Endomorfismo de Frobenius

En un anillo con característica principal p, el mapa eleva los elementos a la p-ésima potencia

En álgebra conmutativa y teoría de campos , el endomorfismo de Frobenius (después de Ferdinand Georg Frobenius ) es un endomorfismo especial de anillos conmutativos con característica prima p , una clase importante que incluye campos finitos . El endomorfismo asigna cada elemento a su p -ésima potencia. En determinados contextos se trata de un automorfismo , pero esto no es cierto en general.

Definición

Sea R un anillo conmutativo con característica prima p (un dominio integral de característica positiva siempre tiene característica prima, por ejemplo). El endomorfismo F de Frobenius se define por

${\displaystyle F(r)=r^{p}}$

para todo r en R . Respeta la multiplicación de R :

${\displaystyle F(rs)=(rs)^{p}=r^{p}s^{p}=F(r)F(s),}$

y F (1) es 1 también. Además, también respeta la adición de R. La expresión ( r + s ) ^p se puede ampliar usando el teorema del binomio . Como p es primo, divide a p ! pero no cualquier q ! para q < p ; por lo tanto dividirá el numerador , pero no el denominador , de la fórmula explícita de los coeficientes binomiales

${\displaystyle {\frac {p!}{k!(p-k)!}},}$

si 1 ≤ k ≤ p − 1 . Por lo tanto, los coeficientes de todos los términos excepto r ^p y s ^p son divisibles por p y, por tanto, desaparecen. ^[1] Así

${\displaystyle F(r+s)=(r+s)^{p}=r^{p}+s^{p}=F(r)+F(s).}$

Esto muestra que F es un homomorfismo de anillo .

Si φ  : R → S es un homomorfismo de anillos de característica p , entonces

${\displaystyle \varphi (x^{p})=\varphi (x)^{p}.}$

Si F _R y F _S son los endomorfismos de Frobenius de R y S , entonces esto se puede reescribir como:

${\displaystyle \varphi \circ F_{R}=F_{S}\circ \varphi .}$

Esto significa que el endomorfismo de Frobenius es una transformación natural del functor de identidad en la categoría de anillos p característicos a sí mismo.

Si el anillo R es un anillo sin elementos nilpotentes , entonces el endomorfismo de Frobenius es inyectivo : F ( r ) = 0 significa r ^p = 0 , lo que por definición significa que r es nilpotente de orden como máximo p . De hecho, esto es necesario y suficiente, porque si r es cualquier nilpotente, entonces una de sus potencias será nilpotente de orden como máximo p . En particular, si R es un campo entonces el endomorfismo de Frobenius es inyectivo.

El morfismo de Frobenius no es necesariamente sobreyectivo , incluso cuando R es un campo. Por ejemplo, sea K = F _p ( t ) el campo finito de p elementos junto con un único elemento trascendental ; de manera equivalente, K es el campo de funciones racionales con coeficientes en F _p . Entonces la imagen de F no contiene t . Si así fuera, entonces habría una función racional q ( t )/ r ( t ) cuya p -ésima potencia q ( t ) ^p / r ( t ) ^p sería igual a t . Pero el grado de esta p -ésima potencia (la diferencia entre los grados de su numerador y denominador) es p deg( q ) − p deg( r ) , que es un múltiplo de p . En particular, no puede ser 1, que es el grado de t . Esto es una contradicción; entonces t no está en la imagen de F .

Un campo K se llama perfecto si es de característica cero o de característica positiva y su endomorfismo de Frobenius es un automorfismo. Por ejemplo, todos los cuerpos finitos son perfectos.

Puntos fijos del endomorfismo de Frobenius

Considere el campo finito F _p . Según el pequeño teorema de Fermat , todo elemento x de F _p satisface x ^p = x . De manera equivalente, es una raíz del polinomio X ^p − X . Por lo tanto, los elementos de F _p determinan p raíces de esta ecuación, y debido a que esta ecuación tiene grado p , no tiene más de p raíces en cualquier extensión . En particular, si K es una extensión algebraica de F _p (como la clausura algebraica u otro cuerpo finito), entonces F p _es el campo fijo del automorfismo de Frobenius de K.

