Espacio proyectivo complejo

Concepto matemático

La esfera de Riemann , el espacio proyectivo complejo unidimensional, es decir, la recta proyectiva compleja .

En matemáticas , el espacio proyectivo complejo es el espacio proyectivo con respecto al cuerpo de números complejos . Por analogía, mientras que los puntos de un espacio proyectivo real etiquetan las líneas que pasan por el origen de un espacio euclidiano real , los puntos de un espacio proyectivo complejo etiquetan las líneas complejas que pasan por el origen de un espacio euclidiano complejo (ver más abajo para una explicación intuitiva). Formalmente, un espacio proyectivo complejo es el espacio de líneas complejas que pasan por el origen de un espacio vectorial complejo ( n +1)-dimensional . El espacio se denota de diversas formas como P ( C ^{n +1} ), P _n ( C ) o CP ⁿ . Cuando n = 1 , el espacio proyectivo complejo CP ¹ es la esfera de Riemann , y cuando n = 2 , CP ² es el plano proyectivo complejo (ver allí para una discusión más elemental).

El espacio proyectivo complejo fue introducido por primera vez por von Staudt (1860) como un ejemplo de lo que entonces se conocía como la "geometría de la posición", una noción originalmente debida a Lazare Carnot , un tipo de geometría sintética que también incluía otras geometrías proyectivas. Posteriormente, cerca del cambio de siglo XX, quedó claro para la escuela italiana de geometría algebraica que los espacios proyectivos complejos eran los dominios más naturales en los que considerar las soluciones de ecuaciones polinómicas - variedades algebraicas (Grattan-Guinness 2005, pp. 445-446). En los tiempos modernos, tanto la topología como la geometría del espacio proyectivo complejo se entienden bien y están estrechamente relacionadas con las de la esfera . De hecho, en cierto sentido la (2 n +1)-esfera puede considerarse como una familia de círculos parametrizados por CP ⁿ : esta es la fibración de Hopf . El espacio proyectivo complejo lleva una métrica ( de Kähler ) , llamada métrica de Fubini-Study , en términos de la cual es un espacio simétrico hermítico de rango 1.

El espacio proyectivo complejo tiene muchas aplicaciones tanto en matemáticas como en física cuántica . En geometría algebraica , el espacio proyectivo complejo es el hogar de las variedades proyectivas , una clase de variedades algebraicas de buen comportamiento . En topología, el espacio proyectivo complejo juega un papel importante como espacio clasificador para fibrados de líneas complejas : familias de líneas complejas parametrizadas por otro espacio. En este contexto, la unión infinita de espacios proyectivos ( límite directo ), denotada CP ^∞ , es el espacio clasificador K(Z,2) . En física cuántica, la función de onda asociada a un estado puro de un sistema mecánico cuántico es una amplitud de probabilidad , lo que significa que tiene norma unitaria y tiene una fase global no esencial: es decir, la función de onda de un estado puro es naturalmente un punto en el espacio proyectivo de Hilbert del espacio de estados.

Introducción

Las líneas paralelas en el plano se intersecan en el punto de fuga de la línea en el infinito.

La noción de plano proyectivo surge de la idea de la perspectiva en geometría y arte: a veces es útil incluir en el plano euclidiano una línea "imaginaria" adicional que representa el horizonte que un artista, pintando el plano, podría ver. Siguiendo cada dirección desde el origen, hay un punto diferente en el horizonte, por lo que el horizonte puede considerarse como el conjunto de todas las direcciones desde el origen. El plano euclidiano, junto con su horizonte, se denomina plano proyectivo real , y el horizonte a veces se denomina línea en el infinito . Por la misma construcción, los espacios proyectivos pueden considerarse en dimensiones superiores. Por ejemplo, el 3-espacio proyectivo real es un espacio euclidiano junto con un plano en el infinito que representa el horizonte que vería un artista (que debe, necesariamente, vivir en cuatro dimensiones).

Estos espacios proyectivos reales pueden construirse de una manera ligeramente más rigurosa de la siguiente manera. Aquí, sea R ^{n +1} el espacio de coordenadas real de n +1 dimensiones, y considere el paisaje que se va a pintar como un hiperplano en este espacio. Supongamos que el ojo del artista es el origen en R ^{n +1} . Entonces, a lo largo de cada línea que pasa por su ojo, hay un punto del paisaje o un punto en su horizonte. Por lo tanto, el espacio proyectivo real es el espacio de líneas que pasan por el origen en R ^{n +1} . Sin referencia a las coordenadas, este es el espacio de líneas que pasan por el origen en un espacio vectorial real de ( n +1) dimensiones .

