Localización (álgebra conmutativa)

Construcción de un anillo de fracciones.

En álgebra conmutativa y geometría algebraica , la localización es una forma formal de introducir los "denominadores" a un anillo o módulo determinado . Es decir, introduce un nuevo anillo/módulo a partir de un anillo/módulo existente R , de modo que consta de fracciones tales que el denominador s pertenece a un subconjunto dado S de R. Si S es el conjunto de los elementos distintos de cero de un dominio integral , entonces la localización es el campo de fracciones : este caso generaliza la construcción del campo de números racionales a partir del anillo de números enteros . ${\displaystyle {\frac {m}{s}},}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

La técnica se ha vuelto fundamental, particularmente en geometría algebraica , ya que proporciona un vínculo natural con la teoría de la gavilla . De hecho, el término localización se originó en la geometría algebraica : si R es un anillo de funciones definidas sobre algún objeto geométrico ( variedad algebraica ) V , y se quiere estudiar esta variedad "localmente" cerca de un punto p , entonces se considera el conjunto S de todas las funciones que no son cero en p y localiza R con respecto a S . El anillo resultante contiene información sobre el comportamiento de V cerca de p y excluye información que no es "local", como los ceros de funciones que están fuera de V (consulte el ejemplo dado en el anillo local ). ${\displaystyle S^{-1}R}$

Localización de un anillo.

La localización de un anillo conmutativo R por un conjunto multiplicativamente cerrado S es un nuevo anillo cuyos elementos son fracciones con numeradores en R y denominadores en S. ${\displaystyle S^{-1}R}$

Si el anillo es un dominio integral la construcción se generaliza y sigue de cerca la del campo de fracciones y, en particular, la de los números racionales como campo de fracciones de los números enteros. Para los anillos que tienen divisores cero , la construcción es similar pero requiere más cuidado.

Conjunto multiplicativo

La localización se realiza comúnmente con respecto a un conjunto multiplicativamente cerrado S (también llamado conjunto multiplicativo o sistema multiplicativo ) de elementos de un anillo R , que es un subconjunto de R que está cerrado bajo multiplicación y contiene 1 .

El requisito de que S debe ser un conjunto multiplicativo es natural, ya que implica que todos los denominadores introducidos por la localización pertenecen a S. También se puede definir la localización por un conjunto U que no es multiplicativamente cerrado, tomando como posibles denominadores todos los productos de elementos de U. Sin embargo, la misma localización se obtiene utilizando el conjunto multiplicativamente cerrado S de todos los productos de elementos de U. Como esto a menudo simplifica el razonamiento y la notación, es una práctica estándar considerar solo localizaciones por conjuntos multiplicativos.

Por ejemplo, la localización por un solo elemento s introduce fracciones de la forma pero también productos de dichas fracciones, como por ejemplo, los denominadores pertenecerán al conjunto multiplicativo de las potencias de s . Por lo tanto, generalmente se habla de "la localización por las potencias de un elemento" más que de "la localización por un elemento". ${\displaystyle {\tfrac {a}{s}},}$ ${\displaystyle {\tfrac {ab}{s^{2}}}.}$ ${\displaystyle \{1,s,s^{2},s^{3},\ldots \}}$

La localización de un anillo R por un conjunto multiplicativo S generalmente se denota, pero en algunos casos especiales se usan comúnmente otras notaciones: si consta de las potencias de un solo elemento, a menudo se denota si es el complemento de un ideal primo , entonces se denota ${\displaystyle S^{-1}R,}$ ${\displaystyle S=\{1,t,t^{2},\ldots \}}$ ${\displaystyle S^{-1}R}$ ${\displaystyle R_{t};}$ ${\displaystyle S=R\setminus {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle S^{-1}R}$ ${\displaystyle R_{\mathfrak {p}}.}$

En el resto de este artículo, sólo se consideran las localizaciones por conjunto multiplicativo.

