La geometría afín , en términos generales, es el estudio de las propiedades geométricas de líneas, planos y sus análogos de dimensiones superiores, en los que se conserva una noción de "paralelo", pero no nociones métricas de distancia o ángulo. Los espacios afines se diferencian de los espacios lineales (es decir, los espacios vectoriales) en que no tienen una elección distinguida de origen. Así, en palabras de Marcel Berger , "Un espacio afín no es más que un espacio vectorial cuyo origen intentamos olvidar, añadiendo traslaciones a las aplicaciones lineales". [1] En consecuencia, un espacio afín complejo , es decir, un espacio afín sobre números complejos , es como un espacio vectorial complejo, pero sin un punto distinguido que sirva como origen.
La geometría afín es una de las dos ramas principales de la geometría algebraica clásica , siendo la otra la geometría proyectiva . Se puede obtener un espacio afín complejo a partir de un espacio proyectivo complejo fijando un hiperplano, que puede considerarse como un hiperplano de puntos ideales "en el infinito" del espacio afín. Para ilustrar la diferencia (sobre los números reales), una parábola en el plano afín corta la línea en el infinito, mientras que una elipse no. Sin embargo, dos secciones cónicas cualesquiera son proyectivamente equivalentes. Así, una parábola y una elipse son iguales cuando se las piensa proyectivamente, pero diferentes cuando se las considera como objetos afines. De manera algo menos intuitiva, en los números complejos, una elipse corta la línea en el infinito en un par de puntos, mientras que una parábola corta la línea en el infinito en un solo punto. Entonces, por una razón ligeramente diferente, una elipse y una parábola no son equivalentes en el plano afín complejo, pero siguen siendo equivalentes en el plano proyectivo (complejo).
Cualquier espacio vectorial complejo es un espacio afín: todo lo que hay que hacer es olvidar el origen (y posiblemente cualquier estructura adicional, como un producto interno ). Por ejemplo, el espacio n complejo puede considerarse como un espacio afín complejo, cuando uno está interesado sólo en sus propiedades afines (a diferencia de sus propiedades lineales o métricas, por ejemplo). Dado que dos espacios afines cualesquiera de la misma dimensión son isomórficos , en algunas situaciones es apropiado identificarlos con , en el entendido de que sólo las nociones afínmente invariantes son en última instancia significativas. Este uso es muy común en la geometría algebraica moderna.
Hay varias formas equivalentes de especificar la estructura afín de un espacio afín complejo de n dimensiones A. El más simple implica un espacio auxiliar V , llamado espacio diferencia , que es un espacio vectorial sobre números complejos. Entonces un espacio afín es un conjunto A junto con una acción simple y transitiva de V sobre A. (Es decir, A es un V -torsor.)
Otra forma es definir una noción de combinación afín, que satisfaga ciertos axiomas. Una combinación afín de puntos p 1 , …, p k ∊ A se expresa como una suma de la forma
donde los escalares a i son números complejos que suman uno.
El espacio de diferencias se puede identificar con el conjunto de "diferencias formales" p − q , módulo la relación que las diferencias formales respetan combinaciones afines de manera obvia.
Una función se llama afín si conserva combinaciones afines. Entonces
para cualquier combinación afín
El espacio de funciones afines A * es un espacio lineal. El espacio vectorial dual de A * es naturalmente isomorfo a un espacio vectorial ( n +1) dimensional F( A ) que es el espacio vectorial libre en A módulo la relación de que la combinación afín en A concuerda con la combinación afín en F( A ) . Mediante esta construcción, la estructura afín del espacio afín A se puede recuperar completamente del espacio de funciones afines.
El álgebra de polinomios en funciones afines en A define un anillo de funciones, llamado anillo de coordenadas afines en geometría algebraica. Este anillo lleva una filtración , por grado en las funciones afines. Por el contrario, es posible recuperar los puntos del espacio afín como el conjunto de homomorfismos de álgebra del anillo de coordenadas afines en los números complejos. A esto se le llama espectro máximo del anillo, porque coincide con su conjunto de ideales máximos . Hay una estructura afín única en este espectro máximo que es compatible con la filtración en el anillo de coordenadas afines.