Para describir el espacio proyectivo complejo de una manera análoga se requiere una generalización de la idea de vector, línea y dirección. Imaginemos que en lugar de estar en un espacio euclidiano real, el artista está en un espacio euclidiano complejo C ^{n +1} (que tiene dimensión real 2 n +2) y el paisaje es un hiperplano complejo (de dimensión real 2 n ). A diferencia del caso del espacio euclidiano real, en el caso complejo hay direcciones en las que el artista puede mirar que no ven el paisaje (porque no tiene una dimensión lo suficientemente alta). Sin embargo, en un espacio complejo, hay una "fase" adicional asociada con las direcciones a través de un punto, y al ajustar esta fase el artista puede garantizar que ve típicamente el paisaje. El "horizonte" es entonces el espacio de direcciones, pero de tal manera que dos direcciones se consideran "iguales" si difieren solo en una fase. El espacio proyectivo complejo es entonces el paisaje ( C ⁿ ) con el horizonte unido "en el infinito". Al igual que en el caso real, el espacio proyectivo complejo es el espacio de direcciones que pasan por el origen de C ^{n +1} , donde dos direcciones se consideran iguales si difieren en una fase.

Construcción

El espacio proyectivo complejo es una variedad compleja que puede describirse mediante n  + 1 coordenadas complejas como

${\displaystyle Z=(Z_{1},Z_{2},\ldots ,Z_{n+1})\in \mathbb {C} ^{n+1},\qquad (Z_{1},Z_{2},\ldots ,Z_{n+1})\neq (0,0,\ldots ,0)}$

donde se identifican las tuplas que difieren en un reescalamiento general:

${\displaystyle (Z_{1},Z_{2},\ldots ,Z_{n+1})\equiv (\lambda Z_{1},\lambda Z_{2},\ldots ,\lambda Z_{n+1});\quad \lambda \in \mathbb {C} ,\qquad \lambda \neq 0.}$

Es decir, se trata de coordenadas homogéneas en el sentido tradicional de la geometría proyectiva . El conjunto de puntos CP ⁿ está cubierto por los parches . En U _i , se puede definir un sistema de coordenadas mediante ${\displaystyle U_{i}=\{Z\mid Z_{i}\neq 0\}}$

${\displaystyle z_{1}=Z_{1}/Z_{i},\quad z_{2}=Z_{2}/Z_{i},\quad \dots ,\quad z_{i-1}=Z_{i-1}/Z_{i},\quad z_{i}=Z_{i+1}/Z_{i},\quad \dots ,\quad z_{n}=Z_{n+1}/Z_{i}.}$

Las transiciones de coordenadas entre dos gráficos diferentes U _i y U _j son funciones holomorfas (de hecho, son transformaciones lineales fraccionarias ). Por lo tanto, CP ⁿ tiene la estructura de una variedad compleja de dimensión compleja n y, a fortiori, la estructura de una variedad diferenciable real de dimensión real 2 n .

También se puede considerar CP ⁿ como un cociente de la esfera unitaria 2 n  + 1 en C ^{n +1} bajo la acción de U(1) :

CP ⁿ = S ^{2 n + 1} / U (1).

Esto se debe a que cada línea en C ^{n +1} intersecta la esfera unitaria en un círculo . Al proyectar primero a la esfera unitaria y luego identificar bajo la acción natural de U(1) se obtiene CP ⁿ . Para n = 1 esta construcción produce el fibrado de Hopf  clásico . Desde esta perspectiva, la estructura diferenciable en CP ⁿ se induce a partir de la de S ^{2 n +1} , siendo el cociente de este último por un grupo compacto que actúa correctamente. ${\displaystyle S^{3}\to S^{2}}$

Topología

La topología de CP ⁿ se determina inductivamente mediante la siguiente descomposición en celdas . Sea H un hiperplano fijo que pasa por el origen en C ^{n +1} . Bajo la función de proyección C ^{n +1} \{0} → CP ⁿ , H entra en un subespacio que es homeomorfo a CP ^{n −1} . El complemento de la imagen de H en CP ⁿ es homeomorfo a C ⁿ . Por lo tanto, CP ⁿ surge al unir una celda de 2 n a CP ^{n −1} :

${\displaystyle \mathbf {CP} ^{n}=\mathbf {CP} ^{n-1}\cup \mathbf {C} ^{n}.}$

Alternativamente, si la celda 2 n se considera en cambio como la bola unitaria abierta en C ⁿ , entonces el mapa de unión es la fibración de Hopf del límite. Una descomposición celular inductiva análoga es verdadera para todos los espacios proyectivos; véase (Besse 1978).

