es un grupo algebraico que surge de la combinación del automorfismo del diagrama del grupo lineal general (invirtiendo el diagrama de Dynkin An , _que corresponde a la transpuesta inversa) y el automorfismo de campo de la extensión C / R (es decir, conjugación compleja ). Ambos automorfismos son automorfismos del grupo algebraico, tienen orden 2 y conmutan, y el grupo unitario son los puntos fijos del automorfismo del producto, como grupo algebraico. El grupo unitario clásico es una forma real de este grupo, correspondiente a la forma hermitiana estándar Ψ, que es definida positiva. ${\displaystyle {}^{2}\!A_{n}}$

Esto se puede generalizar de varias maneras:

• generalizando a otras formas hermitianas se obtienen grupos unitarios indefinidos U( p , q ) ;
• la extensión del campo puede ser reemplazada por cualquier álgebra separable de grado 2, más notablemente una extensión de grado 2 de un campo finito;
• Al generalizar a otros diagramas se obtienen otros grupos de tipo Lie , es decir, los otros grupos de Steinberg (además de ) y los grupos de Suzuki-Ree. ${\displaystyle {}^{2}\!D_{n},{}^{2}\!E_{6},{}^{3}\!D_{4},}$ ${\displaystyle {}^{2}\!A_{n}}$

  ${\displaystyle {}^{2}\!B_{2}\left(2^{2n+1}\right),{}^{2}\!F_{4}\left(2^{2n+1}\right),{}^{2}\!G_{2}\left(3^{2n+1}\right);}$

• Considerando un grupo unitario generalizado como un grupo algebraico, se pueden tomar sus puntos en varias álgebras.

Formas indefinidas

De manera análoga a los grupos ortogonales indefinidos , se puede definir un grupo unitario indefinido , considerando las transformadas que conservan una forma hermitiana determinada, no necesariamente definida positiva (pero generalmente considerada no degenerada). Aquí se trabaja con un espacio vectorial sobre números complejos.

Dada una forma hermitiana Ψ en un espacio vectorial complejo V , el grupo unitario U(Ψ) es el grupo de transformadas que conservan la forma: la transformada M tal que Ψ( Mv , Mw ) = Ψ( v , w ) para todo v , w ∈ V . En términos de matrices, representando la forma mediante una matriz denotada Φ, esto dice que M ^∗ Φ M = Φ .

Al igual que las formas simétricas sobre los reales, las formas hermitianas están determinadas por la firma y todas son unitariamente congruentes con una forma diagonal con p entradas de 1 en la diagonal y q entradas de −1. El supuesto no degenerado es equivalente a p + q = n . De forma estándar, esto se representa en forma cuadrática como:

${\displaystyle \lVert z\rVert _{\Psi }^{2}=\lVert z_{1}\rVert ^{2}+\dots +\lVert z_{p}\rVert ^{2}-\lVert z_{p+1}\rVert ^{2}-\dots -\lVert z_{n}\rVert ^{2}}$

y como forma simétrica como:

${\displaystyle \Psi (w,z)={\bar {w}}_{1}z_{1}+\cdots +{\bar {w}}_{p}z_{p}-{\bar {w}}_{p+1}z_{p+1}-\cdots -{\bar {w}}_{n}z_{n}.}$

El grupo resultante se denota U( p , q ) .

campos finitos

Sobre el campo finito con q = p ^r elementos, F _q , hay un campo de extensión cuadrático único, F _{q ²} , con automorfismo de orden 2 (la r -ésima potencia del automorfismo de Frobenius ). Esto permite definir una forma hermitiana en un espacio vectorial F _{q ²} V , como un mapa F _q -bilineal tal que y para c ∈ F _{q ²} . ^{[ se necesita aclaración ]} Además, todas las formas hermitianas no degeneradas en un espacio vectorial sobre un campo finito son unitariamente congruentes con la estándar, representada por la matriz identidad; es decir, cualquier forma hermitiana es unitariamente equivalente a ${\displaystyle \alpha \colon x\mapsto x^{q}}$ ${\displaystyle \Psi \colon V\times V\to K}$ ${\displaystyle \Psi (w,v)=\alpha \left(\Psi (v,w)\right)}$ ${\displaystyle \Psi (w,cv)=c\Psi (w,v)}$

