Espacio Eilenberg-MacLane

Espacio topológico con un solo grupo de homotopía no trivial

En matemáticas , específicamente en topología algebraica , un espacio de Eilenberg-MacLane ^{[nota 1]} es un espacio topológico con un único grupo de homotopía no trivial .

Sea G un grupo yn un entero positivo . Un espacio topológico conectado X se llama espacio de Eilenberg-MacLane de tipo , si tiene un n -ésimo grupo de homotopía isomorfo a G y todos los demás grupos de homotopía triviales . Suponiendo que G es abeliano en el caso de que , los espacios de tipo Eilenberg-MacLane siempre existen y todos son equivalentes de homotopía débil. Por lo tanto, se puede considerar que se refiere a una clase de espacios de equivalencia de homotopía débil. Es común referirse a cualquier representante como "un " o como "un modelo de ". Además, es común suponer que este espacio es un complejo CW (lo que siempre es posible mediante la aproximación CW). ${\displaystyle K(G,n)}$ ${\displaystyle \pi _{n}(X)}$ ${\displaystyle n>1}$ ${\displaystyle K(G,n)}$ ${\displaystyle K(G,n)}$ ${\displaystyle K(G,n)}$ ${\displaystyle K(G,n)}$

El nombre se deriva de Samuel Eilenberg y Saunders Mac Lane , quienes introdujeron este tipo de espacios a finales de la década de 1940.

Como tal, un espacio de Eilenberg-MacLane es un tipo especial de espacio topológico que en la teoría de la homotopía puede considerarse como un componente básico para complejos CW mediante fibraciones en un sistema Postnikov . Estos espacios son importantes en muchos contextos de la topología algebraica , incluidos los cálculos de grupos de esferas de homotopía, la definición de operaciones de cohomología y por tener una fuerte conexión con la cohomología singular .

Un espacio de Eilenberg-Maclane generalizado es un espacio que tiene el tipo de homotopía de un producto de espacios de Eilenberg-Maclane . ${\displaystyle \prod _{m}K(G_{m},m)}$

Ejemplos

• El círculo unitario es un . ${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle K(\mathbb {Z} ,1)}$
• El espacio proyectivo complejo de dimensión infinita es un modelo de . ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{\infty }}$ ${\displaystyle K(\mathbb {Z} ,2)}$
• El espacio proyectivo real de dimensión infinita es un . ${\displaystyle \mathbb {RP} ^{\infty }}$ ${\displaystyle K(\mathbb {Z} /2,1)}$
• La suma de cuña de k círculos unitarios es a , donde es el grupo libre en k generadores. ${\displaystyle \textstyle \bigvee _{i=1}^{k}S^{1}}$ ${\displaystyle K(F_{k},1)}$ ${\displaystyle F_{k}}$
• El complemento de cualquier nudo o gráfico conectado en una esfera tridimensional es de tipo ; esto se llama " asfericidad de los nudos" y es un teorema de 1957 de Christos Papakyriakopoulos . ^[1] ${\displaystyle S^{3}}$ ${\displaystyle K(G,1)}$
• Cualquier variedad M compacta , conectada y con curvatura no positiva es a , donde es el grupo fundamental de M. Esta es una consecuencia del teorema de Cartan-Hadamard . ${\displaystyle K(\Gamma ,1)}$ ${\displaystyle \Gamma =\pi _{1}(M)}$
• Un espacio de lente infinito dado por el cociente de por la acción libre de es a . Esto se puede demostrar utilizando la teoría del espacio de cobertura y el hecho de que la esfera de dimensión infinita es contráctil . ^[2] Tenga en cuenta que esto se incluye como archivo . ${\displaystyle L(\infty ,q)}$ ${\displaystyle S^{\infty }}$ ${\displaystyle (z\mapsto e^{2\pi im/q}z)}$ ${\displaystyle m\in \mathbb {Z} /q}$ ${\displaystyle K(\mathbb {Z} /q,1)}$ ${\displaystyle \mathbb {RP} ^{\infty }}$ ${\displaystyle K(\mathbb {Z} /2,1)}$
• El espacio de configuración de puntos en el plano es a , donde está el grupo trenzado puro en hebras. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle K(P_{n},1)}$ ${\displaystyle P_{n}}$ ${\displaystyle n}$
• En consecuencia, el enésimo espacio de configuración desordenada de es a , donde denota el grupo trenzado de n hebras . ^[3] ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle K(B_{n},1)}$ ${\displaystyle B_{n}}$
• El producto simétrico infinito de una n -esfera es a . De manera más general, es para todos los espacios de Moore . ${\displaystyle SP(S^{n})}$ ${\displaystyle K(\mathbb {Z} ,n)}$ ${\displaystyle SP(M(G,n))}$ ${\displaystyle K(G,n)}$ ${\displaystyle M(G,n)}$