Un espacio afín complejo unidimensional, o una línea afín compleja, es un torsor para un espacio lineal unidimensional sobre . El ejemplo más simple es el propio plano de Argand de números complejos. Esto tiene una estructura lineal canónica, por lo que "olvidar" el origen le da una estructura afín canónica.
Para otro ejemplo, supongamos que X es un espacio vectorial bidimensional sobre números complejos. Sea un funcional lineal . Es bien sabido que el conjunto de soluciones de α ( x ) = 0 , el núcleo de α , es un subespacio lineal unidimensional (es decir, una recta compleja que pasa por el origen de X ). Pero si c es un número complejo distinto de cero, entonces el conjunto A de soluciones de α ( x ) = c es una recta afín en X , pero no es un subespacio lineal porque no está cerrado bajo una combinación lineal arbitraria. El espacio de diferencias V es el núcleo de α , porque la diferencia de dos soluciones de la ecuación no homogénea α ( x ) = c se encuentra en el núcleo.
Se aplica una construcción análoga a la solución de ecuaciones diferenciales ordinarias lineales de primer orden. Las soluciones de la ecuación diferencial homogénea.
es un espacio lineal unidimensional, mientras que el conjunto de soluciones del problema no homogéneo
es un espacio afín unidimensional A . La solución general es igual a una solución particular de la ecuación, más una solución de la ecuación homogénea. El espacio de soluciones de la ecuación homogénea es el espacio diferencia V.
Consideremos una vez más el caso general de un espacio vectorial bidimensional X equipado con una forma lineal α . Un espacio afín A ( c ) viene dado por la solución α( x ) = c . Observe que, para dos valores diferentes de c distintos de cero , digamos c 1 y c 2 , los espacios afines A ( c 1 ) y A ( c 2 ) son naturalmente isomorfos : escalado por c 2 / c 1 mapas A ( c 1 ) a A ( c 2 ) . Entonces, en realidad sólo hay un espacio afín que vale la pena considerar en esta situación, llámelo A , cuyos puntos son las líneas que pasan por el origen de X y que no se encuentran en el núcleo de α .
Algebraicamente, el espacio afín complejo A que acabamos de describir es el espacio de escisiones de la secuencia exacta
Un plano afín complejo es un espacio afín bidimensional sobre números complejos. Un ejemplo es el espacio de coordenadas complejo bidimensional . Tiene una estructura lineal natural y, por lo tanto, hereda una estructura afín bajo el functor olvidadizo. Otro ejemplo es el conjunto de soluciones de una ecuación diferencial ordinaria lineal no homogénea de segundo orden (sobre números complejos). Finalmente, en analogía con el caso unidimensional, el espacio de escisiones de una secuencia exacta
es un espacio afín de dimensión dos.
El grupo de espín conforme del grupo de Lorentz es SU (2,2), que actúa sobre un espacio vectorial complejo de cuatro dimensiones T (llamado espacio twistor ). El grupo conformal de Poincaré, como subgrupo de SU(2,2), estabiliza una secuencia exacta de la forma
donde Π es un subespacio isotrópico máximo de T . El espacio de escisiones de esta secuencia es un espacio afín de cuatro dimensiones: el espacio de Minkowski (complejizado) .
Sea A un espacio afín de n dimensiones. Una colección de n funciones afines afínmente independientes es un sistema de coordenadas afín en A. Un sistema de coordenadas afín en A establece una biyección de A con el espacio de coordenadas complejo , cuyos elementos son n -tuplas de números complejos.
Por el contrario, a veces se lo denomina espacio n afín complejo , donde se entiende que es su estructura como espacio afín (a diferencia de, por ejemplo, su condición de espacio lineal o espacio de coordenadas ) lo que es de interés. . Este uso es típico en geometría algebraica .
Un espacio afín complejo A tiene una terminación proyectiva canónica P ( A ), definida de la siguiente manera. Forme el espacio vectorial F( A ) que es el espacio vectorial libre en A módulo la relación de que la combinación afín en F( A ) concuerda con la combinación afín en A . Entonces tenue F( A ) = n + 1 , donde n es la dimensión de A . La terminación proyectiva de A es el espacio proyectivo de subespacios lineales complejos unidimensionales de F ( A ).