Dominios integrales

Cuando el anillo R es un dominio integral y S no contiene 0 , el anillo es un subanillo del campo de fracciones de R. Como tal, la localización de un dominio es un dominio. ${\displaystyle S^{-1}R}$

Más precisamente, es el subanillo del cuerpo de fracciones de R , que consta de fracciones tales que Este es un subanillo ya que la suma y el producto de dos elementos de están en Esto resulta de la propiedad definitoria de un conjunto multiplicativo, que implica también que en este caso, R es un subanillo de. A continuación se muestra que esto ya no es cierto en general, normalmente cuando S contiene divisores cero . ${\displaystyle {\tfrac {a}{s}}}$ ${\displaystyle s\in S.}$ ${\displaystyle {\tfrac {a}{s}}+{\tfrac {b}{t}}={\tfrac {at+bs}{st}},}$ ${\displaystyle {\tfrac {a}{s}}\,{\tfrac {b}{t}}={\tfrac {ab}{st}}}$ ${\displaystyle S^{-1}R}$ ${\displaystyle S^{-1}R.}$ ${\displaystyle 1={\tfrac {1}{1}}\in S^{-1}R.}$ ${\displaystyle S^{-1}R.}$

Por ejemplo, las fracciones decimales son la localización del anillo de números enteros mediante el conjunto multiplicativo de las potencias de diez. En este caso, consta de números racionales que se pueden escribir como donde n es un número entero y k es un número entero no negativo. ${\displaystyle S^{-1}R}$ ${\displaystyle {\tfrac {n}{10^{k}}},}$

Construcción general

En el caso general surge un problema con divisores cero . Sea S un conjunto multiplicativo en un anillo conmutativo R. Supongamos que y es un divisor de cero con Entonces es la imagen en de y uno tiene Por lo tanto, algunos elementos distintos de cero de R deben ser cero en La construcción que sigue está diseñada para tener esto en cuenta. ${\displaystyle s\in S,}$ ${\displaystyle 0\neq a\in R}$ ${\displaystyle as=0.}$ ${\displaystyle {\tfrac {a}{1}}}$ ${\displaystyle S^{-1}R}$ ${\displaystyle a\in R,}$ ${\displaystyle {\tfrac {a}{1}}={\tfrac {as}{s}}={\tfrac {0}{s}}={\tfrac {0}{1}}.}$ ${\displaystyle S^{-1}R.}$

Dados R y S como arriba, se considera la relación de equivalencia que se define por si existe tal que ${\displaystyle R\times S}$ ${\displaystyle (r_{1},s_{1})\sim (r_{2},s_{2})}$ ${\displaystyle t\in S}$ ${\displaystyle t(s_{1}r_{2}-s_{2}r_{1})=0.}$

La localización se define como el conjunto de clases de equivalencia para esta relación. La clase de ( r , s ) se denota como o Entonces, se tiene si y solo si existe tal que La razón para es manejar casos como el anterior donde es distinto de cero aunque las fracciones deben considerarse iguales. ${\displaystyle S^{-1}R}$ ${\displaystyle {\frac {r}{s}},}$ ${\displaystyle r/s,}$ ${\displaystyle s^{-1}r.}$ ${\displaystyle {\tfrac {r_{1}}{s_{1}}}={\tfrac {r_{2}}{s_{2}}}}$ ${\displaystyle t\in S}$ ${\displaystyle t(s_{1}r_{2}-s_{2}r_{1})=0.}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle {\tfrac {a}{1}}={\tfrac {0}{1}},}$ ${\displaystyle s_{1}r_{2}-s_{2}r_{1}}$

La localización es un anillo conmutativo con suma. ${\displaystyle S^{-1}R}$

${\displaystyle {\frac {r_{1}}{s_{1}}}+{\frac {r_{2}}{s_{2}}}={\frac {r_{1}s_{2}+r_{2}s_{1}}{s_{1}s_{2}}},}$

multiplicación

${\displaystyle {\frac {r_{1}}{s_{1}}}\,{\frac {r_{2}}{s_{2}}}={\frac {r_{1}r_{2}}{s_{1}s_{2}}},}$

identidad aditiva e identidad multiplicativa ${\displaystyle {\tfrac {0}{1}},}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{1}}.}$

