Espectro de un anillo

Conjunto de ideales principales de un anillo.

En álgebra conmutativa , el espectro primo (o simplemente el espectro ) de un anillo conmutativo R es el conjunto de todos los ideales primos de R , y generalmente se denota por ; ^[1] en geometría algebraica es simultáneamente un espacio topológico equipado con un haz de anillos . ^[2] ${\displaystyle \operatorname {Spec} {R}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$

Topología de Zariski

Para cualquier ideal I de R , defina como el conjunto de ideales primos que contienen I. Podemos poner una topología definiendo la colección de conjuntos cerrados como ${\displaystyle V_{I}}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} (R)}$

${\displaystyle \{V_{I}\colon I{\text{ is an ideal of }}R\}.}$

Esta topología se llama topología de Zariski .

Se puede construir una base para la topología de Zariski de la siguiente manera. Para f ∈ R , defina D _f como el conjunto de ideales primos de R que no contienen f . Entonces cada D _f es un subconjunto abierto de y es una base para la topología de Zariski. ${\displaystyle \operatorname {Spec} (R)}$ ${\displaystyle \{D_{f}:f\in R\}}$

${\displaystyle \operatorname {Spec} (R)}$es un espacio compacto , pero casi nunca Hausdorff : de hecho, los ideales máximos en R son precisamente los puntos cerrados en esta topología. Por el mismo razonamiento, no es, en general, un espacio T 1 . ^[3] Sin embargo, siempre es un espacio de Kolmogorov (satisface el axioma T _{0 );} también es un espacio espectral . ${\displaystyle \operatorname {Spec} (R)}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} (R)}$

Gavillas y esquemas.

Dado el espacio con la topología de Zariski, la estructura de haz se define en los subconjuntos abiertos distinguidos estableciendo la localización de R por las potencias de f . Se puede demostrar que esto define una gavilla B y por lo tanto que define una gavilla . Con más detalle, los subconjuntos abiertos distinguidos son una base de la topología de Zariski, por lo que para un conjunto abierto arbitrario U , escrito como la unión de , establecemos dónde denota el límite con respecto a los homomorfismos de los anillos naturales . Se puede comprobar que este prehaz es una gavilla, también lo es un espacio anillado . Cualquier espacio anillado isomorfo a uno de esta forma se denomina esquema afín . Los esquemas generales se obtienen pegando esquemas afines. ${\displaystyle X=\operatorname {Spec} (R)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle D_{f}}$ ${\displaystyle \Gamma (D_{f},{\mathcal {O}}_{X})=R_{f},}$ ${\textstyle U=\bigcup _{i\in I}D_{f_{i}}}$ ${\textstyle \Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X})=\varprojlim _{i\in I}R_{f_{i}},}$ ${\displaystyle \varprojlim }$ ${\displaystyle R_{f}\to R_{fg}.}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} (R)}$

De manera similar, para un módulo M sobre el anillo R , podemos definir una gavilla en . En los subconjuntos abiertos distinguidos establecidos utilizando la localización de un módulo . Como se indicó anteriormente, esta construcción se extiende a un prehaz en todos los subconjuntos abiertos de y satisface el axioma de pegado . Un haz de esta forma se llama haz cuasicoherente . ${\displaystyle {\tilde {M}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} (R)}$ ${\displaystyle \Gamma (D_{f},{\tilde {M}})=M_{f},}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} (R)}$

Si P es un punto en , es decir, un ideal primo, entonces el tallo de la estructura en P es igual a la localización de R en el ideal P , y este es un anillo local . En consecuencia, es un espacio localmente anillado . ${\displaystyle \operatorname {Spec} (R)}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} (R)}$

Si R es un dominio integral , con campo de fracciones K , entonces podemos describir el anillo de manera más concreta de la siguiente manera. Decimos que un elemento f en K es regular en un punto P en X si se puede representar como una fracción f = a / b con b no en P. Tenga en cuenta que esto concuerda con la noción de función regular en geometría algebraica. Usando esta definición, podemos describir con precisión el conjunto de elementos de K que son regulares en todo punto P en U. ${\displaystyle \Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X})}$ ${\displaystyle \Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X})}$

