Variedad analítica compleja

Generalización de una variedad compleja que permite el uso de singularidades

En matemáticas , y en particular en geometría diferencial y geometría compleja , una variedad analítica compleja ^{[nota 1]} o espacio analítico complejo es una generalización de una variedad compleja que permite la presencia de singularidades . Las variedades analíticas complejas son espacios anillados localmente que son localmente isomorfos a los espacios modelo locales, donde un espacio modelo local es un subconjunto abierto del lugar geométrico de desaparición de un conjunto finito de funciones holomorfas .

Definición

Denotemos el haz constante en un espacio topológico con valor por . Un -espacio es un espacio anillado localmente , cuya estructura haz es un álgebra sobre . ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle {\underline {\mathbb {C} }}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$ ${\displaystyle {\underline {\mathbb {C} }}}$

Elija un subconjunto abierto de algún espacio afín complejo y fije un número finito de funciones holomorfas en . Sea el lugar geométrico de desaparición común de estas funciones holomorfas, es decir, . Defina un haz de anillos en haciendo que sea la restricción a de , donde es el haz de funciones holomorfas en . Entonces el espacio anillado localmente es un espacio modelo local . ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle f_{1},\dots ,f_{k}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X=V(f_{1},\dots ,f_{k})}$ ${\displaystyle X=\{x\mid f_{1}(x)=\cdots =f_{k}(x)=0\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{U}/(f_{1},\ldots ,f_{k})}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{U}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$

Una variedad analítica compleja es un espacio anillado localmente que es localmente isomorfo a un espacio modelo local. ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$

Los morfismos de variedades analíticas complejas se definen como morfismos de los espacios anillados localmente subyacentes, también se denominan mapas holomorfos. Un haz de estructura puede tener un elemento nilpotente, ^[1] y también, cuando el espacio analítico complejo cuyo haz de estructura se reduce, entonces el espacio analítico complejo se reduce, es decir, el espacio analítico complejo puede no reducirse.

Un espacio analítico complejo asociado (variedad) es tal que; ^[1] ${\displaystyle X_{h}}$

Sea X un esquema de tipo finito sobre , y cubra X con un subconjunto afín abierto ( ) ( Espectro de un anillo ). Entonces cada uno es un álgebra de tipo finito sobre , y . Donde son polinomios en , que pueden considerarse como una función holomorfa en . Por lo tanto, su cero común del conjunto es el subespacio analítico complejo . Aquí, el esquema X se obtiene pegando los datos del conjunto , y luego los mismos datos se pueden usar para pegar el espacio analítico complejo en un espacio analítico complejo , por lo que llamamos un espacio analítico complejo asociado con X. El espacio analítico complejo X se reduce si y solo si el espacio analítico complejo asociado se reduce. ^[2] ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle Y_{i}=\operatorname {Spec} A_{i}}$ ${\displaystyle X=\cup Y_{i}}$ ${\displaystyle A_{i}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle A_{i}\simeq \mathbb {C} [z_{1},\dots ,z_{n}]/(f_{1},\dots ,f_{m})}$ ${\displaystyle f_{1},\dots ,f_{m}}$ ${\displaystyle z_{1},\dots ,z_{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle (Y_{i})_{h}\subseteq \mathbb {C} }$ ${\displaystyle Y_{i}}$ ${\displaystyle (Y_{i})_{h}}$ ${\displaystyle X_{h}}$ ${\displaystyle X_{h}}$ ${\displaystyle X_{h}}$

Véase también

• Variedad algebraica - En términos generales, una variedad analítica (compleja) es un lugar cero de un conjunto de una función analítica (compleja), mientras que una variedad algebraica es un lugar cero de un conjunto de una función polinómica y permite un punto singular.
• Espacio analítico
• Variedad algebraica compleja
• GAGÁ
• Espacio analítico rígido