La función

${\displaystyle r\mapsto {\frac {r}{1}}}$

define un homomorfismo de anillo desde dentro que es inyectivo si y solo si S no contiene divisores de cero. ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle S^{-1}R,}$

Si entonces es el anillo cero que tiene 0 como elemento único. ${\displaystyle 0\in S,}$ ${\displaystyle S^{-1}R}$

Si S es el conjunto de todos los elementos regulares de R (es decir , los elementos que no son divisores de cero), se llama anillo total de fracciones de R. ${\displaystyle S^{-1}R}$

propiedad universal

El homomorfismo de anillo (definido anteriormente) satisface una propiedad universal que se describe a continuación. Esto caracteriza hasta un isomorfismo . Por tanto, todas las propiedades de las localizaciones pueden deducirse de la propiedad universal, independientemente de la forma en que hayan sido construidas. Además, muchas propiedades importantes de localización se deducen fácilmente de las propiedades generales de las propiedades universales, mientras que su demostración directa puede ser técnica, sencilla y aburrida. ${\displaystyle j\colon R\to S^{-1}R}$ ${\displaystyle S^{-1}R}$

La propiedad universal satisfecha por es la siguiente: ${\displaystyle j\colon R\to S^{-1}R}$

Si es un homomorfismo de anillo que asigna cada elemento de S a una unidad (elemento invertible) en T , existe un homomorfismo de anillo único tal que ${\displaystyle f\colon R\to T}$ ${\displaystyle g\colon S^{-1}R\to T}$ ${\displaystyle f=g\circ j.}$

Utilizando la teoría de categorías , esto se puede expresar diciendo que la localización es un funtor que se deja adjunto a un funtor olvidadizo . Más precisamente, sean y las categorías cuyos objetos son pares de un anillo conmutativo y un submonoide de, respectivamente, el monoide multiplicativo o el grupo de unidades del anillo. Los morfismos de estas categorías son los homomorfismos de anillo que asignan el submonoide del primer objeto al submonoide del segundo. Finalmente, sea el functor olvidadizo que olvida que los elementos del segundo elemento del par son invertibles. ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\colon {\mathcal {D}}\to {\mathcal {C}}}$

Entonces la factorización de la propiedad universal define una biyección ${\displaystyle f=g\circ j}$

${\displaystyle \hom _{\mathcal {C}}((R,S),{\mathcal {F}}(T,U))\to \hom _{\mathcal {D}}((S^{-1}R,j(S)),(T,U)).}$

Esta puede parecer una forma bastante complicada de expresar la propiedad universal, pero es útil para mostrar fácilmente muchas propiedades, utilizando el hecho de que la composición de dos funtores adjuntos izquierdos es un funtor adjunto izquierdo.

Ejemplos

• Si es el anillo de los números enteros , y entonces es el cuerpo de los números racionales . ${\displaystyle R=\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle S=\mathbb {Z} \setminus \{0\},}$ ${\displaystyle S^{-1}R}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$
• Si R es un dominio integral , entonces es el campo de fracciones de R. El ejemplo anterior es un caso especial de éste. ${\displaystyle S=R\setminus \{0\},}$ ${\displaystyle S^{-1}R}$
• Si R es un anillo conmutativo , y si S es el subconjunto de sus elementos que no son divisores de cero , entonces es el anillo total de fracciones de R. En este caso, S es el conjunto multiplicativo más grande tal que el homomorfismo es inyectivo. El ejemplo anterior es un caso especial de éste. ${\displaystyle S^{-1}R}$ ${\displaystyle R\to S^{-1}R}$
• Si x es un elemento de un anillo conmutativo R y entonces puede identificarse (es canónicamente isomorfo a) (La prueba consiste en demostrar que este anillo satisface la propiedad universal anterior). Este tipo de localización juega un papel fundamental en la definición de un esquema afín . ${\displaystyle S=\{1,x,x^{2},\ldots \},}$ ${\displaystyle S^{-1}R}$ ${\displaystyle R[x^{-1}]=R[s]/(xs-1).}$
• Si es un ideal primo de un anillo conmutativo R , el complemento de conjunto de en R es un conjunto multiplicativo (según la definición de ideal primo). El anillo es un anillo local que generalmente se denota y se llama anillo local de R en. Este tipo de localización es fundamental en álgebra conmutativa , porque muchas propiedades de un anillo conmutativo se pueden leer en sus anillos locales. Esta propiedad suele denominarse propiedad local . Por ejemplo, un anillo es regular si y sólo si todos sus anillos locales son regulares. ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle S=R\setminus {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle S^{-1}R}$ ${\displaystyle R_{\mathfrak {p}},}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}.}$