Perspectiva funcional

Es útil utilizar el lenguaje de la teoría de categorías y observar que es un funtor . Cada homomorfismo de anillo induce un mapa continuo (ya que la preimagen de cualquier ideal primo en es un ideal primo en ). De esta forma, puede verse como un functor contravariante desde la categoría de anillos conmutativos a la categoría de espacios topológicos. Además, para cada primo el homomorfismo desciende a homomorfismos ${\displaystyle \operatorname {Spec} }$ ${\displaystyle f:R\to S}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} (f):\operatorname {Spec} (S)\to \operatorname {Spec} (R)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} }$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{f^{-1}({\mathfrak {p}})}\to {\mathcal {O}}_{\mathfrak {p}}}$

de anillos locales. Así, incluso se define un funtor contravariante de la categoría de anillos conmutativos a la categoría de espacios localmente anillados . De hecho, es el funtor universal y, por lo tanto, puede usarse para definir el funtor hasta el isomorfismo natural . ^{[ cita necesaria ]} ${\displaystyle \operatorname {Spec} }$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} }$

El functor produce una equivalencia contravariante entre la categoría de anillos conmutativos y la categoría de esquemas afines ; A menudo se piensa que cada una de estas categorías es la categoría opuesta a la otra. ${\displaystyle \operatorname {Spec} }$

Motivación desde la geometría algebraica.

Siguiendo con el ejemplo, en geometría algebraica se estudian conjuntos algebraicos , es decir, subconjuntos de K ⁿ (donde K es un campo algebraicamente cerrado ) que se definen como los ceros comunes de un conjunto de polinomios en n variables. Si A es un conjunto algebraico, se considera el anillo conmutativo R de todas las funciones polinomiales A → K . Los ideales máximos de R corresponden a los puntos de A (porque K es algebraicamente cerrado), y los ideales primos de R corresponden a las subvariedades de A (un conjunto algebraico se llama irreducible o variedad si no puede escribirse como la unión de dos subconjuntos algebraicos propios).

Por tanto , el espectro de R consta de los puntos de A junto con elementos de todas las subvariedades de A. Los puntos de A están cerrados en el espectro, mientras que los elementos correspondientes a subvariedades tienen un cierre formado por todos sus puntos y subvariedades. Si sólo se consideran los puntos de A , es decir, los ideales máximos en R , entonces la topología de Zariski definida anteriormente coincide con la topología de Zariski definida en conjuntos algebraicos (que tiene precisamente los subconjuntos algebraicos como conjuntos cerrados). Específicamente, los ideales máximos en R , es decir , junto con la topología de Zariski, son homeomorfos a A también con la topología de Zariski. ${\displaystyle \operatorname {MaxSpec} (R)}$

Por tanto, se puede ver el espacio topológico como un "enriquecimiento" del espacio topológico A (con topología de Zariski): para cada subvariedad de A , se ha introducido un punto no cerrado adicional, y este punto "sigue la pista" de la subvariedad correspondiente . Se piensa en este punto como el punto genérico de la subvariedad. Además, el haz de funciones polinomiales en A y el haz de funciones polinómicas en A son esencialmente idénticos. Al estudiar espectros de anillos polinómicos en lugar de conjuntos algebraicos con topología de Zariski, se pueden generalizar los conceptos de geometría algebraica a campos no algebraicamente cerrados y más allá, llegando eventualmente al lenguaje de esquemas . ${\displaystyle \operatorname {Spec} (R)}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} (R)}$