Descomposición CW

Una forma útil de construir los espacios proyectivos complejos es a través de una construcción recursiva usando complejos CW . Recordemos que hay un homeomorfismo en la 2-esfera, dando el primer espacio. Podemos entonces inducir en las celdas para obtener un mapa de empuje donde es la bola cuatro, y representa el generador en (por lo tanto es homotópicamente equivalente al mapa de Hopf ). Podemos entonces construir inductivamente los espacios como diagramas de empuje donde representa un elemento en El isomorfismo de los grupos de homotopía se describe a continuación, y el isomorfismo de los grupos de homotopía es un cálculo estándar en la teoría de homotopía estable (que se puede hacer con la secuencia espectral de Serre , el teorema de suspensión de Freudenthal y la torre de Postnikov ). El mapa proviene del haz de fibras dando un mapa no contráctil, por lo tanto representa el generador en . De lo contrario, habría una equivalencia de homotopía , pero entonces sería homotópicamente equivalente a , una contradicción que se puede ver al observar los grupos de homotopía del espacio. ${\displaystyle \mathbf {CP} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbf {CP} ^{1}\cong S^{2}}$ $${\displaystyle {\begin{matrix}S^{3}&\hookrightarrow &D^{4}\\\downarrow &&\downarrow \\\mathbf {CP} ^{1}&\to &\mathbf {CP} ^{2}\end{matrix}}}$$ ${\displaystyle D^{4}}$ ${\displaystyle S^{3}\to \mathbf {CP} ^{1}}$ ${\displaystyle \pi _{3}(S^{2})}$ $${\displaystyle {\begin{matrix}S^{2n-1}&\hookrightarrow &D^{2n}\\\downarrow &&\downarrow \\\mathbf {CP} ^{n-1}&\to &\mathbf {CP} ^{n}\end{matrix}}}$$ ${\displaystyle S^{2n-1}\to \mathbf {CP} ^{n-1}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\pi _{2n-1}(\mathbf {CP} ^{n-1})&\cong \pi _{2n-1}(S^{2n-2})\\&\cong \mathbb {Z} /2\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle S^{1}\hookrightarrow S^{2n-1}\twoheadrightarrow \mathbf {CP} ^{n-1}}$$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$ ${\displaystyle \mathbf {CP} ^{n}\simeq \mathbf {CP} ^{n-1}\times D^{n}}$ ${\displaystyle S^{2}}$

Topología de conjunto de puntos

El espacio proyectivo complejo es compacto y conexo , siendo cociente de un espacio compacto y conexo.

Grupos de homotopía

Del haz de fibras

${\displaystyle S^{1}\hookrightarrow S^{2n+1}\twoheadrightarrow \mathbf {CP} ^{n}}$

o más sugerentemente

${\displaystyle U(1)\hookrightarrow S^{2n+1}\twoheadrightarrow \mathbf {CP} ^{n}}$

CP ⁿ está simplemente conexo . Además, por la larga secuencia de homotopía exacta , el segundo grupo de homotopía es π ₂ ( CP ⁿ ) ≅ Z , y todos los grupos de homotopía superiores concuerdan con los de S ^{2 n +1} : π _k ( CP ⁿ ) ≅ π _k ( S ^{2 n +1} ) para todo k > 2.

Homología

En general, la topología algebraica de CP ⁿ se basa en que el rango de los grupos de homología es cero en dimensiones impares; además, H _{2 i} ( CP ⁿ , Z ) es cíclico infinito para i = 0 a n . Por lo tanto, los números de Betti se ejecutan

1, 0, 1, 0, ..., 0, 1, 0, 0, 0, ...

Es decir, 0 en dimensiones impares, 1 en dimensiones pares 0 a 2n. La característica de Euler de CP ⁿ es por tanto n  + 1. Por la dualidad de Poincaré lo mismo es cierto para los rangos de los grupos de cohomología . En el caso de la cohomología, se puede ir más allá e identificar la estructura de anillo graduado , para el producto de copa ; el generador de H ² ( CP ⁿ , Z ) es la clase asociada a un hiperplano , y este es un generador de anillo, de modo que el anillo es isomorfo con

Z [ T ]/( Tn ^{+1 )} ,

con T como generador de grado dos. Esto implica también que el número de Hodge h ^{i , i} = 1 y todos los demás son cero. Véase (Besse 1978).