A partir de estos se pueden construir algunos ejemplos elementales adicionales utilizando el hecho de que el producto es . Por ejemplo, el toro n -dimensional es un . ${\displaystyle K(G,n)\times K(H,n)}$ ${\displaystyle K(G\times H,n)}$ ${\displaystyle \mathbb {T} ^{n}}$ ${\displaystyle K(\mathbb {Z} ^{n},1)}$

Observación sobre la construcción de espacios Eilenberg-MacLane

Para y un grupo arbitrario la construcción de es idéntica a la del espacio de clasificación del grupo . Tenga en cuenta que si G tiene un elemento de torsión, entonces cada complejo CW de tipo K(G,1) tiene que ser de dimensión infinita. ${\displaystyle n=1}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle K(G,1)}$ ${\displaystyle G}$

Existen múltiples técnicas para construir espacios superiores de Eilenberg-Maclane. Uno de los cuales es construir un espacio de Moore para un grupo abeliano : tomar la cuña de n - esferas , una para cada generador del grupo A y realizar las relaciones entre estos generadores uniendo (n+1) -celdas a través de los mapas correspondientes en de dicha suma cuña. Tenga en cuenta que los grupos de homotopía inferior ya son triviales por construcción. Ahora elimine iterativamente todos los grupos de homotopía superiores uniendo sucesivamente celdas de dimensión mayor que y defina como límite directo bajo la inclusión de esta iteración. ${\displaystyle M(A,n)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \pi _{n}(\bigvee S^{n})}$ ${\displaystyle \pi _{i<n}(M(A,n))}$ ${\displaystyle \pi _{i>n}(M(A,n))}$ ${\displaystyle n+1}$ ${\displaystyle K(A,n)}$

Otra técnica útil es utilizar la realización geométrica de grupos abelianos simpliciales . ^[4] Esto da una presentación explícita de grupos abelianos simpliciales que representan espacios de Eilenberg-Maclane.

Otra construcción simple, en términos de clasificación de espacios y paquetes universales , se ofrece en el libro de J. Peter May . ^[5]

Dado que tomar el espacio del bucle reduce los grupos de homotopía en una ranura, tenemos una equivalencia de homotopía canónica , por lo tanto, hay una secuencia de fibración. ${\displaystyle K(G,n)\simeq \Omega K(G,n+1)}$

${\displaystyle K(G,n)\to *\to K(G,n+1)}$.

Tenga en cuenta que esta no es una secuencia de cofibración: el espacio no es la cofibra homotópica de . ${\displaystyle K(G,n+1)}$ ${\displaystyle K(G,n)\to *}$

Esta secuencia de fibración se puede utilizar para estudiar la cohomología del uso de la secuencia espectral de Leray . Esto fue explotado por Jean-Pierre Serre mientras estudiaba los grupos homotópicos de esferas utilizando el sistema Postnikov y secuencias espectrales. ${\displaystyle K(G,n+1)}$ ${\displaystyle K(G,n)}$

Propiedades de los espacios de Eilenberg-MacLane

Biyección entre clases de homotopía de mapas y cohomología.

Una propiedad importante de 's es que para cualquier grupo abeliano G y cualquier complejo CW basado X , el conjunto de clases de homotopía basada de mapas basados ​​de X a está en biyección natural con el n -ésimo grupo de cohomología singular del espacio X. . Por tanto, se dice que representan espacios para cohomología singular con coeficientes en G . Desde ${\displaystyle K(G,n)}$ ${\displaystyle [X,K(G,n)]}$ ${\displaystyle K(G,n)}$ ${\displaystyle H^{n}(X,G)}$ ${\displaystyle K(G,n)'s}$

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}H^{n}(K(G,n),G)&=&\operatorname {Hom} (H_{n}(K(G,n);\mathbb {Z} ),G)\\&=&\operatorname {Hom} (\pi _{n}(K(G,n)),G)\\&=&\operatorname {Hom} (G,G),\end{array}}}$

hay un elemento distinguido correspondiente a la identidad. La biyección anterior está dada por el retroceso de ese elemento . Esto es similar al lema de Yoneda de la teoría de categorías . ${\displaystyle u\in H^{n}(K(G,n),G)}$ ${\displaystyle f\mapsto f^{*}u}$

Aquí se puede encontrar una prueba constructiva de este teorema, aquí ^[6] se puede encontrar otra que hace uso de la relación entre los espectros omega y las teorías de cohomología reducida generalizada ^[7] y la idea principal también se esboza más adelante.