Sea R un anillo de característica p > 0 . Si R es un dominio integral, entonces, por el mismo razonamiento, los puntos fijos de Frobenius son los elementos del campo primo. Sin embargo, si R no es un dominio, entonces X ^p − X puede tener más de p raíces; por ejemplo, esto sucede si R = F _p × F _p .

La enésima iteración del automorfismo de Frobenius disfruta de una propiedad similar en el campo finito : cada elemento de es una raíz de , por lo que si K es una extensión algebraica de y F es el automorfismo de Frobenius de K , entonces el campo fijo de F ⁿ es . Si R es un dominio que es un -álgebra, entonces los puntos fijos del enésimo iterado de Frobenius son los elementos de la imagen de . ${\displaystyle \mathbf {F} _{p^{n}}}$ ${\displaystyle \mathbf {F} _{p^{n}}}$ ${\displaystyle X^{p^{n}}-X}$ ${\displaystyle \mathbf {F} _{p^{n}}}$ ${\displaystyle \mathbf {F} _{p^{n}}}$ ${\displaystyle \mathbf {F} _{p^{n}}}$ ${\displaystyle \mathbf {F} _{p^{n}}}$

La iteración del mapa de Frobenius da una secuencia de elementos en R :

${\displaystyle x,x^{p},x^{p^{2}},x^{p^{3}},\ldots .}$

Esta secuencia de iteraciones se utiliza para definir el cierre de Frobenius y el cierre ajustado de un ideal.

Como generador de grupos de Galois

El grupo de Galois de una extensión de campos finitos se genera mediante una iteración del automorfismo de Frobenius. Primero, considere el caso donde el campo terrestre es el campo primo F _p . Sea F _q el campo finito de q elementos, donde q = p ⁿ . El automorfismo de Frobenius F de F _q fija el campo primo F _p , por lo que es un elemento del grupo de Galois Gal( F _q / F _p ) . De hecho, como es cíclico con q − 1 elementos , sabemos que el grupo de Galois es cíclico y F es generador. El orden de F es n porque F ^j actúa sobre un elemento x enviándolo a x ^{p j} , y solo puede tener muchas raíces, ya que estamos en un campo. Cada automorfismo de F _q es una potencia de F , y los generadores son las potencias F ⁱ con i coprimo a n . ${\displaystyle \mathbf {F} _{q}^{\times }}$ ${\displaystyle x^{p^{j}}=x}$ ${\displaystyle p^{j}}$

Ahora considere el campo finito F _{q ^f} como una extensión de F _q , donde q = p ⁿ como arriba. Si n > 1 , entonces el automorfismo de Frobenius F de F _{q ^f} no fija el campo fundamental F _q , pero su enésima iteración F ⁿ sí. El grupo de Galois Gal( F _{q ^f}  / F _q ) es cíclico de orden f y es generado por F ⁿ . Es el subgrupo de Gal( F _{q ^f}  / F _p ) generado por F ⁿ . Los generadores de Gal( F _{q ^f}  / F _q ) son las potencias F ⁿⁱ donde i es coprimo de f .

El automorfismo de Frobenius no es un generador del grupo absoluto de Galois

${\displaystyle \operatorname {Gal} \left({\overline {\mathbf {F} _{q}}}/\mathbf {F} _{q}\right),}$

porque este grupo de Galois es isomorfo a los enteros finitos

${\displaystyle {\widehat {\mathbf {Z} }}=\varprojlim _{n}\mathbf {Z} /n\mathbf {Z} ,}$

que no son cíclicos. Sin embargo, debido a que el automorfismo de Frobenius es un generador del grupo de Galois de cada extensión finita de F _q , es un generador de cada cociente finito del grupo absoluto de Galois. En consecuencia, es un generador topológico en la topología habitual de Krull en el grupo absoluto de Galois.