Ejemplos

• El espectro de números enteros: El esquema afín es el objeto final en la categoría de esquemas afines ya que es el objeto inicial en la categoría de anillos conmutativos. ${\displaystyle \operatorname {Spec} (\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$
• El análogo teórico de esquemas de : El esquema afín . Desde la perspectiva del functor de puntos, un punto se puede identificar con el morfismo de evaluación . Esta observación fundamental nos permite dar significado a otros esquemas afines. ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {C} }^{n}=\operatorname {Spec} (\mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}])}$ ${\displaystyle (\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})\in \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}]{\xrightarrow {ev_{(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})}}}\mathbb {C} }$
• La cruz: topológicamente se parece a la intersección transversal de dos planos complejos en un punto, aunque normalmente se representa como un , ya que los únicos morfismos bien definidos son los morfismos de evaluación asociados con los puntos . ${\displaystyle \operatorname {Spec} (\mathbb {C} [x,y]/(xy))}$ ${\displaystyle +}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \{(\alpha _{1},0),(0,\alpha _{2}):\alpha _{1},\alpha _{2}\in \mathbb {C} \}}$
• El espectro principal de un anillo booleano (p. ej., un anillo de potencia ) es un espacio de Hausdorff compacto totalmente desconectado (es decir, un espacio de Stone ). ^[4]
• ( M. Hochster ) Un espacio topológico es homeomorfo al espectro primo de un anillo conmutativo (es decir, un espacio espectral ) si y sólo si es compacto, cuasi-separado y sobrio . ^[5]

Ejemplos no afines

A continuación se muestran algunos ejemplos de esquemas que no son esquemas afines. Se construyen pegando esquemas afines.

• El espacio proyectivo sobre un campo . Esto se puede generalizar fácilmente a cualquier anillo base, consulte Construcción del proyecto (de hecho, podemos definir el espacio proyectivo para cualquier esquema base). El espacio proyectivo for no es afín como lo es la sección global de . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {P} _{k}^{n}=\operatorname {Proj} k[x_{0},\ldots ,x_{n}]}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n\geq 1}$ ${\displaystyle \mathbb {P} _{k}^{n}}$ ${\displaystyle k}$
• Plano afín menos el origen. ^[6] En su interior se distinguen subesquemas afines abiertos . Su unión es el plano afín con el origen sacado. Las secciones globales de son pares de polinomios que se restringen al mismo polinomio en , que se puede demostrar que es la sección global de . no es afín como en . ${\displaystyle \mathbb {A} _{k}^{2}=\operatorname {Spec} \,k[x,y]}$ ${\displaystyle D_{x},D_{y}}$ ${\displaystyle D_{x}\cup D_{y}=U}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle D_{x},D_{y}}$ ${\displaystyle D_{xy}}$ ${\displaystyle k[x,y]}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{k}^{2}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V_{(x)}\cap V_{(y)}=\varnothing }$ ${\displaystyle U}$

Topologías que no son Zariski en un espectro principal

Algunos autores (en particular M. Hochster) consideran topologías en espectros principales distintas de la topología de Zariski.

Primero, está la noción de topología construible : dado un anillo A , los subconjuntos de la forma satisfacen los axiomas de conjuntos cerrados en un espacio topológico. Esta topología se llama topología construible. ^{[7] [8]} ${\displaystyle \operatorname {Spec} (A)}$ ${\displaystyle \varphi ^{*}(\operatorname {Spec} B),\varphi :A\to B}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} (A)}$

En Hochster (1969), Hochster considera lo que él llama topología de parche en un espectro primario. ^{[9] [10] [11]} Por definición, la topología de parche es la topología más pequeña en la que los conjuntos de formas y son cerrados. ${\displaystyle V(I)}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} (A)-V(f)}$

Especificaciones globales o relativas

Existe una versión relativa del funtor llamada global o relativa . Si es un esquema, entonces relativo se denota por o . Si se desprende del contexto, entonces la especificación relativa puede denotarse por o . Para un esquema y un conjunto cuasi coherente de -álgebras , hay un esquema y un morfismo tal que para cada afín abierto , hay un isomorfismo , y tal que para afines abiertos , la inclusión es inducida por el mapa de restricción . Es decir, como los homomorfismos de anillo inducen mapas de espectros opuestos, los mapas de restricción de un haz de álgebras inducen los mapas de inclusión de los espectros que forman la especificación del haz. ${\displaystyle \operatorname {Spec} }$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} }$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} }$ ${\displaystyle {\underline {\operatorname {Spec} }}_{S}}$ ${\displaystyle \mathbf {Spec} _{S}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\underline {\operatorname {Spec} }}}$ ${\displaystyle \mathbf {Spec} }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{S}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\underline {\operatorname {Spec} }}_{S}({\mathcal {A}})}$ ${\displaystyle f:{\underline {\operatorname {Spec} }}_{S}({\mathcal {A}})\to S}$ ${\displaystyle U\subseteq S}$ ${\displaystyle f^{-1}(U)\cong \operatorname {Spec} ({\mathcal {A}}(U))}$ ${\displaystyle V\subseteq U}$ ${\displaystyle f^{-1}(V)\to f^{-1}(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}(U)\to {\mathcal {A}}(V)}$