Espacios de bucle / espectros omega

El espacio de bucle de un espacio de Eilenberg-MacLane es nuevamente un espacio de Eilenberg-MacLane: . Además, existe una relación adjunta entre el espacio de bucles y la suspensión reducida: , que da la estructura de un grupo abeliano, donde la operación es la concatenación de bucles. Esto hace que la biyección mencionada anteriormente sea un isomorfismo de grupo. ${\displaystyle \Omega K(G,n)\cong K(G,n-1)}$ ${\displaystyle [\Sigma X,Y]=[X,\Omega Y]}$ ${\displaystyle [X,K(G,n)]\cong [X,\Omega ^{2}K(G,n+2)]}$ ${\displaystyle [X,K(G,n)]\to H^{n}(X,G)}$

Además, esta propiedad implica que los espacios de Eilenberg-MacLane con varios n forman un espectro omega , llamado "espectro de Eilenberg-MacLane". Este espectro se define a través de una teoría de cohomología reducida en complejos CW basados ​​y para cualquier teoría de cohomología reducida en complejos CW con un isomorfismo natural , donde denota cohomología singular reducida. Por tanto, estas dos teorías de cohomología coinciden. ${\displaystyle X\mapsto h^{n}(X):=[X,K(G,n)]}$ ${\displaystyle h^{*}}$ ${\displaystyle h^{n}(S^{0})=0}$ ${\displaystyle n\neq 0}$ ${\displaystyle h^{n}(X)\cong {\tilde {H}}^{n}(X,h^{0}(S^{0})}$ ${\displaystyle {\tilde {H^{*}}}}$

En un contexto más general, la representabilidad de Brown dice que toda teoría de cohomología reducida basada en complejos CW proviene de un espectro omega .

Relación con la homología

Para un grupo abeliano fijo hay mapas de los grupos de homotopía estable ${\displaystyle G}$

${\displaystyle \pi _{q+n}^{s}(X\wedge K(G,n))\cong \pi _{q+n+1}^{s}(X\wedge \Sigma K(G,n))\to \pi _{q+n+1}^{s}(X\wedge K(G,n+1))}$

inducida por el mapa . Tomando el límite directo sobre estos mapas, se puede verificar que esto define una teoría de homología reducida. ${\displaystyle \Sigma K(G,n)\to K(G,n+1)}$

${\displaystyle h_{q}(X)=\varinjlim _{n}\pi _{q+n}^{s}(X\wedge K(G,n))}$

en complejos CW. Dado que desaparece para , concuerda con la homología singular reducida con coeficientes en G en complejos CW. ${\displaystyle h_{q}(S^{0})=\varinjlim \pi _{q+n}^{s}(K(G,n))}$ ${\displaystyle q\neq 0}$ ${\displaystyle h_{*}}$ ${\displaystyle {\tilde {H}}_{*}(\cdot ,G)}$

Funcionalidad

Del teorema del coeficiente universal para cohomología se deduce que el espacio de Eilenberg MacLane es un cuasifuntor del grupo; es decir, para cada entero positivo si hay algún homomorfismo de grupos abelianos, entonces hay un conjunto no vacío ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle a\colon G\to G'}$

${\displaystyle K(a,n)=\{[f]:f\colon K(G,n)\to K(G',n),H_{n}(f)=a\},}$

satisfactorio donde denota la clase de homotopía de un mapa continuo y ${\displaystyle K(a\circ b,n)\supset K(a,n)\circ K(b,n){\text{ and }}1\in K(1,n),}$ ${\displaystyle [f]}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle S\circ T:=\{s\circ t:s\in S,t\in T\}.}$

Relación con la torre Postnikov/Whitehead

Cada complejo CW conectado posee una torre Postnikov , es decir, un sistema inverso de espacios: ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \cdots \to X_{3}\xrightarrow {p_{3}} X_{2}\xrightarrow {p_{2}} X_{1}\simeq K(\pi _{1}(X),1)}$

tal que para cada : ${\displaystyle n}$

1. hay mapas de desplazamiento , que inducen isomorfismo en for , ${\displaystyle X\to X_{n}}$ ${\displaystyle \pi _{i}}$ ${\displaystyle i\leq n}$
2. ${\displaystyle \pi _{i}(X_{n})=0}$para , ${\displaystyle i>n}$
3. los mapas son fibraciones con fibra . ${\displaystyle X_{n}\xrightarrow {p_{n}} X_{n-1}}$ ${\displaystyle K(\pi _{n}(X),n)}$