Frobenius para esquemas

Hay varias formas diferentes de definir el morfismo de Frobenius para un esquema . El más fundamental es el morfismo absoluto de Frobenius. Sin embargo, el morfismo absoluto de Frobenius se comporta mal en la situación relativa porque no presta atención al esquema base. Hay varias formas diferentes de adaptar el morfismo de Frobenius a la situación relativa, cada una de las cuales es útil en determinadas situaciones.

Sea φ : X → S un morfismo de esquemas, y denotemos los morfismos absolutos de Frobenius de S y X por F _S y F _X , respectivamente. Defina X ^{( p )} como el cambio de base de X por F _S. Entonces el diagrama anterior conmuta y el cuadrado es cartesiano . El morfismo F _{X / S} es relativo de Frobenius.

El morfismo absoluto de Frobenius

Supongamos que X es un esquema de característica p > 0 . Elija un subconjunto afín abierto U = Spec A de X . El anillo A es un F _p -álgebra, por lo que admite un endomorfismo de Frobenius. Si V es un subconjunto afín abierto de U , entonces por la naturalidad de Frobenius, el morfismo de Frobenius en U , cuando se restringe a V , es el morfismo de Frobenius en V. En consecuencia, el morfismo de Frobenius se pega para dar un endomorfismo de X. Este endomorfismo se llama morfismo absoluto de Frobenius de X , denotado F _X. Por definición, es un homeomorfismo de X consigo mismo. El morfismo absoluto de Frobenius es una transformación natural del functor de identidad en la categoría de F _p -esquemas a sí mismo.

Si X es un S -esquema y el morfismo de Frobenius de S es la identidad, entonces el morfismo absoluto de Frobenius es un morfismo de S -esquemas. Sin embargo, en general no lo es. Por ejemplo, considere el anillo . Sean X y S iguales a la especificación A , siendo el mapa de estructura X → S la identidad. ^{El morfismo de} Frobenius en A envía a a p . No es un morfismo de -álgebras. Si así fuera, entonces multiplicar por un elemento b in conmutaría con la aplicación del endomorfismo de Frobenius. Pero esto no es cierto porque: ${\displaystyle A=\mathbf {F} _{p^{2}}}$ ${\displaystyle \mathbf {F} _{p^{2}}}$ ${\displaystyle \mathbf {F} _{p^{2}}}$

${\displaystyle b\cdot a=ba\neq F(b)\cdot a=b^{p}a.}$

La primera es la acción de b en la estructura de álgebra con la que comienza A , y la segunda es la acción de inducida por Frobenius. En consecuencia, el morfismo de Frobenius en la especificación A no es un morfismo de esquemas. ${\displaystyle \mathbf {F} _{p^{2}}}$ ${\displaystyle \mathbf {F} _{p^{2}}}$ ${\displaystyle \mathbf {F} _{p^{2}}}$

El morfismo absoluto de Frobenius es un morfismo puramente inseparable de grado p . Su diferencial es cero. Preserva los productos, lo que significa que para dos esquemas cualesquiera X e Y , F _{X × Y} = F _X × F _Y.

Restricción y extensión de escalares por Frobenius

Supongamos que φ  : X → S es el morfismo de estructura para un S -esquema X . El esquema base S tiene un morfismo de Frobenius F _S . Componer φ con F _S da como resultado un esquema S X _F llamado restricción de escalares por Frobenius . La restricción de escalares es en realidad un functor, porque un S -morfismo X → Y induce un S -morfismo X _F → Y _F .