K-teoría

De la inducción y la periodicidad de Bott se deduce que

${\displaystyle K_{\mathbf {C} }^{*}(\mathbf {CP} ^{n})=K_{\mathbf {C} }^{0}(\mathbf {CP} ^{n})=\mathbf {Z} [H]/(H-1)^{n+1}.}$

El fibrado tangente satisface

${\displaystyle T\mathbf {CP} ^{n}\oplus \vartheta ^{1}=H^{\oplus n+1},}$

donde denota el fibrado lineal trivial, de la sucesión de Euler . A partir de esto, las clases de Chern y los números característicos se pueden calcular explícitamente. ${\displaystyle \vartheta ^{1}}$

Clasificando el espacio

Hay un espacio que, en cierto sentido, es el límite inductivo de como . Es BU(1) , el espacio de clasificación de U(1) , el grupo de círculos, en el sentido de la teoría de homotopía , y por lo tanto clasifica los fibrados lineales complejos . Equivalentemente, explica la primera clase de Chern . Esto se puede ver heurísticamente mirando los mapas de fibrados de fibras y . Esto da un fibrado de fibras (llamado fibrado circular universal ) que construye este espacio. Nótese que al usar la larga secuencia exacta de grupos de homotopía, tenemos por lo tanto es un espacio de Eilenberg–MacLane , a . Debido a este hecho, y al teorema de representabilidad de Brown , tenemos el siguiente isomorfismo para cualquier complejo CW agradable . Además, a partir de la teoría de clases de Chern , cada fibrado lineal complejo se puede representar como un pullback del fibrado lineal universal en , lo que significa que hay un cuadrado de pullback donde es el fibrado vectorial asociado del fibrado principal . Véase, por ejemplo, (Bott y Tu 1982) y (Milnor y Stasheff 1974). ${\displaystyle \mathbf {CP} ^{\infty }}$ ${\displaystyle \mathbf {CP} ^{n}}$ ${\displaystyle n\to \infty }$ $${\displaystyle S^{1}\hookrightarrow S^{2n+1}\twoheadrightarrow \mathbf {CP} ^{n}}$$ ${\displaystyle n\to \infty }$ $${\displaystyle S^{1}\hookrightarrow S^{\infty }\twoheadrightarrow \mathbf {CP} ^{\infty }}$$ ${\displaystyle \pi _{2}(\mathbf {CP} ^{\infty })=\pi _{1}(S^{1})}$ ${\displaystyle \mathbf {CP} ^{\infty }}$ ${\displaystyle K(\mathbb {Z} ,2)}$ $${\displaystyle H^{2}(X;\mathbb {Z} )\cong [X,\mathbf {CP} ^{\infty }]}$$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle L\to X}$ ${\displaystyle \mathbf {CP} ^{\infty }}$ $${\displaystyle {\begin{matrix}L&\to &{\mathcal {L}}\\\downarrow &&\downarrow \\X&\to &\mathbf {CP} ^{\infty }\end{matrix}}}$$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}\to \mathbf {CP} ^{\infty }}$ ${\displaystyle U(1)}$ ${\displaystyle S^{\infty }\to \mathbf {CP} ^{\infty }}$

Geometría diferencial

La métrica natural de CP ⁿ es la métrica de Fubini-Study , y su grupo de isometría holomorfo es el grupo unitario proyectivo PU( n +1), donde el estabilizador de un punto es

${\displaystyle \mathrm {P} (1\times \mathrm {U} (n))\cong \mathrm {PU} (n).}$

Es un espacio simétrico hermítico (Kobayashi y Nomizu 1996), representado como un espacio de clases laterales.

${\displaystyle U(n+1)/(U(1)\times U(n))\cong SU(n+1)/S(U(1)\times U(n)).}$

La simetría geodésica en un punto p es la transformación unitaria que fija p y es la identidad negativa en el complemento ortogonal de la línea representada por p .

Geodésicas

Por dos puntos cualesquiera p , q en un espacio proyectivo complejo pasa una única línea compleja (una CP ¹ ). Un círculo máximo de esta línea compleja que contiene a p y q es una geodésica para la métrica del Estudio de Fubini. En particular, todas las geodésicas son cerradas (son círculos) y todas tienen la misma longitud. (Esto siempre es cierto para los espacios globalmente simétricos de Riemann de rango 1).