Existe dualmente una torre Whitehead , que es una secuencia de complejos CW:

${\displaystyle \cdots \to X_{3}\to X_{2}\to X_{1}\to X}$

tal que para cada : ${\displaystyle n}$

1. los mapas inducen isomorfismo en for , ${\displaystyle X_{n}\to X}$ ${\displaystyle \pi _{i}}$ ${\displaystyle i>n}$
2. ${\displaystyle X_{n}}$está n-conectado ,
3. los mapas son fibraciones con fibra ${\displaystyle X_{n}\to X_{n-1}}$ ${\displaystyle K(\pi _{n}(X),n-1)}$

Con la ayuda de secuencias espectrales de Serre se pueden realizar cálculos de grupos de esferas de mayor homotopía . Por ejemplo , aquí se puede encontrar el uso de una torre Whitehead , ^[8] de manera más general, aquí se pueden encontrar los que usan sistemas Postnikov. ^[9] ${\displaystyle \pi _{4}(S^{3})}$ ${\displaystyle \pi _{5}(S^{3})}$ ${\displaystyle S^{3}}$ ${\displaystyle \pi _{n+i}(S^{n})\ i\leq 3}$

Operaciones de cohomología

Para números naturales fijos m,n y grupos abelianos G,H existe una biyección entre el conjunto de todas las operaciones de cohomología y definida por , donde es una clase fundamental . ${\displaystyle \Theta :H^{m}(\cdot ,G)\to H^{n}(\cdot ,H)}$ ${\displaystyle H^{n}(K(G,m),H)}$ ${\displaystyle \Theta \mapsto \Theta (\alpha )}$ ${\displaystyle \alpha \in H^{m}(K(G,m),G)}$

Como resultado, las operaciones de cohomología no pueden disminuir el grado de los grupos de cohomología y las operaciones de cohomología que preservan el grado corresponden al homomorfismo de coeficientes . Esto se desprende del teorema del coeficiente universal para la cohomología y la conectividad (m-1) de . ${\displaystyle \operatorname {Hom} (G,H)}$ ${\displaystyle K(G,m)}$

Algunos ejemplos interesantes de operaciones de cohomología son los cuadrados y potencias de Steenrod , cuando son grupos cíclicos finitos . Al estudiarlos, la importancia de la cohomología de con coeficientes se hace evidente rápidamente; ^[10] Aquí se pueden encontrar algunos cuadros extensos de esos grupos. ^[11] ${\displaystyle G=H}$ ${\displaystyle K(\mathbb {Z} /p,n)}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /p}$

(co)homología de grupo

Se puede definir la (co)homología de grupo de G con coeficientes en el grupo A como la (co)homología singular del espacio de Eilenberg-MacLane con coeficientes en A. ${\displaystyle K(G,1)}$

Otras aplicaciones

La construcción del espacio de bucles descrita anteriormente se utiliza en la teoría de cuerdas para obtener, por ejemplo, el grupo de cuerdas , el grupo de cinco branas , etc., como la torre de Whitehead que surge de la secuencia corta exacta.

${\displaystyle 0\rightarrow K(\mathbb {Z} ,2)\rightarrow \operatorname {String} (n)\rightarrow \operatorname {Spin} (n)\rightarrow 0}$

con el grupo de cuerdas y el grupo de giro . La relevancia de radica en el hecho de que existen equivalencias de homotopía. ${\displaystyle {\text{String}}(n)}$ ${\displaystyle {\text{Spin}}(n)}$ ${\displaystyle K(\mathbb {Z} ,2)}$

${\displaystyle K(\mathbb {Z} ,1)\simeq U(1)\simeq B\mathbb {Z} }$

para el espacio de clasificación y el hecho . Observe que debido a que el grupo de espín complejo es una extensión del grupo ${\displaystyle B\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle K(\mathbb {Z} ,2)\simeq BU(1)}$

${\displaystyle 0\to K(\mathbb {Z} ,1)\to {\text{Spin}}^{\mathbb {C} }(n)\to {\text{Spin}}(n)\to 0}$,