Por ejemplo, considere un anillo A de característica p > 0 y un álgebra presentada finitamente sobre A :

${\displaystyle R=A[X_{1},\ldots ,X_{n}]/(f_{1},\ldots ,f_{m}).}$

La acción de A sobre R viene dada por:

${\displaystyle c\cdot \sum a_{\alpha }X^{\alpha }=\sum ca_{\alpha }X^{\alpha },}$

donde α es un índice múltiple. Sea X = Espec . R. Entonces X _F es el esquema afín Spec R , pero su morfismo estructural Spec R → Spec A , y por tanto la acción de A sobre R , es diferente:

${\displaystyle c\cdot \sum a_{\alpha }X^{\alpha }=\sum F(c)a_{\alpha }X^{\alpha }=\sum c^{p}a_{\alpha }X^{\alpha }.}$

Debido a que la restricción de escalares por parte de Frobenius es simplemente composición, muchas propiedades de X son heredadas por X _F bajo hipótesis apropiadas sobre el morfismo de Frobenius. Por ejemplo, si X y SF son ambos de tipo finito, entonces X _{F también lo} es .

La extensión de los escalares por Frobenius se define como:

${\displaystyle X^{(p)}=X\times _{S}S_{F}.}$

La proyección sobre el factor S convierte a X ^{( p )} en un esquema S. Si S no queda claro en el contexto, entonces X ^{( p )} se denota por X ^{( p / S )} . Al igual que la restricción de escalares, la extensión de escalares es un funtor: un S -morfismo X → Y determina un S -morfismo X ^{( p )} → Y ^{( p )} .

Como antes, considere un anillo A y un álgebra presentada finitamente R sobre A , y nuevamente sea X = Spec R. Entonces:

${\displaystyle X^{(p)}=\operatorname {Spec} R\otimes _{A}A_{F}.}$

Una sección global de X ^{( p )} es de la forma:

${\displaystyle \sum _{i}\left(\sum _{\alpha }a_{i\alpha }X^{\alpha }\right)\otimes b_{i}=\sum _{i}\sum _{\alpha }X^{\alpha }\otimes a_{i\alpha }^{p}b_{i},}$

donde α es un índice múltiple y cada a _iα y b _i es un elemento de A . La acción de un elemento c de A sobre esta sección es:

${\displaystyle c\cdot \sum _{i}\left(\sum _{\alpha }a_{i\alpha }X^{\alpha }\right)\otimes b_{i}=\sum _{i}\left(\sum _{\alpha }a_{i\alpha }X^{\alpha }\right)\otimes b_{i}c.}$

En consecuencia, X ^{( p )} es isomorfo a:

${\displaystyle \operatorname {Spec} A[X_{1},\ldots ,X_{n}]/\left(f_{1}^{(p)},\ldots ,f_{m}^{(p)}\right),}$

donde, si:

${\displaystyle f_{j}=\sum _{\beta }f_{j\beta }X^{\beta },}$

entonces:

${\displaystyle f_{j}^{(p)}=\sum _{\beta }f_{j\beta }^{p}X^{\beta }.}$

Una descripción similar es válida para A -álgebras R arbitrarias .

Debido a que la extensión de escalares es un cambio de base, preserva límites y coproductos. Esto implica en particular que si X tiene una estructura algebraica definida en términos de límites finitos (como ser un esquema de grupo), entonces X ^{( p )} también la tiene . Además, ser un cambio de base significa que la extensión de los escalares conserva propiedades como ser de tipo finito, presentación finita, separados, afines, etc.

La extensión de escalares se comporta bien con respecto al cambio de base: dado un morfismo S ′ → S , existe un isomorfismo natural:

${\displaystyle X^{(p/S)}\times _{S}S'\cong (X\times _{S}S')^{(p/S')}.}$

Frobenius relativo

Sea X un esquema S con morfismo estructural φ . El morfismo relativo de Frobenius de X es el morfismo:

${\displaystyle F_{X/S}:X\to X^{(p)}}$

definido por la propiedad universal del retroceso X ^{( p )} (ver el diagrama de arriba):

${\displaystyle F_{X/S}=(F_{X},\varphi ).}$

Debido a que el morfismo absoluto de Frobenius es natural, el morfismo relativo de Frobenius es un morfismo de S -esquemas.