Global Spec tiene una propiedad universal similar a la propiedad universal de Spec ordinaria. Más precisamente, así como Spec y el funtor de sección global son adjuntos derechos contravariantes entre la categoría de anillos y esquemas conmutativos, Spec global y el functor de imagen directa para el mapa de estructura son adjuntos derechos contravariantes entre la categoría de álgebras conmutativas y esquemas sobre . ^{[ dudoso ]} En fórmulas, ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{S}}$ ${\displaystyle S}$

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{{\mathcal {O}}_{S}{\text{-alg}}}({\mathcal {A}},\pi _{*}{\mathcal {O}}_{X})\cong \operatorname {Hom} _{{\text{Sch}}/S}(X,\mathbf {Spec} ({\mathcal {A}})),}$

donde hay un morfismo de esquemas. ${\displaystyle \pi \colon X\to S}$

Ejemplo de una especificación relativa

La especificación relativa es la herramienta correcta para parametrizar la familia de líneas a través del origen de over Considere el haz de álgebras y sea un haz de ideales de Entonces la especificación relativa parametriza la familia deseada. De hecho, la fibra que termina es la línea que pasa por el origen que contiene el punto. Suponiendo que la fibra se puede calcular observando la composición de los diagramas de retroceso. ${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {C} }^{2}}$ ${\displaystyle X=\mathbb {P} _{a,b}^{1}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}={\mathcal {O}}_{X}[x,y],}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}=(ay-bx)}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}.}$ ${\displaystyle {\underline {\operatorname {Spec} }}_{X}({\mathcal {A}}/{\mathcal {I}})\to \mathbb {P} _{a,b}^{1}}$ ${\displaystyle [\alpha :\beta ]}$ ${\displaystyle \mathbb {A} ^{2}}$ ${\displaystyle (\alpha ,\beta ).}$ ${\displaystyle \alpha \neq 0,}$

${\displaystyle {\begin{matrix}\operatorname {Spec} \left({\frac {\mathbb {C} [x,y]}{\left(y-{\frac {\beta }{\alpha }}x\right)}}\right)&\to &\operatorname {Spec} \left({\frac {\mathbb {C} \left[{\frac {b}{a}}\right][x,y]}{\left(y-{\frac {b}{a}}x\right)}}\right)&\to &{\underline {\operatorname {Spec} }}_{X}\left({\frac {{\mathcal {O}}_{X}[x,y]}{\left(ay-bx\right)}}\right)\\\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\\operatorname {Spec} (\mathbb {C} )&\to &\operatorname {Spec} \left(\mathbb {C} \left[{\frac {b}{a}}\right]\right)=U_{a}&\to &\mathbb {P} _{a,b}^{1}\end{matrix}}}$

donde la composición de las flechas inferiores

${\displaystyle \operatorname {Spec} (\mathbb {C} ){\xrightarrow {[\alpha :\beta ]}}\mathbb {P} _{a,b}^{1}}$

da la recta que contiene el punto y el origen. Este ejemplo se puede generalizar para parametrizar la familia de líneas a través del origen de over dejando y ${\displaystyle (\alpha ,\beta )}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {C} }^{n+1}}$ ${\displaystyle X=\mathbb {P} _{a_{0},...,a_{n}}^{n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}={\mathcal {O}}_{X}[x_{0},...,x_{n}]}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}=\left(2\times 2{\text{ minors of }}{\begin{pmatrix}a_{0}&\cdots &a_{n}\\x_{0}&\cdots &x_{n}\end{pmatrix}}\right).}$

Perspectiva de la teoría de la representación.