El lugar geométrico de corte de cualquier punto p es igual a un hiperplano CP ^{n −1} . Este es también el conjunto de puntos fijos de la simetría geodésica en p (menos p ). Véase (Besse 1978).

Pinzamiento de curvatura seccional

Tiene una curvatura seccional que va de 1/4 a 1, y es la variedad más redonda que no es una esfera (o está cubierta por una esfera): por el teorema de la esfera 1/4-pinzada , cualquier variedad de Riemann completa, simplemente conexa con curvatura estrictamente entre 1/4 y 1 es difeomorfa a la esfera. El espacio proyectivo complejo muestra que 1/4 es agudo. Por el contrario, si una variedad de Riemann completa simplemente conexa tiene curvaturas seccionales en el intervalo cerrado [1/4,1], entonces es difeomorfa a la esfera, o isométrica al espacio proyectivo complejo, el espacio proyectivo cuaterniónico , o bien al plano de Cayley F ₄ /Spin(9); véase (Brendle & Schoen 2008).

Estructura de giro

A los espacios proyectivos de dimensión impar se les puede dar una estructura de espín , pero a los de dimensión par no.

Geometría algebraica

El espacio proyectivo complejo es un caso especial de un Grassmanniano y es un espacio homogéneo para varios grupos de Lie . Es una variedad de Kähler que lleva la métrica de Fubini-Study , que está determinada esencialmente por propiedades de simetría. También juega un papel central en la geometría algebraica ; por el teorema de Chow , cualquier subvariedad compleja compacta de CP ⁿ es el lugar geométrico cero de un número finito de polinomios y, por lo tanto, es una variedad algebraica proyectiva . Véase (Griffiths & Harris 1994)

Topología de Zariski

En geometría algebraica , el espacio proyectivo complejo puede estar equipado con otra topología conocida como topología de Zariski (Hartshorne 1977, §II.2). Sea S = C [ Z ₀ ,..., Z _n ] el anillo conmutativo de polinomios en las ( n +1) variables Z ₀ ,..., Z _n . Este anillo se gradúa por el grado total de cada polinomio:

${\displaystyle S=\bigoplus _{n=0}^{\infty }S_{n}.}$

Definimos un subconjunto de CP ⁿ como cerrado si es el conjunto solución simultáneo de una colección de polinomios homogéneos. Declaramos que los complementos de los conjuntos cerrados son abiertos, lo que define una topología (la topología de Zariski) en CP ⁿ .

La estructura como esquema

Otra construcción de CP ⁿ (y su topología de Zariski) es posible. Sea S ₊  ⊂  S el ideal generado por los polinomios homogéneos de grado positivo:

${\displaystyle \bigoplus _{n>0}S_{n}.}$

Defina Proy S como el conjunto de todos los ideales primos homogéneos en S que no contienen S ₊ . Llame cerrado a un subconjunto de Proy S si tiene la forma

${\displaystyle V(I)=\{p\in \operatorname {Proj} S\mid p\supseteq I\}}$

para algún ideal I en S . Los complementos de estos conjuntos cerrados definen una topología en Proj S . El anillo S , por localización en un ideal primo , determina un haz de anillos locales en Proj S . El espacio Proj S , junto con su topología y haz de anillos locales, es un esquema . El subconjunto de puntos cerrados de Proj S es homeomorfo a CP ⁿ con su topología de Zariski. Las secciones locales del haz se identifican con las funciones racionales de grado total cero en CP ⁿ .

Paquetes de líneas

Todos los fibrados lineales en el espacio proyectivo complejo se pueden obtener mediante la siguiente construcción. Una función f  : C ^{n +1} \{0} → C se llama homogénea de grado k si

${\displaystyle f(\lambda z)=\lambda ^{k}f(z)}$

para todo λ ∈ C \{0 } y z ∈ C ^{n +1} \{0 }. De manera más general, esta definición tiene sentido en conos en C ^{n +1} \{0 }. Un conjunto V ⊂ C ^{n +1} \{0 } se llama cono si, siempre que v ∈ V , entonces λv ∈ V para todo λ ∈ C \{0 }; es decir, un subconjunto es un cono si contiene la línea compleja que pasa por cada uno de sus puntos. Si U ⊂ CP ⁿ es un conjunto abierto (tanto en la topología analítica como en la topología de Zariski ), sea V ⊂ C ^{n +1} \{0 } el cono sobre U : la preimagen de U bajo la proyección C ^{n +1} \{0} → CP ⁿ . Finalmente, para cada entero k , sea O ( k )( U ) el conjunto de funciones que son homogéneas de grado k en V . Esto define un haz de secciones de un determinado fibrado lineal, denotado por O ( k ).