Nota

1. Hartshorne 1977, pág. 439.
2. Grothendieck y Raynaud (2002) (SGA 1 §XII. Proposición 2.1.)

Anotación

1. A veces se requiere que la variedad analítica compleja (o simplemente variedad) sea irreducible y (o) reducida.

Referencias

• Aroca, José Manuel; Hironaka, Heisuke; Vicente, José Luis (3 de noviembre de 2018). Desingularización analítica compleja. doi :10.1007/978-4-431-49822-3. ISBN 978-4-431-49822-3.
• Florecer, Tomás; Herrera, Miguel (1969). "Cohomología de De Rham de un espacio analítico". Invenciones Mathematicae . 7 (4): 275–296. Código Bib : 1969 InMat...7..275B. doi :10.1007/BF01425536. S2CID  122113902.
• Cartan, H .; Bruhat, F.; Cerf, Jean.; Dolbeault, P.; Frenkel, Jean.; Hervé, Michel; malaciano.; Serre, JP. "Séminaire Henri Cartan, Tomo 4 (1951-1952)".(Nº 10-13)
• Fischer, G. (14 de noviembre de 2006). Geometría analítica compleja. Springer. ISBN 978-3-540-38121-1.
• Gunning, Robert Clifford; Rossi, Hugo (2009). "Capítulo III. Variedad (Sección B. Portada analítica)". Funciones analíticas de varias variables complejas . American Mathematical Soc. ISBN 9780821821657.
• Gunning, Robert Clifford; Rossi, Hugo (2009). "Capítulo V. Espacio analítico". Funciones analíticas de varias variables complejas . American Mathematical Soc. ISBN 9780821821657.
• Grauert, Hans; Remmert, Reinhold (1958). "Komplex Räume". Annalen Matemáticas . 136 (3): 245–318. doi :10.1007/BF01362011. S2CID  121348794.
• Grauert, H.; Remmert, R. (6 de diciembre de 2012). Haces analíticos coherentes. Springer. ISBN 978-3-642-69582-7.
• Grauert, H.; Peternell, Thomas; Remmert, R. (9 de marzo de 2013). Varias variables complejas VII: métodos teóricos de haces en análisis complejo . Springer. ISBN 978-3-662-09873-8.
• Grothendieck, Alejandro ; Raynaud, Michele (2002). "Revêtements étales et groupe fondamental§XII. Géométrie algébrique et géométrie analytique". Revêtements étales et groupe fondamental (SGA 1) (en francés). arXiv : matemáticas/0206203 . doi :10.1007/BFb0058656. ISBN 978-2-85629-141-2.
• Hartshorne, Robin (1970). Amplias subvariedades de variedades algebraicas. Apuntes de clase de matemáticas. Vol. 156. doi :10.1007/BFb0067839. ISBN 978-3-540-05184-8.
• Hartshorne, Robin (1977). Geometría algebraica. Textos de posgrado en matemáticas. Vol. 52. Berlín, Nueva York: Springer-Verlag . doi :10.1007/978-1-4757-3849-0. ISBN . 978-0-387-90244-9. Sr.  0463157. S2CID  197660097. Zbl  0367.14001.
• Huckleberry, Alan (2013). "Hans Grauert (1930-2011)". Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung . 115 : 21–45. arXiv : 1303.6933 . doi :10.1365/s13291-013-0061-7. S2CID  119685542.
• Remmert, Reinhold (1998). "De las superficies de Riemann a los espacios complejos". Seminarios y Congresos . Zbl  1044.01520.
• Serre, Jean-Pierre (1956). "Géométrie algébrique et géométrie analytique". Anales del Instituto Fourier . 6 : 1–42. doi : 10.5802/aif.59 . ISSN  0373-0956. SEÑOR  0082175.
• Tognoli, A. (2 de junio de 2011). Tognoli, A (ed.). Singularidades de los espacios analíticos: conferencias impartidas en una escuela de verano del Centro Internazionale Matematico Estivo (CIME) celebrada en Bressanone (Bolzano), Italia, del 16 al 25 de junio de 1974. doi :10.1007/978-3-642-10944-7. ISBN 978-3-642-10944-7.
• "Capítulo II. Preliminares". Descomposición de Zariski y abundancia. Memorias de la Sociedad Matemática de Japón. Vol. 14. Sociedad Matemática de Japón. 2004. págs. 13-78. doi :10.2969/msjmemoirs/01401C020. ISBN 978-4-931469-31-0.
• Flores, Arturo Giles; Teissier, Bernard (2018). "Variedades polares locales en el estudio geométrico de singularidades". Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse: Mathématiques . 27 (4): 679–775. arXiv : 1607.07979 . doi :10.5802/afst.1582. S2CID  119150240.

Lectura futura

• Huckleberry, Alan (2013). "Hans Grauert (1930-2011)". Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung . 115 : 21–45. doi :10.1365/s13291-013-0061-7. S2CID  256084531.

Enlaces externos

• Kiran Kedlaya. 18.726 Geometría algebraica (LEC # 30 - 33 GAGA) Primavera de 2009. Instituto Tecnológico de Massachusetts: MIT OpenCourseWare Creative Commons BY-NC-SA .
• Deliciosos fragmentos de varias variables complejas (p. 137), libro de código abierto de Jiří Lebl BY-NC-SA .
• Onishchik, AL (2001) [1994], "Espacio analítico", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• El'kin, AG (2001) [1994], "Conjunto analítico", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press