El grupo Aut( P ( A )) = PGL(F( A )) ≅ PGL( n + 1, C ) actúa sobre P ( A ). El estabilizador del hiperplano en el infinito es un subgrupo parabólico, que es el grupo de automorfismo de A. Es isomorfo (pero no naturalmente isomorfo) a un producto semidirecto del grupo GL( V ) y V . El subgrupo GL( V ) es el estabilizador de algún punto de referencia fijo o (un "origen") en A , actuando como el grupo de automorfismo lineal del espacio del vector que emana de o , y V actúa por traducción.
El grupo de automorfismos del espacio proyectivo P ( A ) como variedad algebraica no es otro que el grupo de colineaciones PGL(F( A )) . Por el contrario, el grupo de automorfismos del espacio afín A como variedad algebraica es mucho mayor. Por ejemplo, considere el automapa del plano afín definido en términos de un par de coordenadas afines por
donde f es un polinomio en una sola variable. Este es un automorfismo de variedad algebraica, pero no un automorfismo de estructura afín. El determinante jacobiano de tal automorfismo algebraico es necesariamente una constante distinta de cero. Se cree que si el jacobiano de un automapa de un espacio afín complejo es una constante distinta de cero, entonces el mapa es un automorfismo (algebraico). Esto se conoce como la conjetura jacobiana .
Una función en un espacio afín complejo es holomorfa si su conjugado complejo se deriva de Lie a lo largo del espacio diferencial V. Esto le da a cualquier espacio afín complejo la estructura de una variedad compleja .
Toda función afín desde A hasta los números complejos es holomorfa. Por tanto, también lo es todo polinomio en funciones afines.
Hay dos topologías en un espacio afín complejo que se utilizan comúnmente.
La topología analítica es la topología inicial para la familia de funciones afines en los números complejos, donde los números complejos llevan su topología euclidiana habitual inducida por el valor absoluto complejo como norma. Esta es también la topología inicial de la familia de funciones holomorfas.
La topología analítica tiene una base formada por polidiscos . Asociado a cualesquiera n funciones afines independientes en A , el polidisco unitario se define por
Cualquier conjunto abierto en la topología analítica es la unión de una colección contable de polidiscos unitarios.
La topología de Zariski es la topología inicial para las funciones afines de valores complejos, pero en su lugar le da a la línea compleja la topología de complemento finito. Entonces , en la topología de Zariski, un subconjunto de A es cerrado si y sólo si es el conjunto cero de alguna colección de funciones polinómicas de valores complejos en A. Una subbase de la topología de Zariski es la colección de complementos de conjuntos algebraicos irreducibles.
La topología analítica es más fina que la topología de Zariski, lo que significa que cada conjunto que está abierto en la topología de Zariski también está abierto en la topología analítica. Lo contrario no es cierto. Un polidisco, por ejemplo, está abierto en la topología analítica pero no en la topología de Zariski.
Una métrica se puede definir en un espacio afín complejo, convirtiéndolo en un espacio euclidiano , seleccionando un producto interno en V. La distancia entre dos puntos p y q de A está entonces dada en términos de la norma asociada en V por
Las bolas abiertas asociadas a la métrica forman la base de una topología, que es igual a la topología analítica.
La familia de funciones holomorfas en un espacio afín complejo A forma un haz de anillos sobre él. Por definición, tal haz asocia a cada subconjunto abierto (analítico) U de A el anillo de todas las funciones holomorfas de valores complejos en U.
La unicidad de la continuación analítica dice que dados dos funciones holomorfas en un subconjunto abierto conectado U de C n , si coinciden en un subconjunto abierto no vacío de U , concuerdan en U. En términos de la teoría de la gavilla, la unicidad implica que , cuando se ve como un espacio étalé , es un espacio topológico de Hausdorff .
El teorema de coherencia de Oka establece que la estructura de un espacio afín complejo es coherente . Éste es el resultado fundamental en la teoría de funciones de varias variables complejas ; por ejemplo, implica inmediatamente que el haz estructural de un espacio analítico complejo (por ejemplo, una variedad compleja ) es coherente.
Todo espacio afín complejo es un dominio de holomorfia . En particular, se trata de una variedad Stein .