${\displaystyle \Psi (w,v)=w^{\alpha }\cdot v=\sum _{i=1}^{n}w_{i}^{q}v_{i}}$

donde representan las coordenadas de w , v ∈ V en alguna base F _{q ²} particular del espacio n -dimensional V (Grove 2002, Thm. 10.3). ${\displaystyle w_{i},v_{i}}$

Por lo tanto, se puede definir un grupo unitario (único) de dimensión n para la extensión F _{q ²} / F _q , denotado como U ( n , q ) o U ( n , q ² ) según el autor. El subgrupo del grupo unitario que consta de matrices del determinante 1 se denomina grupo unitario especial y se denota SU( n , q ) o SU( n , q ² ) . Por conveniencia, este artículo utilizará la convención U( n , q ² ) . El centro de U( n , q ² ) tiene orden q + 1 y está formado por las matrices escalares que son unitarias, es decir aquellas matrices cI _V con . El centro del grupo unitario especial tiene orden mcd( n , q + 1) y consta de aquellos escalares unitarios que también tienen orden de división de n . El cociente del grupo unitario especial por su centro se llama grupo unitario proyectivo , PU( n , q ² ) , y el cociente del grupo unitario especial por su centro es el grupo unitario especial proyectivo PSU( n , q ² ) . En la mayoría de los casos ( n > 1 y ( n , q ² ) ∉ {(2, 2 ² ), (2, 3 ² ), (3, 2 ² )} ), SU( n , q ² ) es un grupo perfecto y PSU( n , q ² ) es un grupo finito simple (Grove 2002, Thm. 11.22 y 11.26). ${\displaystyle c^{q+1}=1}$

Álgebras separables de grado 2

De manera más general, dado un campo k y una k -álgebra K separable de grado 2 (que puede ser una extensión de campo pero no tiene por qué serlo), se pueden definir grupos unitarios con respecto a esta extensión.

Primero, hay un k -automorfismo único de K que es una involución y fija exactamente k ( si y sólo si a ∈ k ). ^[5] Esto generaliza la conjugación compleja y la conjugación de extensiones de campos finitos de grado 2, y permite definir formas hermitianas y grupos unitarios como se indicó anteriormente. ${\displaystyle a\mapsto {\bar {a}}}$ ${\displaystyle a={\bar {a}}}$

Grupos algebraicos

Las ecuaciones que definen un grupo unitario son ecuaciones polinomiales sobre k (pero no sobre K ): para la forma estándar Φ = I , las ecuaciones se dan en matrices como A ^∗ A = I , donde es la transpuesta conjugada . Dadas una forma diferente, son A ^∗ Φ A = Φ . El grupo unitario es, por tanto, un grupo algebraico , cuyos puntos sobre una k -álgebra R están dados por: ${\displaystyle A^{*}={\bar {A}}^{\mathsf {T}}}$

${\displaystyle \operatorname {U} (n,K/k,\Phi )(R):=\left\{A\in \operatorname {GL} (n,K\otimes _{k}R):A^{*}\Phi A=\Phi \right\}.}$

Para la extensión de campo C / R y la forma hermitiana estándar (definida positiva), estos producen un grupo algebraico con puntos reales y complejos dados por:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {U} (n,\mathbf {C} /\mathbf {R} )(\mathbf {R} )&=\operatorname {U} (n)\\\operatorname {U} (n,\mathbf {C} /\mathbf {R} )(\mathbf {C} )&=\operatorname {GL} (n,\mathbf {C} ).\end{aligned}}}$

De hecho, el grupo unitario es un grupo algebraico lineal .

Grupo unitario de un módulo cuadrático.

El grupo unitario de un módulo cuadrático es una generalización del grupo algebraico lineal U recién definido, que incorpora como casos especiales muchos grupos algebraicos clásicos diferentes . La definición se remonta a la tesis de Anthony Bak. ^[6]

Para definirlo, primero hay que definir módulos cuadráticos:

Sea R un anillo con antiautomorfismo J , tal que para todo r en R y . Definir ${\displaystyle \varepsilon \in R^{\times }}$ ${\displaystyle r^{J^{2}}=\varepsilon r\varepsilon ^{-1}}$ ${\displaystyle \varepsilon ^{J}=\varepsilon ^{-1}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\Lambda _{\text{min}}&:=\left\{r\in R\ :\ r-r^{J}\varepsilon \right\},\\\Lambda _{\text{max}}&:=\left\{r\in R\ :\ r^{J}\varepsilon =-r\right\}.\end{aligned}}}$

