Ferdinand Georg Frobenius (26 de octubre de 1849 - 3 de agosto de 1917) fue un matemático alemán , mejor conocido por sus contribuciones a la teoría de funciones elípticas , ecuaciones diferenciales , teoría de números y teoría de grupos . Es conocido por las famosas identidades determinantes, conocidas como fórmulas de Frobenius-Stickelberger, que gobiernan funciones elípticas, y por desarrollar la teoría de las formas bicuadráticas. También fue el primero en introducir la noción de aproximaciones racionales de funciones (hoy conocidas como aproximantes de Padé ) y dio la primera prueba completa del teorema de Cayley-Hamilton . También prestó su nombre a ciertos objetos de geometría diferencial en la física matemática moderna , conocidos como variedades de Frobenius .
Ferdinand Georg Frobenius nació el 26 de octubre de 1849 en Charlottenburg , un suburbio de Berlín , [1] de padres Christian Ferdinand Frobenius, un párroco protestante , y Christine Elizabeth Friedrich. Ingresó al Gimnasio Joachimsthal en 1860 cuando tenía casi once años. [2] En 1867, después de graduarse, fue a la Universidad de Göttingen donde comenzó sus estudios universitarios, pero solo estudió allí durante un semestre antes de regresar a Berlín, donde asistió a conferencias de Kronecker , Kummer y Karl Weierstrass . Recibió su doctorado (con distinción) en 1870 bajo la supervisión de Weierstrass. Su tesis versó sobre la solución de ecuaciones diferenciales. En 1874, después de haber enseñado en la escuela secundaria, primero en el Joachimsthal Gymnasium y luego en la Sophienrealschule, fue nombrado profesor extraordinario de matemáticas en la Universidad de Berlín. [2] Frobenius estuvo sólo un año en Berlín antes de viajar a Zúrich para ocupar un puesto como profesor ordinario en el Eidgenössische Polytechnikum . Durante diecisiete años, entre 1875 y 1892, Frobenius trabajó en Zúrich. Fue allí donde se casó, crió a su familia e hizo un trabajo muy importante en áreas muy diferentes de las matemáticas. En los últimos días de diciembre de 1891 Kronecker murió y, por tanto, su silla en Berlín quedó vacante. Weierstrass, convencido de que Frobenius era la persona adecuada para mantener a Berlín a la vanguardia de las matemáticas, utilizó su considerable influencia para nombrar a Frobenius. En 1893 regresó a Berlín, donde fue elegido miembro de la Academia de Ciencias de Prusia .
La teoría de grupos fue uno de los principales intereses de Frobenius en la segunda mitad de su carrera. Una de sus primeras contribuciones fue la demostración de los teoremas de Sylow para grupos abstractos. Las pruebas anteriores habían sido para grupos de permutación . Su demostración del primer teorema de Sylow (sobre la existencia de grupos de Sylow) es una de las que se utilizan con frecuencia en la actualidad.
Más importante fue su creación de la teoría de los personajes grupales y las representaciones grupales , que son herramientas fundamentales para estudiar la estructura de los grupos. Este trabajo condujo a la noción de reciprocidad de Frobenius y a la definición de lo que ahora se denominan grupos de Frobenius . Se dice que un grupo G es un grupo de Frobenius si hay un subgrupo H < G tal que
En ese caso, el conjunto
junto con el elemento identidad de G forma un subgrupo que es nilpotente como demostró John G. Thompson en 1959. [4] Todas las demostraciones conocidas de ese teorema utilizan caracteres. En su primer artículo sobre caracteres (1896), Frobenius construyó la tabla de caracteres del grupo de orden (1/2)( p 3 − p) para todos los primos impares p (este grupo es simple siempre que p > 3). También hizo contribuciones fundamentales a la teoría de la representación de los grupos simétricos y alternos .
Frobenius introdujo una forma canónica de convertir números primos en clases de conjugación en grupos de Galois sobre Q. Específicamente, si K / Q es una extensión finita de Galois, entonces para cada p primo (positivo) que no se ramifica en K y para cada ideal primo P que se encuentra sobre p en K hay un elemento único g de Gal ( K / Q ) que satisface la condición g ( x ) = x p (mod P ) para todos los números enteros x de K . Variar P sobre p convierte g en un conjugado (y cada conjugado de g ocurre de esta manera), por lo que la clase de conjugación de g en el grupo de Galois está canónicamente asociada a p . Esto se llama clase de conjugación de Frobenius de p y cualquier elemento de la clase de conjugación se llama elemento de Frobenius de p . Si tomamos para K el m -ésimo campo ciclotómico , cuyo grupo de Galois sobre Q son las unidades módulo m (y por lo tanto es abeliano, por lo que las clases de conjugación se convierten en elementos), entonces para p que no divide a m, la clase de Frobenius en el grupo de Galois es p mod m . Desde este punto de vista, la distribución de las clases de conjugación de Frobenius en grupos de Galois sobre Q (o, más generalmente, grupos de Galois sobre cualquier campo numérico) generaliza el resultado clásico de Dirichlet sobre los primos en progresiones aritméticas. El estudio de los grupos de Galois de extensiones de grados infinitos de Q depende crucialmente de esta construcción de elementos de Frobenius, que proporciona en cierto sentido un subconjunto denso de elementos que son accesibles a un estudio detallado.
