Un espacio analítico es una generalización de una variedad analítica que permite singularidades . Un espacio analítico es un espacio que es localmente igual a una variedad analítica . Son prominentes en el estudio de varias variables complejas , pero también aparecen en otros contextos.
Fijemos un cuerpo k con una valuación. Supongamos que el cuerpo es completo y no discreto con respecto a esta valuación. Por ejemplo, esto incluye R y C con respecto a sus valores absolutos habituales, así como cuerpos de series de Puiseux con respecto a sus valuaciones naturales.
Sea U un subconjunto abierto de k n , y sea f 1 , ..., f k una colección de funciones analíticas en U . Denotemos por Z el lugar geométrico de desaparición común de f 1 , ..., f k , es decir, sea Z = { x | f 1 ( x ) = ... = f k ( x ) = 0 }. Z es una variedad analítica.
Supongamos que el haz de estructura de U es . Entonces Z tiene un haz de estructura , donde es el ideal generado por f 1 , ..., f k . En otras palabras, el haz de estructura de Z consta de todas las funciones en U módulo las posibles formas en que pueden diferir fuera de Z .
Un espacio analítico es un espacio anillado localmente tal que alrededor de cada punto x de X existe un entorno abierto U tal que es isomorfo (como los espacios anillados localmente) a una variedad analítica con su haz de estructura. Tal isomorfismo se denomina modelo local para X en x .
Un mapeo analítico o morfismo de espacios analíticos es un morfismo de espacios anillados localmente.
Esta definición es similar a la definición de un esquema . La única diferencia es que para un esquema, los modelos locales son espectros de anillos , mientras que para un espacio analítico, los modelos locales son variedades analíticas. Debido a esto, las teorías básicas de los espacios analíticos y de los esquemas son muy similares. Además, las variedades analíticas tienen un comportamiento mucho más simple que los anillos conmutativos arbitrarios (por ejemplo, las variedades analíticas se definen sobre cuerpos y siempre son de dimensión finita), por lo que los espacios analíticos se comportan de manera muy similar a los esquemas de tipo finito sobre un cuerpo.
Cada punto de un espacio analítico tiene una dimensión local. La dimensión en x se obtiene eligiendo un modelo local en x y determinando la dimensión local de la variedad analítica en el punto correspondiente a x .
Cada punto en un espacio analítico tiene un espacio tangente . Si x es un punto de X y m x es el haz ideal de todas las funciones que se anulan en x , entonces el espacio cotangente en x es m x / m x 2. El espacio tangente es ( m x / m x 2 ) * , el espacio vectorial dual al espacio cotangente. Las aplicaciones analíticas inducen aplicaciones de empuje hacia adelante en espacios tangentes y aplicaciones de retroceso en espacios cotangentes.
La dimensión del espacio tangente en x se denomina dimensión de incrustación en x . Al observar un modelo local, es fácil ver que la dimensión siempre es menor o igual que la dimensión de incrustación.
Un espacio analítico se denomina liso en x si tiene un modelo local en x que es un subconjunto abierto de k n para algún n . El espacio analítico se denomina liso si es liso en cada punto, y en este caso es una variedad analítica . El subconjunto de puntos en los que un espacio analítico no es liso es un subconjunto analítico cerrado.
Un espacio analítico se reduce si cada modelo local del espacio está definido por un haz radical de ideales. Un espacio analítico X que no está reducido tiene una reducción X red , un espacio analítico reducido con el mismo espacio topológico subyacente. Existe un morfismo canónico r : X red → X . Todo morfismo de X a un espacio analítico reducido se factoriza a través de r .
Un espacio analítico es normal si cada tallo del haz de estructura es un anillo normal (es decir, un dominio integral cerrado integralmente). En un espacio analítico normal, el lugar geométrico singular tiene codimensión al menos dos. Cuando X es una intersección completa local en x , entonces X es normal en x .
Los espacios analíticos no normales se pueden suavizar para formar espacios normales de manera canónica. Esta construcción se llama normalización . La normalización N ( X ) de un espacio analítico X viene con una función canónica ν : N ( X ) → X . Todo morfismo dominante de un espacio analítico normal a X se factoriza a través de ν.
Un espacio analítico es coherente si su haz de estructura es un haz coherente . Un haz coherente de -módulos se denomina haz analítico coherente . Por ejemplo, en un espacio coherente, los haces localmente libres y los haces de ideales son haces analíticos coherentes.
Los espacios analíticos sobre cuerpos algebraicamente cerrados son coherentes. En el caso complejo, esto se conoce como el teorema de coherencia de Oka . Esto no es cierto sobre cuerpos no algebraicamente cerrados; hay ejemplos de espacios analíticos reales que no son coherentes.
En algunas situaciones, el concepto de espacio analítico es demasiado restrictivo. Esto suele deberse a que el campo base tiene una estructura adicional que no se captura en los conjuntos analíticos. En estas situaciones, existen generalizaciones de espacios analíticos que permiten una mayor flexibilidad en los espacios de modelos locales.
Por ejemplo, sobre los números reales, considere el círculo x 2 + y 2 = 1 . El círculo es un subconjunto analítico del espacio analítico R 2 . Pero su proyección sobre el eje x es el intervalo cerrado [−1, 1] , que no es un conjunto analítico. Por lo tanto, la imagen de un conjunto analítico bajo una función analítica no es necesariamente un conjunto analítico. Esto se puede evitar trabajando con conjuntos subanalíticos , que son mucho menos rígidos que los conjuntos analíticos pero que no están definidos sobre cuerpos arbitrarios. La generalización correspondiente de un espacio analítico es un espacio subanalítico. (Sin embargo, bajo hipótesis de topología de conjuntos puntuales suaves , resulta que los espacios subanalíticos son esencialmente equivalentes a los conjuntos subanalíticos).
