En matemáticas , el grupo unitario proyectivo PU( n ) es el cociente del grupo unitario U( n ) por la multiplicación derecha de su centro , U(1) , incrustados como escalares. De manera abstracta, es el grupo de isometría holomorfa del espacio proyectivo complejo , así como el grupo ortogonal proyectivo es el grupo de isometría del espacio proyectivo real .
En términos de matrices , los elementos de U( n ) son matrices unitarias complejas de n × n , y los elementos del centro son matrices diagonales iguales a e i θ I , donde I es la matriz identidad. Así, los elementos de PU( n ) corresponden a clases de equivalencia de matrices unitarias bajo multiplicación por una fase constante θ . Este espacio no es SU( n ) (que solo requiere que el determinante sea uno), porque SU( n ) todavía contiene elementos e i θ I donde e i θ es una n -ésima raíz de la unidad (desde entonces det(e i θ I ) = e i θn = 1 ).
De manera abstracta, dado un espacio hermitiano V , el grupo PU( V ) es la imagen del grupo unitario U( V ) en el grupo de automorfismos del espacio proyectivo P ( V ) .
El grupo unitario especial proyectivo PSU( n ) es igual al grupo unitario proyectivo, a diferencia del caso ortogonal.
Las conexiones entre U ( n ), SU( n ), sus centros y los grupos unitarios proyectivos se muestran en la figura de la derecha (observe que en la figura se indican los números enteros en lugar de ).
El centro del grupo unitario especial son las matrices escalares de la n- ésima raíz de la unidad:
El mapa natural
es un isomorfismo, según el segundo teorema del isomorfismo , por lo tanto
y el grupo unitario especial SU( n ) es una cobertura n veces del grupo unitario proyectivo.
En n = 1, U(1) es abeliano y por tanto es igual a su centro. Por lo tanto PU(1) = U(1)/U(1) es un grupo trivial .
En n = 2, siendo todos representables mediante cuaterniones de norma unitaria, y mediante:
También se pueden definir grupos unitarios sobre campos finitos: dado un campo de orden q , hay una estructura hermitiana no degenerada en espacios vectoriales sobre congruencia única hasta unitaria y, correspondientemente, un grupo matricial denotado o y también grupos unitarios especiales y proyectivos. Por conveniencia, este artículo utiliza la convención.
Recuerde que el grupo de unidades de un campo finito es cíclico , por lo que el grupo de unidades de y por lo tanto el grupo de matrices escalares invertibles en es el grupo cíclico de orden. El centro de tiene orden q + 1 y consta de las matrices escalares que son unitario, es decir, aquellas matrices con El centro del grupo unitario especial tiene orden mcd( n , q + 1) y consta de aquellos escalares unitarios que también tienen orden de división de n .
El cociente del grupo unitario por su centro es el grupo unitario especial proyectivo , y el cociente del grupo unitario especial por su centro es el grupo unitario especial proyectivo En la mayoría de los casos ( n ≥ 2 y ), es un grupo perfecto y es finito grupo simple , (Grove 2002, Thm. 11.22 y 11.26).
La misma construcción se puede aplicar a matrices que actúan sobre un espacio de Hilbert de dimensión infinita .
Sea U( H ) el espacio de operadores unitarios en un espacio de Hilbert de dimensión infinita. Cuando f : X → U( H ) es un mapeo continuo de un espacio compacto X en el grupo unitario, se puede usar una aproximación de dimensión finita de su imagen y un simple truco de teoría K
para mostrar que en realidad es homotópico del mapa trivial en un solo punto. Esto significa que U( H ) es débilmente contráctil y un argumento adicional muestra que en realidad es contráctil. Tenga en cuenta que este es un fenómeno de dimensión puramente infinita, en contraste con los primos de dimensión finita U( n ) y su límite U(∞) bajo los mapas de inclusión que no son contráctiles admitiendo mapeos continuos homotópicos no triviales sobre U(1) dados por determinante de matrices.
El centro del grupo unitario de dimensión infinita es, como en el caso de dimensión finita, U(1), que nuevamente actúa sobre el grupo unitario mediante la multiplicación por una fase. Como el grupo unitario no contiene la matriz cero, esta acción es gratuita. Por lo tanto, es un espacio contráctil con una acción U(1), que lo identifica como EU(1) y el espacio de órbitas de U(1) como BU(1) , el espacio de clasificación para U(1).
se define precisamente como el espacio de órbitas de la acción U(1) sobre , por lo tanto es una realización del espacio de clasificación BU(1). En particular, usando el isomorfismo
entre los grupos de homotopía de un espacio X y los grupos de homotopía de su espacio de clasificación BX, combinados con el tipo de homotopía del círculo U(1)
encontramos los grupos de homotopía de
identificándose así como representante del espacio Eilenberg-MacLane .