Consideremos, por ejemplo, el álgebra A :

${\displaystyle R=A[X_{1},\ldots ,X_{n}]/(f_{1},\ldots ,f_{m}).}$

Tenemos:

${\displaystyle R^{(p)}=A[X_{1},\ldots ,X_{n}]/(f_{1}^{(p)},\ldots ,f_{m}^{(p)}).}$

El morfismo relativo de Frobenius es el homomorfismo R ^{( p )} → R definido por:

${\displaystyle \sum _{i}\sum _{\alpha }X^{\alpha }\otimes a_{i\alpha }\mapsto \sum _{i}\sum _{\alpha }a_{i\alpha }X^{p\alpha }.}$

Frobenius relativo es compatible con el cambio de base en el sentido de que, bajo el isomorfismo natural de X ^{( p / S )} × _S S ′ y ( X × _S S ′ ) ^{( p / S ′ )} , tenemos:

${\displaystyle F_{X/S}\times 1_{S'}=F_{X\times _{S}S'/S'}.}$

Frobenius relativo es un homeomorfismo universal. Si X → S es una inmersión abierta, entonces es la identidad. Si X → S es una inmersión cerrada determinada por un haz ideal I de O _S , entonces X ^{( p )} está determinado por el haz ideal I ^p y Frobenius relativo es el mapa de aumento O _S / I ^p → O _S / I .

X no está ramificado sobre S si y solo si F _{X / S} no está ramificado y si y solo si F _{X / S} es un monomorfismo. X es étale sobre S si y sólo si F _{X / S} es étale y si y sólo si F _{X / S} es un isomorfismo.

Frobenius aritmética

El morfismo aritmético de Frobenius de un esquema S X es un morfismo:

${\displaystyle F_{X/S}^{a}:X^{(p)}\to X\times _{S}S\cong X}$

definido por:

${\displaystyle F_{X/S}^{a}=1_{X}\times F_{S}.}$

Es decir, es el cambio de base de F _S por 1 _X .

De nuevo, si:

${\displaystyle R=A[X_{1},\ldots ,X_{n}]/(f_{1},\ldots ,f_{m}),}$

${\displaystyle R^{(p)}=A[X_{1},\ldots ,X_{n}]/(f_{1},\ldots ,f_{m})\otimes _{A}A_{F},}$

entonces la aritmética de Frobenius es el homomorfismo:

${\displaystyle \sum _{i}\left(\sum _{\alpha }a_{i\alpha }X^{\alpha }\right)\otimes b_{i}\mapsto \sum _{i}\sum _{\alpha }a_{i\alpha }b_{i}^{p}X^{\alpha }.}$

Si reescribimos R ^{( p )} como:

${\displaystyle R^{(p)}=A[X_{1},\ldots ,X_{n}]/\left(f_{1}^{(p)},\ldots ,f_{m}^{(p)}\right),}$

entonces este homomorfismo es:

${\displaystyle \sum a_{\alpha }X^{\alpha }\mapsto \sum a_{\alpha }^{p}X^{\alpha }.}$

Frobenius geométrico

Supongamos que el morfismo absoluto de Frobenius de S es invertible con inversa . Denotemos el esquema S.​ Entonces hay una extensión de escalares de X por : ${\displaystyle F_{S}^{-1}}$ ${\displaystyle S_{F^{-1}}}$ ${\displaystyle F_{S}^{-1}:S\to S}$ ${\displaystyle F_{S}^{-1}}$

${\displaystyle X^{(1/p)}=X\times _{S}S_{F^{-1}}.}$

Si:

${\displaystyle R=A[X_{1},\ldots ,X_{n}]/(f_{1},\ldots ,f_{m}),}$

luego extendiendo escalares da : ${\displaystyle F_{S}^{-1}}$

${\displaystyle R^{(1/p)}=A[X_{1},\ldots ,X_{n}]/(f_{1},\ldots ,f_{m})\otimes _{A}A_{F^{-1}}.}$