Propiedades del anillo

La localización es una construcción rica que tiene muchas propiedades útiles. En esta sección, sólo se consideran las propiedades relativas a los anillos y a una única localización. Las propiedades relativas a ideales , módulos o varios conjuntos multiplicativos se consideran en otras secciones.

• ${\displaystyle S^{-1}R=0}$ si y sólo si S contiene 0 .
• El homomorfismo de anillo es inyectivo si y sólo si S no contiene divisores de cero . ${\displaystyle R\to S^{-1}R}$
• El homomorfismo de anillos es un epimorfismo en la categoría de anillos , que no es sobreyectivo en general. ${\displaystyle R\to S^{-1}R}$
• El anillo es un módulo R plano (ver § Localización de un módulo para más detalles). ${\displaystyle S^{-1}R}$
• Si es el complemento de un ideal primo , entonces se denota un anillo local ; es decir, tiene un solo ideal máximo . ${\displaystyle S=R\setminus {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle S^{-1}R,}$ ${\displaystyle R_{\mathfrak {p}},}$

Propiedades para mover a otra sección

• La localización conmuta con formaciones de sumas finitas, productos, intersecciones y radicales; ^[1] por ejemplo, si denotamos el radical de un ideal I en R , entonces ${\displaystyle {\sqrt {I}}}$

${\displaystyle {\sqrt {I}}\cdot S^{-1}R={\sqrt {I\cdot S^{-1}R}}\,.}$

En particular, R se reduce si y sólo si se reduce su anillo total de fracciones. ^[2]

• Sea R un dominio integral con el campo de fracciones K . Entonces su localización en un ideal primo puede verse como un subanillo de K. Además, ${\displaystyle R_{\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$

${\displaystyle R=\bigcap _{\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}=\bigcap _{\mathfrak {m}}R_{\mathfrak {m}}}$

donde la primera intersección es sobre todos los ideales primos y la segunda sobre los ideales máximos. ^[3]

• Existe una biyección entre el conjunto de ideales primos de S ⁻¹ R y el conjunto de ideales primos de R que no intersecan a S . Esta biyección es inducida por el homomorfismo dado R → S  ⁻¹ R .

Saturación de un conjunto multiplicativo.

Sea un conjunto multiplicativo. La saturación de es el conjunto. ${\displaystyle S\subseteq R}$ ${\displaystyle {\hat {S}}}$ ${\displaystyle S}$

${\displaystyle {\hat {S}}=\{r\in R\colon \exists s\in R,rs\in S\}.}$

El conjunto multiplicativo S está saturado si es igual a su saturación, es decir, si , o equivalentemente, si implica que r y s están en S. ${\displaystyle {\hat {S}}=S}$ ${\displaystyle rs\in S}$

Si S no está saturado, y entonces es un inverso multiplicativo de la imagen de r en Entonces, las imágenes de los elementos de son todas invertibles en y la propiedad universal implica que y son canónicamente isomorfas , es decir, hay un isomorfismo único entre ellos que fijan las imágenes de los elementos de R . ${\displaystyle rs\in S,}$ ${\displaystyle {\frac {s}{rs}}}$ ${\displaystyle S^{-1}R.}$ ${\displaystyle {\hat {S}}}$ ${\displaystyle S^{-1}R,}$ ${\displaystyle S^{-1}R}$ ${\displaystyle {\hat {S}}{}^{-1}R}$