Como consecuencia, debe ser del mismo tipo de homotopía que el espacio proyectivo complejo de dimensión infinita , que también representa . Esto significa en particular que tienen grupos de homología y cohomología isomorfas :
PU( n ) en general no tiene n -representaciones dimensionales, al igual que SO(3) no tiene representaciones bidimensionales.
PU( n ) tiene una acción adjunta sobre SU( n ), por lo que tiene una representación dimensional. Cuando n = 2 esto corresponde a la representación tridimensional de SO(3). La acción adjunta se define pensando en un elemento de PU( n ) como una clase de equivalencia de elementos de U( n ) que difieren por fases. Entonces se puede realizar la acción adjunta con respecto a cualquiera de estos representantes U( n ), y las fases conmutan con todo y así se cancelan. Por tanto, la acción es independiente de la elección del representante y, por tanto, está bien definida.
En muchas aplicaciones PU( n ) no actúa en ninguna representación lineal, sino en una representación proyectiva , que es una representación hasta una fase que es independiente del vector sobre el que se actúa. Estos son útiles en mecánica cuántica, ya que los estados físicos solo se definen hasta la fase. Por ejemplo, los estados fermiónicos masivos se transforman bajo una representación proyectiva pero no bajo una representación del pequeño grupo PU(2) = SO(3).
Las representaciones proyectivas de un grupo se clasifican por su segunda cohomología integral , que en este caso es
o
Los grupos de cohomología en el caso finito se pueden derivar de la larga secuencia exacta para paquetes y del hecho anterior de que SU( n ) es un paquete sobre PU( n ). La cohomología en el caso infinito se argumentó anteriormente a partir del isomorfismo con la cohomología del espacio proyectivo complejo infinito.
Así, PU( n ) disfruta de n representaciones proyectivas, de las cuales la primera es la representación fundamental de su cobertura SU( n ), mientras que tiene un número contablemente infinito. Como es habitual, las representaciones proyectivas de un grupo son representaciones ordinarias de una extensión central del grupo. En este caso, el grupo central extendido correspondiente a la primera representación proyectiva de cada grupo unitario proyectivo es simplemente el grupo unitario original del cual tomamos el cociente por U(1) en la definición de PU.
La acción adjunta del grupo unitario proyectivo infinito es útil en definiciones geométricas de la teoría K retorcida . Aquí se utiliza la acción adjunta de dimensión infinita sobre los operadores de Fredholm o sobre el grupo unitario infinito.
En construcciones geométricas de la teoría K retorcida con torsión H , la es la fibra de un haz, y diferentes torsiones H corresponden a diferentes fibraciones. Como se ve a continuación, representa topológicamente el espacio de Eilenberg-Maclane , por lo tanto el espacio de clasificación de haces es el espacio de Eilenberg-Maclane . es también el espacio de clasificación para el tercer grupo de cohomología integral , por lo tanto, los paquetes se clasifican según la tercera cohomología integral. Como resultado, los posibles giros H de una teoría K retorcida son precisamente los elementos de la tercera cohomología integral.
En la teoría de calibre SU ( n ) pura de Yang-Mills , que es una teoría de calibre con solo gluones y sin materia fundamental, todos los campos se transforman en el adjunto del grupo de calibre SU ( n ). El centro de SU( n ) conmuta, estando en el centro, con campos valorados en SU( n ), por lo que la acción adjunta del centro es trivial. Por lo tanto, la simetría de calibre es el cociente de SU( n ) por , que es PU( n ) y actúa sobre los campos utilizando la acción adjunta descrita anteriormente.
En este contexto, la distinción entre SU( n ) y PU( n ) tiene una consecuencia física importante. SU( n ) es simplemente conexo, pero el grupo fundamental de PU( n ) es el grupo cíclico de orden n . Por lo tanto, una teoría de calibre PU( n ) con escalares adjuntos tendrá vórtices de codimensión 2 no triviales en los que los valores esperados de los escalares giran alrededor del ciclo no trivial de PU( n ) a medida que uno rodea el vórtice. Estos vórtices, por tanto, también tienen cargas en , lo que implica que se atraen entre sí y al entrar en contacto se aniquilan. Un ejemplo de tal vórtice es la cuerda de Douglas-Shenker en las teorías de calibre SU( n ) de Seiberg-Witten .