Desde la perspectiva de la teoría de la representación , un ideal primo I corresponde a un módulo R / I , y el espectro de un anillo corresponde a representaciones cíclicas irreducibles de R , mientras que subvariedades más generales corresponden a representaciones posiblemente reducibles que no necesitan ser cíclicas. Recordemos que de manera abstracta, la teoría de la representación de un grupo es el estudio de módulos sobre su álgebra de grupo .

La conexión con la teoría de la representación es más clara si se considera el anillo polinómico o, sin una base, como deja claro la última formulación, un anillo polinómico es el álgebra de grupos sobre un espacio vectorial , y escribir en términos de corresponde a elegir una base para el espacio vectorial. Entonces, un I ideal, o equivalentemente un módulo, es una representación cíclica de R (significado cíclico generado por 1 elemento como un módulo R ; esto generaliza representaciones unidimensionales). ${\displaystyle R=K[x_{1},\dots ,x_{n}]}$ ${\displaystyle R=K[V].}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle R/I,}$

En el caso de que el cuerpo sea algebraicamente cerrado (digamos, los números complejos), cada ideal máximo corresponde a un punto en el espacio n , por Nullstellensatz (el ideal máximo generado por corresponde al punto ). Estas representaciones de luego se parametrizan mediante el espacio dual que se proporciona al covector enviando cada una al correspondiente . Por lo tanto, una representación de ( K - mapas lineales ) viene dada por un conjunto de n números, o equivalentemente un covector ${\displaystyle (x_{1}-a_{1}),(x_{2}-a_{2}),\ldots ,(x_{n}-a_{n})}$ ${\displaystyle (a_{1},\ldots ,a_{n})}$ ${\displaystyle K[V]}$ ${\displaystyle V^{*},}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle K^{n}}$ ${\displaystyle K^{n}\to K}$ ${\displaystyle K^{n}\to K.}$

Por lo tanto, los puntos en el espacio n , considerados como la especificación máxima de, corresponden precisamente a representaciones unidimensionales de R , mientras que los conjuntos finitos de puntos corresponden a representaciones de dimensión finita (que son reducibles, correspondientes geométricamente a ser una unión, y algebraicamente a no ser un ideal primordial). Los ideales no máximos corresponden entonces a representaciones de dimensión infinita . ${\displaystyle R=K[x_{1},\dots ,x_{n}],}$

Perspectiva del análisis funcional.

El término "espectro" proviene del uso en la teoría de operadores . Dado un operador lineal T en un espacio vectorial de dimensión finita V , se puede considerar el espacio vectorial con operador como un módulo sobre el anillo polinomial en una variable R = K [ T ], como en el teorema de estructura para módulos generados finitamente sobre un dominio ideal principal . Entonces el espectro de K [ T ] (como anillo) es igual al espectro de T (como operador).

Además, la estructura geométrica del espectro del anillo (equivalentemente, la estructura algebraica del módulo) captura el comportamiento del espectro del operador, como la multiplicidad algebraica y la multiplicidad geométrica. Por ejemplo, para la matriz identidad 2×2 tiene el módulo correspondiente:

${\displaystyle K[T]/(T-1)\oplus K[T]/(T-1)}$

la matriz cero 2×2 tiene módulo

${\displaystyle K[T]/(T-0)\oplus K[T]/(T-0),}$

mostrando multiplicidad geométrica 2 para el valor propio cero , mientras que una matriz nilpotente 2 × 2 no trivial tiene módulo

${\displaystyle K[T]/T^{2},}$

mostrando multiplicidad algebraica 2 pero multiplicidad geométrica 1.

Con más detalle:

• los valores propios (con multiplicidad geométrica) del operador corresponden a los puntos (reducidos) de la variedad, con multiplicidad;
• la descomposición primaria del módulo corresponde a los puntos no reducidos de la variedad;
• un operador diagonalizable (semisimple) corresponde a una variedad reducida;
• un módulo cíclico (un generador) corresponde a que el operador tenga un vector cíclico (un vector cuya órbita bajo T abarca el espacio);
• el último factor invariante del módulo es igual al polinomio mínimo del operador, y el producto de los factores invariantes es igual al polinomio característico .