Si:

${\displaystyle f_{j}=\sum _{\beta }f_{j\beta }X^{\beta },}$

luego escribimos:

${\displaystyle f_{j}^{(1/p)}=\sum _{\beta }f_{j\beta }^{1/p}X^{\beta },}$

y luego hay un isomorfismo:

${\displaystyle R^{(1/p)}\cong A[X_{1},\ldots ,X_{n}]/(f_{1}^{(1/p)},\ldots ,f_{m}^{(1/p)}).}$

El morfismo geométrico de Frobenius de un esquema S X es un morfismo:

${\displaystyle F_{X/S}^{g}:X^{(1/p)}\to X\times _{S}S\cong X}$

definido por:

${\displaystyle F_{X/S}^{g}=1_{X}\times F_{S}^{-1}.}$

Es el cambio de base de por 1 _X . ${\displaystyle F_{S}^{-1}}$

Continuando con nuestro ejemplo anterior de A y R , Frobenius geométrico se define como:

${\displaystyle \sum _{i}\left(\sum _{\alpha }a_{i\alpha }X^{\alpha }\right)\otimes b_{i}\mapsto \sum _{i}\sum _{\alpha }a_{i\alpha }b_{i}^{1/p}X^{\alpha }.}$

Después de reescribir R ^{(1/ p )} en términos de , Frobenius geométrico es: ${\displaystyle \{f_{j}^{(1/p)}\}}$

${\displaystyle \sum a_{\alpha }X^{\alpha }\mapsto \sum a_{\alpha }^{1/p}X^{\alpha }.}$

Frobenius aritmética y geométrica como acciones de Galois

Supongamos que el morfismo de Frobenius de S es un isomorfismo. Luego genera un subgrupo del grupo de automorfismos de S . Si S = Spec k es el espectro de un campo finito, entonces su grupo de automorfismo es el grupo de Galois del campo sobre el campo principal, y el morfismo de Frobenius y su inverso son ambos generadores del grupo de automorfismo. Además, X ^{( p )} y X ( ^{1/ p )} pueden identificarse con X. Los morfismos aritméticos y geométricos de Frobenius son entonces endomorfismos de X , por lo que conducen a una acción del grupo de Galois de k sobre X.

Considere el conjunto de K puntos X ( K ) . Este conjunto viene con una acción de Galois: cada uno de esos puntos x corresponde a un homomorfismo O _X → K de la estructura de haz a K , que factoriza a través de k(x) , el campo residual en x , y la acción de Frobenius sobre x es la Aplicación del morfismo de Frobenius al campo de residuos. Esta acción de Galois concuerda con la acción aritmética de Frobenius: el morfismo compuesto

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}\to k(x){\xrightarrow {\overset {}{F}}}k(x)}$

es lo mismo que el morfismo compuesto:

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}{\xrightarrow {{\overset {}{F}}_{X/S}^{a}}}{\mathcal {O}}_{X}\to k(x)}$

por la definición de la aritmética Frobenius. En consecuencia, la aritmética Frobenius exhibe explícitamente la acción del grupo de Galois sobre puntos como un endomorfismo de X.

Frobenius para los campos locales

Dada una extensión finita no ramificada L/K de campos locales , existe un concepto de endomorfismo de Frobenius que induce el endomorfismo de Frobenius en la correspondiente extensión de campos residuales . ^[2]

Supongamos que L/K es una extensión no ramificada de campos locales, con un anillo de números enteros O _K de K tal que el campo residual, los números enteros de K módulo su único ideal máximo φ , es un campo finito de orden q , donde q es una potencia de un primo. Si Φ es un primo de L que se encuentra sobre φ , que L/K no esté ramificado significa, por definición, que los números enteros de L módulo Φ , el campo residual de L , será un campo finito de orden q ^f que extiende el campo residual de K donde f es el grado de L / K . Podemos definir el mapa de Frobenius para elementos del anillo de números enteros O _L de L como un automorfismo s _Φ de L tal que