En el caso especial k = −1 , el fibrado O (−1) se denomina fibrado lineal tautológico . Se define de manera equivalente como el subfibrado del producto

${\displaystyle \mathbf {C} ^{n+1}\times \mathbf {CP} ^{n}\to \mathbf {CP} ^{n}}$

cuya fibra sobre L ∈ CP ⁿ es el conjunto

${\displaystyle \{(x,L)\mid x\in L\}.}$

Estos fibrados lineales también pueden describirse en el lenguaje de los divisores . Sea H = CP ^{n −1} un hiperplano complejo dado en CP ⁿ . El espacio de funciones meromórficas en CP ⁿ con, como máximo, un polo simple a lo largo de H (y en ningún otro lugar) es un espacio unidimensional, denotado por O ( H ), y llamado fibrado hiperplano . El fibrado dual se denota O (− H ), y la k ^ésima potencia tensorial de O ( H ) se denota por O ( kH ). Este es el haz generado por múltiplos holomorfos de una función meromórfica con un polo de orden k a lo largo de H . Resulta que

${\displaystyle O(kH)\cong O(k).}$

De hecho, si L ( z ) = 0 es una función definitoria lineal para H , entonces L ^{− k} es una sección meromórfica de O ( k ), y localmente las otras secciones de O ( k ) son múltiplos de esta sección.

Como H ¹ ( CP ⁿ , Z ) = 0 , los fibrados lineales en CP ⁿ se clasifican hasta el isomorfismo por sus clases de Chern , que son números enteros: se encuentran en H ² ( CP ⁿ , Z ) = Z . De hecho, las primeras clases de Chern del espacio proyectivo complejo se generan bajo la dualidad de Poincaré por la clase de homología asociada a un hiperplano H . El fibrado lineal O ( kH ) tiene clase de Chern k . Por lo tanto, cada fibrado lineal holomorfo en CP ⁿ es una potencia tensorial de O ( H ) o de O (− H ). En otras palabras, el grupo de Picard de CP ⁿ se genera como un grupo abeliano por la clase de hiperplano [ H ] (Hartshorne 1977).

Véase también

• Desigualdad de Gromov para el espacio proyectivo complejo
• Espacio proyectivo de Hilbert
• Espacio proyectivo cuaterniónico
• Espacio proyectivo real
• Espacio afín complejo
• Superficie K3

Referencias

• Besse, Arthur L. (1978), Múltiples cuyas geodésicas están cerradas , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete [Resultados en matemáticas y áreas afines], vol. 93, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-08158-6.
• Bott, Raoul ; Tu, Loring W. (1982), Formas diferenciales en topología algebraica , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90613-3.
• Brendle, Simon; Schoen, Richard (2008), "Clasificación de variedades con curvaturas débilmente pellizcadas 1/4", Acta Mathematica , 200 : 1–13, arXiv : 0705.3963 , doi :10.1007/s11511-008-0022-7, S2CID  15463483.
• Grattan-Guinness, Ivor (2005), Escritos fundamentales en matemáticas occidentales 1640-1940 , Elsevier, ISBN 978-0-444-50871-3.
• Griffiths, Phillip ; Harris, Joseph (1994), Principios de geometría algebraica , Wiley Classics Library, Nueva York: John Wiley & Sons , ISBN 978-0-471-05059-9, Sr.  1288523.
• Hartshorne, Robin (1977), Geometría algebraica , Textos de posgrado en matemáticas , vol. 52, Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, Sr.  0463157
• Klingenberg, Wilhelm (1982), Geometría de Riemann , Walter de Greuter, ISBN 978-3-11-008673-7.
• Kobayashi, Shoshichi; Nomizu, Katsumi (1996), Fundamentos de geometría diferencial, Volumen II , edición de Wiley Classics Library, ISBN 978-0-471-15732-8.
• Milnor, John Willard ; Stasheff, James D. (1974), Clases características , Princeton University Press , MR  0440554.
• von Staudt, Karl Georg Christian (1860), Beiträge zur Geometrie der Lage , Núremberg{{citation}}: CS1 maint: location missing publisher (link).