Generalizaciones

El espectro se puede generalizar desde anillos hasta álgebras C* en la teoría de operadores , dando lugar a la noción de espectro de un álgebra C* . En particular, para un espacio de Hausdorff , el álgebra de escalares (las funciones continuas acotadas en el espacio, que son análogas a las funciones regulares) es un álgebra C* conmutativa , recuperándose el espacio como un espacio topológico del álgebra de escalares, de hecho, funcionalmente así; este es el contenido del teorema de Banach-Stone . De hecho, cualquier álgebra C* conmutativa puede realizarse como el álgebra de escalares de un espacio de Hausdorff de esta manera, produciendo la misma correspondencia que entre un anillo y su espectro. "La generalización a álgebras C* no conmutativas produce una topología no conmutativa" . ${\displaystyle \operatorname {MaxSpec} }$

Ver también

• Esquema (matemáticas)
• Esquema proyectivo
• Espectro de una matriz
• Teorema de Serre sobre la afinidad
• Espectro Étale
• espectro de Ziegler
• Espectro primitivo

Citas

1. Agudo (2001), pág. 44, def. 3.26
2. Hartshorne (1977), pág. 70, Definición
3. Arkhangel'skii y Pontryagin (1990), ejemplo 21, sección 2.6
4. Atiyah y Macdonald (1969), cap. 1. Ejercicio 23. (iv)
5. Hochster (1969)
6. Vakil (sin fecha), Capítulo 4, ejemplo 4.4.1
7. Atiyah y Macdonald (1969), cap. 5, Ejercicio 27
8. Tarizadeh (2019)
9. Kock (2007)
10. Fontana y Loper (2008)
11. Brándal (1979)

Referencias

• Atiyah, Michael Francis ; Macdonald, IG (1969). Introducción al Álgebra Conmutativa . Prensa de Westview. ISBN 978-0-201-40751-8.
• Arkhangel'skii, AV ; Pontryagin, LS , eds. (1990). Topología general I. Enciclopedia de Ciencias Matemáticas. vol. 17. doi :10.1007/978-3-642-61265-7. ISBN 978-3-642-64767-3.
• Brandal, Willy (1979). Anillos conmutativos cuyos módulos finitamente generados se descomponen . Apuntes de conferencias de matemáticas. vol. 723.doi : 10.1007 /BFb0069021. ISBN 978-3-540-09507-1.
• Cox, David ; O'Shea, Donal; Little, John (1997), Ideales, variedades y algoritmos , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94680-1
• Eisenbud, David ; Harris, Joe (2000), La geometría de los esquemas , Textos de Graduado en Matemáticas, vol. 197, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-98637-1, señor  1730819
• Fontana, Marco; Loper, K. Alan (2008). "La topología de parche y la topología de ultrafiltro en el espectro principal de un anillo conmutativo". Comunicaciones en Álgebra . 36 (8): 2917–2922. arXiv : 0707.1525 . doi :10.1080/00927870802110326. S2CID  17045655.
• Hartshorne, Robin (1977), Geometría algebraica , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90244-9, SEÑOR  0463157
• Hochster, M. (1969). "Estructura ideal prima en anillos conmutativos". Transacciones de la Sociedad Matemática Estadounidense . 142 : 43–60. doi : 10.1090/S0002-9947-1969-0251026-X . JSTOR  1995344.
• Kock, Joaquín (2007). "Observaciones sobre espectros, soportes y dualidad de Hochster" (PDF) . S2CID  54501563.
• Afilado, Rodney Y. (2001). Pasos en álgebra conmutativa (2ª ed.). Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 978-0-511-62368-4.
• Tarizadeh, Abolfazl (2019). "Topología plana y sus aspectos duales". Comunicaciones en Álgebra . 47 : 195-205. arXiv : 1503.04299 . doi :10.1080/00927872.2018.1469637. S2CID  119574163.
• Vakil, Ravi (sin fecha). "Fundamentos de la geometría algebraica". math.stanford.edu .

enlaces externos

• Kevin R. Coombes: El espectro de un anillo
• Los autores del proyecto Stacks. "27.3 Espectro relativo mediante pegado".