El grupo de cuerdas puede considerarse como una extensión de grupo de espín complejo "superior", en el sentido de la teoría de grupos superiores, ya que el espacio es un ejemplo de un grupo superior. Se puede pensar en la realización topológica del grupoide cuyo objeto es un solo punto y cuyos morfismos son el grupo . Debido a estas propiedades homotópicas, la construcción se generaliza: cualquier espacio dado puede usarse para iniciar una secuencia corta y exacta que elimine el grupo de homotopía en un grupo topológico . ${\displaystyle K(\mathbb {Z} ,2)}$ ${\displaystyle \mathbf {B} U(1)}$ ${\displaystyle U(1)}$ ${\displaystyle K(\mathbb {Z} ,n)}$ ${\displaystyle \pi _{n+1}}$

Ver también

• Clasificación del espacio , para el caso. ${\displaystyle n=1}$
• Teorema de representabilidad de Brown , respecto de los espacios de representación
• Espacio de Moore , el análogo de la homología.

Notas

1. Saunders Mac Lane originalmente deletreaba su nombre "MacLane" (sin espacio) y coeditó los artículos que establecen la noción de espacios Eilenberg-MacLane bajo este nombre. (Ver, por ejemplo, MR 13312) En este contexto, por lo tanto, es convencional escribir el nombre sin espacio.

1. Papakyriakopoulos, CD (15 de enero de 1957). "Sobre el lema de Dehn y la asfericidad de los nudos". Procedimientos de la Academia Nacional de Ciencias . 43 (1): 169-172. Código bibliográfico : 1957PNAS...43..169P. doi : 10.1073/pnas.43.1.169 . PMC 528404 . PMID  16589993. 
2. "topología general: ¿la esfera unitaria en $\mathbb{R}^\infty$ es contráctil?". Intercambio de pilas de matemáticas . Consultado el 1 de septiembre de 2020 .
3. Lucas Williams "Espacios de configuración para el estudiante universitario que trabaja", arXiv , 5 de noviembre de 2019. Consultado el 14 de junio de 2021.
4. "topología gt.geometric - ¿Construcciones explícitas de K (G, 2)?". Desbordamiento matemático . Consultado el 28 de octubre de 2020 .
5. Mayo, J. Peter . Un curso conciso en topología algebraica (PDF) . Capítulo 16, sección 5: University of Chicago Press .{{cite book}}: CS1 maint: location (link)
6. Xi Yin "En los espacios de Eilenberg-MacLanes" Archivado el 29 de septiembre de 2021 en Wayback Machine , obtenido el 14 de junio de 2021
7. Allen Hatcher "Topología algebraica", Cambridge University Press , 2001. Consultado el 14 de junio de 2021.
8. Xi Yin "En los espacios de Eilenberg-MacLanes" Archivado el 29 de septiembre de 2021 en Wayback Machine , obtenido el 14 de junio de 2021
9. Secuencias espectrales de Allen Hatcher, obtenido el 25 de abril de 2021
10. Cary Malkiewich "El álgebra de Steenrod", obtenido el 14 de junio de 2021
11. Cohomología integral de torres finitas Postnikov

Referencias

Artículos fundamentales

• Eilenberg, Samuel ; MacLane, Saunders (1945), "Relaciones entre grupos de espacios de homología y homotopía", Annals of Mathematics , (Segunda serie), 46 (3): 480–509, doi :10.2307/1969165, JSTOR  1969165, MR  0013312
• Eilenberg, Samuel ; MacLane, Saunders (1950). "Relaciones entre grupos de espacios de homología y homotopía. II". Anales de Matemáticas . (Segunda Serie). 51 (3): 514–533. doi :10.2307/1969365. JSTOR  1969365. SEÑOR  0035435.
• Eilenberg, Samuel ; MacLane, Saunders (1954). "Sobre los grupos H ( Π , n ) {\displaystyle H(\Pi ,n)} . III. Operaciones y obstrucciones". Anales de Matemáticas . 60 (3): 513–557. doi :10.2307/1969849. JSTOR  1969849. SEÑOR  0065163.

Seminario de Cartan y aplicaciones.

El seminario de Cartan contiene muchos resultados fundamentales sobre los espacios de Eilenberg-Maclane, incluida su homología y cohomología, y aplicaciones para calcular los grupos homotópicos de esferas.

• http://www.numdam.org/volume/SHC_1954-1955__7/ Archivado el 25 de abril de 2022 en Wayback Machine.

Calcular anillos de cohomología integrales

• Functores derivados de los funtores de potencia dividida
• Cohomología integral de torres finitas Postnikov
• (Co)homología de los espacios de Eilenberg-MacLane K(G,n)

Otras referencias enciclopédicas

• Enciclopedia de Matemáticas
• Espacio Eilenberg-Mac Lane en el n Lab