Variedad analítica compleja

En matemáticas , y en particular en geometría diferencial y geometría compleja , una variedad analítica compleja ^{[nota 1]} o espacio analítico complejo es una generalización de una variedad compleja que permite la presencia de singularidades . Las variedades analíticas complejas son espacios localmente anillados que son localmente isomórficos a los espacios modelo locales, donde un espacio modelo local es un subconjunto abierto del lugar de desaparición de un conjunto finito de funciones holomorfas .

Definición

Denota la gavilla constante en un espacio topológico con valor por . Un espacio es un espacio localmente anillado , cuya estructura es un haz de álgebra . $\mathbb {C}$ ${\underline {\mathbb {C} }}$ $\mathbb {C}$ $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ ${\underline {\mathbb {C} }}$

Elija un subconjunto abierto de algún espacio afín complejo y fije un número finito de funciones holomorfas en . Sea el lugar de desaparición común de estas funciones holomorfas, es decir, . Defina un haz de anillos en dejando ser la restricción a de , donde está el haz de funciones holomorfas en . Entonces el espacio anillado localmente es un espacio modelo local . $U$ $\mathbb {C} ^{n}$ $f_{1},\dots,f_{k}$ $U$ $X=V(f_{1},\dots,f_{k})$ $X=\{x\mid f_{1}(x)=\cdots =f_{k}(x)=0\}$ $X$ ${\mathcal {O}}_{X}$ $X$ ${\mathcal {O}}_{U}/(f_{1},\ldots,f_{k})$ ${\mathcal {O}}_{U}$ $U$ $\mathbb {C}$ $(X,{\mathcal {O}}_{X})$

Una variedad analítica compleja es un espacio localmente anillado que es localmente isomorfo a un espacio modelo local. $\mathbb {C}$ $(X,{\mathcal {O}}_{X})$

Los morfismos de variedades analíticas complejas se definen como morfismos de los espacios anillados localmente subyacentes; también se les llama mapas holomórficos. Un haz de estructura puede tener un elemento nilpotente, ^[1] y además, cuando el espacio analítico complejo cuyo haz de estructura se reduce, entonces el espacio analítico complejo se reduce, es decir, el espacio analítico complejo no puede reducirse.

Un espacio analítico complejo asociado (variedad) es tal que; ^[1] $X_{h}$

Sea X esquemas de tipo finito sobre y cubra X con un subconjunto afín abierto ( ) ( espectro de un anillo ). Entonces cada una es un álgebra de tipo finito sobre , y . Donde están los polinomios en , que pueden considerarse como una función holomorfa en . Por tanto, su cero común del conjunto es el subespacio analítico complejo . Aquí, el esquema X se obtiene pegando los datos del conjunto , y luego los mismos datos se pueden usar para pegar el espacio analítico complejo en un espacio analítico complejo , por lo que llamamos un espacio analítico complejo asociado con X. El espacio analítico complejo X es reducido si y sólo si el espacio analítico complejo asociado se reduce. ^[2]

\mathbb {C}

Y_{i}=\operatorname {Especificación} A_{i}

X=\taza Y_{i}

{\ Displaystyle A_ {i}}

\mathbb {C}

A_{i}\simeq \mathbb {C} [z_{1},\dots,z_{n}]/(f_{1},\dots,f_{m})

f_{1},\dots,f_{m}

z_{1},\dots,z_{n}

\mathbb {C}

(Y_{i})_{h}\subseteq \mathbb {C}

Y_{i}

(Y_{i})_{h}

X_{h}

X_{h}

X_{h}

Ver también

Variedad algebraica - En términos generales, una variedad analítica (compleja) es un lugar cero de un conjunto de una función analítica (compleja), mientras que una variedad algebraica es un lugar cero de un conjunto de una función polinómica y permite un punto singular.
Espacio analítico
Variedad algebraica compleja
GAGÁ
Espacio analítico rígido

Nota

^ ab Hartshorne 1977, pág. 439.
^ Grothendieck y Raynaud (2002) (SGA 1 §XII. Proposición 2.1.)

Anotación

^ A veces se requiere que la variedad analítica compleja (o simplemente la variedad) sea irreducible y (o) reducida

Referencias

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Lectura futura

Huckleberry, Alan (2013). "Hans Grauert (1930-2011)". Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung . 115 : 21–45. doi :10.1365/s13291-013-0061-7. S2CID 256084531.

enlaces externos

Kiran Kedlaya. 18.726 Geometría algebraica (LEC # 30 - 33 GAGA) Primavera de 2009. Instituto de Tecnología de Massachusetts: MIT OpenCourseWare Creative Commons BY-NC-SA .
Tasty Bits of Varias variables complejas (p. 137) libro de código abierto de Jiří Lebl BY-NC-SA .
Onishchik, AL (2001) [1994], "Espacio analítico", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
El'kin, AG (2001) [1994], "Conjunto analítico", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press