Sea Λ ⊆ R un subgrupo aditivo de R , entonces Λ se llama parámetro de forma si y . Un par ( R , Λ) tal que R es un anillo y Λ un parámetro de forma se llama anillo de forma . ${\displaystyle \Lambda _{\text{min}}\subseteq \Lambda \subseteq \Lambda _{\text{max}}}$ ${\displaystyle r^{J}\Lambda r\subseteq \Lambda }$

Sea M un módulo R y f una forma J -sesquilineal en M (es decir, para cualquiera y ). Defina y , entonces se dice que f define la forma Λ-cuadrática ( h , q ) en M. Un módulo cuadrático sobre ( R , Λ) es un triple ( M , h , q ) tal que M es un módulo R y ( h , q ) es una forma cuadrática. ${\displaystyle f(xr,ys)=r^{J}f(x,y)s}$ ${\displaystyle x,y\in M}$ ${\displaystyle r,s\in R}$ ${\displaystyle h(x,y):=f(x,y)+f(y,x)^{J}\varepsilon \in R}$ ${\displaystyle q(x):=f(x,x)\in R/\Lambda }$

A cualquier módulo cuadrático ( M , h , q ) definido por una forma J -sesquilineal f en M sobre un anillo de forma ( R , Λ ) se puede asociar el grupo unitario

${\displaystyle U(M):=\{\sigma \in GL(M)\ :\ \forall x,y\in M,h(\sigma x,\sigma y)=h(x,y){\text{ and }}q(\sigma x)=q(x)\}.}$

El caso especial donde Λ = Λ _max , con J cualquier involución no trivial (es decir, y ε = −1 devuelve el grupo unitario "clásico" (como un grupo algebraico). ${\displaystyle J\neq id_{R},J^{2}=id_{R}}$

Invariantes polinomiales

Los grupos unitarios son los automorfismos de dos polinomios en variables reales no conmutativas:

${\displaystyle {\begin{aligned}C_{1}&=\left(u^{2}+v^{2}\right)+\left(w^{2}+x^{2}\right)+\left(y^{2}+z^{2}\right)+\ldots \\C_{2}&=\left(uv-vu\right)+\left(wx-xw\right)+\left(yz-zy\right)+\ldots \end{aligned}}}$

Se ve fácilmente que éstas son las partes real e imaginaria de la forma compleja . Los dos invariantes por separado son invariantes de O(2 n ) y Sp(2 n ). Combinados forman las invariantes de U( n ), que es un subgrupo de ambos grupos. Las variables deben ser no conmutativas en estos invariantes, de lo contrario el segundo polinomio es idénticamente cero. ${\displaystyle Z{\overline {Z}}}$

Clasificando el espacio

El espacio de clasificación para U( n ) se describe en el artículo Espacio de clasificación para U( n ) .

Ver también

• Grupo unitario especial
• Grupo unitario proyectivo
• grupo ortogonal
• grupo simpléctico

Notas

1. Propuesta 13.11 del Salón 2015
2. Propuesta 13.11 del Salón 2015
3. Arnold, VI (1989). Métodos matemáticos de la mecánica clásica (Segunda ed.). Saltador. pag. 225.
4. Báez, John. "Simpléctico, Cuaterniónico, Fermiónico" . Consultado el 1 de febrero de 2012 .
5. Milne, Grupos algebraicos y grupos aritméticos, p. 103
6. Bak, Anthony (1969), "Sobre módulos con formas cuadráticas", Teoría K algebraica y sus aplicaciones geométricas (editores: Moss RMF, Thomas CB) Lecture Notes in Mathematics, vol. 108, págs. 55-66, Springer. doi :10.1007/BFb0059990

Referencias

• Grove, Larry C. (2002), Grupos clásicos y álgebra geométrica , Estudios de Posgrado en Matemáticas , vol. 39, Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense , ISBN 978-0-8218-2019-3, señor  1859189
• Hall, Brian C. (2015), Grupos de mentiras, álgebras de mentiras y representaciones: una introducción elemental , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 222 (2ª ed.), Springer, ISBN 978-3319134666