${\displaystyle s_{\Phi }(x)\equiv x^{q}\mod \Phi .}$

Frobenius para campos globales

En teoría algebraica de números , los elementos de Frobenius se definen para extensiones L / K de campos globales que son extensiones finitas de Galois para ideales primos Φ de L que no están ramificados en L / K . Dado que la extensión no está ramificada, el grupo de descomposición de Φ es el grupo de Galois de la extensión de los campos de residuos. El elemento de Frobenius entonces puede definirse para elementos del anillo de números enteros de L como en el caso local, por

${\displaystyle s_{\Phi }(x)\equiv x^{q}\mod \Phi ,}$

donde q es el orden del campo residual O _K /(Φ ∩ O _K ) .

Las elevaciones del Frobenius se corresponden con las derivaciones p .

Ejemplos

El polinomio

x ⁵ - x - 1

tiene discriminante

19×151 ,

y por eso no está ramificado en el número 3 principal; también es irreducible mod 3. Por lo tanto, al unir una raíz ρ al campo de 3 números ádicos Q ₃ se obtiene una extensión no ramificada Q ₃ ( ρ ) de Q ₃ . Podemos encontrar la imagen de ρ bajo el mapa de Frobenius ubicando la raíz más cercana a ρ ³ , lo cual podemos hacer mediante el método de Newton . Obtenemos un elemento del anillo de números enteros Z ₃ [ ρ ] de esta forma; este es un polinomio de grado cuatro en ρ con coeficientes en los enteros 3 -ádicos Z ₃ . Módulo 3 ⁸ este polinomio es

${\displaystyle \rho ^{3}+3(460+183\rho -354\rho ^{2}-979\rho ^{3}-575\rho ^{4})}$.

Esto es algebraico sobre Q y es la imagen global correcta de Frobenius en términos de la incorporación de Q en Q ₃ ; además, los coeficientes son algebraicos y el resultado se puede expresar algebraicamente. Sin embargo, son de grado 120, el orden del grupo de Galois, lo que ilustra el hecho de que los cálculos explícitos se realizan mucho más fácilmente si los resultados p -ádicos son suficientes.

Si L/K es una extensión abeliana de campos globales, obtenemos una congruencia mucho más fuerte ya que depende sólo del primo φ en el campo base K. Por ejemplo, considere la extensión Q ( β ) de Q obtenida al unir una raíz β que satisface

${\displaystyle \beta ^{5}+\beta ^{4}-4\beta ^{3}-3\beta ^{2}+3\beta +1=0}$

a Q.​ Esta extensión es cíclica de orden cinco, con raíces

${\displaystyle 2\cos {\tfrac {2\pi n}{11}}}$

para el número entero n . Tiene raíces que son polinomios de Chebyshev de β :

β ² − 2, β ³ − 3 β , β ⁵ − 5 β ³ + 5 β

dé el resultado del mapa de Frobenius para los números primos 2, 3 y 5, y así sucesivamente para números primos más grandes no iguales a 11 o de la forma 22 n + 1 (que se dividen). Es inmediatamente evidente cómo el mapa de Frobenius da un resultado igual mod p a la p -ésima potencia de la raíz β .

Ver también

• campo perfecto
• Frobenioide
• Campo finito § Automorfismo de Frobenius y teoría de Galois
• Homeomorfismo universal

Referencias

1. Esto se conoce como el sueño del estudiante de primer año .
2. Fröhlich, A .; Taylor, MJ (1991). Teoría algebraica de números . Estudios de Cambridge en matemáticas avanzadas. vol. 27. Prensa de la Universidad de Cambridge . pag. 144.ISBN​ 0-521-36664-X. Zbl  0744.11001.

• "Automorfismo de Frobenius", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• "Endomorfismo de Frobenius", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]