Establecer relaciones entre las teorías de homología y cohomología.
En topología algebraica , los teoremas de coeficientes universales establecen relaciones entre grupos de homología (o grupos de cohomología) con diferentes coeficientes. Por ejemplo, para cada espacio topológico X , sus grupos de homología integral :
- Hola ( X ; Z )
determinar completamente sus grupos de homología con coeficientes en A , para cualquier grupo abeliano A :
- Hola ( X ; A )
Aquí H i podría ser la homología simplicial o, más generalmente, la homología singular . La prueba habitual de este resultado es una pieza pura de álgebra homológica sobre complejos de cadenas de grupos abelianos libres . La forma del resultado es que se pueden usar otros coeficientes A , a costa de usar un functor Tor .
Por ejemplo, es común tomar A como Z /2 Z , de modo que los coeficientes sean módulo 2. Esto resulta sencillo en ausencia de torsión 2- en la homología. De manera bastante general, el resultado indica la relación que se mantiene entre los números de Betti b i de X y los números de Betti b i , F con coeficientes en un campo F . Estos pueden diferir, pero sólo cuando la característica de F es un número primo p para el cual hay cierta torsión p en la homología.
Declaración del caso de homología.
Considere el producto tensorial de los módulos H i ( X ; Z ) ⊗ A . El teorema establece que hay una secuencia corta y exacta que involucra al funtor Tor.
![{\displaystyle 0\to H_{i}(X;\mathbf {Z} )\otimes A\,{\overset {\mu }{\to }}\,H_{i}(X;A)\to \ nombre del operador {Tor} _{1}(H_{i-1}(X;\mathbf {Z} ),A)\to 0.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Además, esta secuencia se divide , aunque no de forma natural. Aquí μ es el mapa inducido por el mapa bilineal Hi ( X ; Z ) × A → Hi ( X ; A ) .
Si el anillo de coeficientes A es Z / p Z , éste es un caso especial de la secuencia espectral de Bockstein .
Teorema del coeficiente universal para cohomología
Sea G un módulo sobre un dominio ideal principal R (por ejemplo, Z o un campo).
También existe un teorema de coeficiente universal para la cohomología que involucra al functor Ext , que afirma que existe una secuencia exacta corta natural
![{\displaystyle 0\to \operatorname {Ext} _{R}^{1}(H_{i-1}(X;R),G)\to H^{i}(X;G)\,{\ overset {h}{\to }}\,\operatorname {Hom} _{R}(H_{i}(X;R),G)\to 0.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Como en el caso de la homología, la secuencia se divide, aunque no de forma natural.
De hecho, supongamos
![{\displaystyle H_{i}(X;G)=\ker \partial _{i}\otimes G/\operatorname {im} \partial _{i+1}\otimes G}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
y definir:
![{\displaystyle H^{*}(X;G)=\ker(\operatorname {Hom} (\partial ,G))/\operatorname {im} (\operatorname {Hom} (\partial ,G)).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Entonces h arriba es el mapa canónico:
![{\displaystyle h([f])([x])=f(x).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Un punto de vista alternativo puede basarse en la representación de la cohomología a través del espacio de Eilenberg-MacLane donde el mapa h toma una clase de homotopía de mapas de X a K ( G , i ) al correspondiente homomorfismo inducido en homología. Por tanto, el espacio de Eilenberg-MacLane es un adjunto derecho débil al funtor de homología . [1]
Ejemplo: cohomología mod 2 del espacio proyectivo real
Sea X = P n ( R ) , el espacio proyectivo real . Calculamos la cohomología singular de X con coeficientes en R = Z / 2 Z.
Sabiendo que la homología entera viene dada por:
![{\displaystyle H_{i}(X;\mathbf {Z} )={\begin{cases}\mathbf {Z} &i=0{\text{ o }}i=n{\text{ impar,}}\ \\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} &0<i<n,\ i\ {\text{impar,}}\\0&{\text{de lo contrario.}}\end{casos}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Tenemos Ext( R , R ) = R , Ext( Z , R ) = 0 , de modo que las secuencias exactas anteriores producen
![{\displaystyle \forall i=0,\ldots ,n:\qquad \ H^{i}(X;R)=R.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
De hecho, la estructura del anillo de cohomología total es
![{\displaystyle H^{*}(X;R)=R[w]/\left\langle w^{n+1}\right\rangle .}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Corolarios
Un caso especial del teorema es el cálculo de la cohomología integral. Para un complejo CW finito X , H i ( X ; Z ) se genera de forma finita, por lo que tenemos la siguiente descomposición .
![{\displaystyle H_{i}(X;\mathbf {Z} )\cong \mathbf {Z} ^{\beta _ {i}(X)}\oplus T_{i},}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
donde β i ( X ) son los números de Betti de X y es la parte de torsión de . Uno puede comprobar que![{\displaystyle T_{i}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ Displaystyle H_ {i}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \operatorname {Hom} (H_{i}(X),\mathbf {Z} )\cong \operatorname {Hom} (\mathbf {Z} ^{\beta _{i}(X)},\ mathbf {Z} )\oplus \operatorname {Hom} (T_{i},\mathbf {Z} )\cong \mathbf {Z} ^{\beta _{i}(X)},}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
y
![{\displaystyle \operatorname {Ext} (H_{i}(X),\mathbf {Z} )\cong \operatorname {Ext} (\mathbf {Z} ^{\beta _{i}(X)},\ mathbf {Z} )\oplus \operatorname {Ext} (T_{i},\mathbf {Z} )\cong T_{i}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Esto da la siguiente declaración para la cohomología integral:
![{\displaystyle H^{i}(X;\mathbf {Z} )\cong \mathbf {Z} ^{\beta _ {i}(X)}\oplus T_{i-1}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Para X una n - variedad orientable , cerrada y conectada , este corolario junto con la dualidad de Poincaré da que β i ( X ) = β n − i ( X ) .
Secuencia espectral del coeficiente universal
Existe una generalización del teorema del coeficiente universal para (co)homología con coeficientes retorcidos .
Para la cohomología tenemos
![{\displaystyle E_{2}^{p,q}=Ext_{R}^{q}(H_{p}(C_{*}),G)\Rightarrow H^{p+q}(C_{*} ;GRAMO)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Donde es un anillo con unidad, es un complejo de cadena de módulos libres sobre , es cualquier -bimódulo para algún anillo con una unidad , es el grupo Ext . El diferencial tiene grado .![{\displaystyle R}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle C_{*}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle R}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle G}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle (R,S)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle S}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle extensión}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle d^{r}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle (1-r,r)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Lo mismo ocurre con la homología
![{\displaystyle E_{p,q}^{2}=Tor_{q}^{R}(H_{p}(C_{*}),G)\Rightarrow H_{*}(C_{*};G) }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
para Tor el grupo Tor y el diferencial que tiene grado .![{\ Displaystyle d_ {r}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle (r-1,-r)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Notas
Referencias
- Allen Hatcher , Topología algebraica , Cambridge University Press, Cambridge, 2002. ISBN 0-521-79540-0 . Una introducción moderna y con sabor geométrico a la topología algebraica. El libro está disponible gratuitamente en formatos PDF y PostScript en la página de inicio del autor.
- Kainen, ordenador personal (1971). "Funtores adjuntos débiles". Mathematische Zeitschrift . 122 : 1–9. doi :10.1007/bf01113560. S2CID 122894881.
- Jerome Levine . “Módulos de nudos. I." Transacciones de la Sociedad Matemática Estadounidense 229 (1977): 1–50. https://doi.org/10.2307/1998498
enlaces externos
- Teorema del coeficiente universal con coeficientes anulares