Si S y T son dos conjuntos multiplicativos, entonces y son isomorfos si y sólo si tienen la misma saturación o, de manera equivalente, si s pertenece a uno de los conjuntos multiplicativos, entonces existe tal que st pertenezca al otro. ${\displaystyle S^{-1}R}$ ${\displaystyle T^{-1}R}$ ${\displaystyle t\in R}$

Los conjuntos multiplicativos saturados no se utilizan mucho de forma explícita, ya que, para verificar que un conjunto está saturado, es necesario conocer todas las unidades del anillo.

Terminología explicada por el contexto.

El término localización tiene su origen en la tendencia general de las matemáticas modernas de estudiar los objetos geométricos y topológicos localmente , es decir, en términos de su comportamiento cerca de cada punto. Ejemplos de esta tendencia son los conceptos fundamentales de variedades , gérmenes y haces . En geometría algebraica , un conjunto algebraico afín puede identificarse con un anillo cociente de un anillo polinómico de tal manera que los puntos del conjunto algebraico correspondan a los ideales máximos del anillo (este es el Nullstellensatz de Hilbert ). Esta correspondencia se ha generalizado para hacer del conjunto de los ideales primos de un anillo conmutativo un espacio topológico equipado con la topología de Zariski ; este espacio topológico se llama espectro del anillo .

En este contexto, una localización por un conjunto multiplicativo puede verse como la restricción del espectro de un anillo al subespacio de los ideales primos (vistos como puntos ) que no se cruzan con el conjunto multiplicativo.

Se consideran más comúnmente dos clases de localizaciones:

• El conjunto multiplicativo es el complemento de un ideal primo de un anillo R. En este caso se habla de "localización en ", o "localización en un punto". El anillo resultante, indicado como anillo local , es el análogo algebraico de un anillo de gérmenes . ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle R_{\mathfrak {p}}}$
• El conjunto multiplicativo consta de todas las potencias de un elemento t de un anillo R. El anillo resultante se denota comúnmente y su espectro es el conjunto abierto de Zariski de los ideales primos que no contienen t . Por tanto, la localización es análoga a la restricción de un espacio topológico a la vecindad de un punto (todo ideal primo tiene una base de vecindad que consta de conjuntos abiertos de Zariski de esta forma). ${\displaystyle R_{t},}$

En teoría de números y topología algebraica , cuando se trabaja sobre el anillo de números enteros , se hace referencia a una propiedad relativa a un número entero n como una propiedad verdadera en n o lejos de n , dependiendo de la localización que se considere. " Lejos de n " significa que la propiedad se considera después de la localización mediante las potencias de n y, si p es un número primo , "en p " significa que la propiedad se considera después de la localización en el ideal primo . Esta terminología puede explicarse por el hecho de que, si p es primo, los ideales primos distintos de cero de la localización de son el conjunto singleton {p} o su complemento en el conjunto de números primos. ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle p\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Localización y saturación de ideales.

Sea S un conjunto multiplicativo en un anillo conmutativo R y sea el homomorfismo de anillo canónico. Dado un ideal I en R , sea el conjunto de las fracciones en cuyo numerador está en I. Este es un ideal cuyo ideal es generado por j ( I ) , y llamado localización de I por S. ${\displaystyle j\colon R\to S^{-1}R}$ ${\displaystyle S^{-1}I}$ ${\displaystyle S^{-1}R}$ ${\displaystyle S^{-1}R,}$

La saturación de I por S es un ideal de R , que también puede definirse como el conjunto de los elementos tales que existen con ${\displaystyle j^{-1}(S^{-1}I);}$ ${\displaystyle r\in R}$ ${\displaystyle s\in S}$ ${\displaystyle sr\in I.}$

Muchas propiedades de los ideales se conservan mediante saturación y localización, o pueden caracterizarse mediante propiedades más simples de localización y saturación. En lo que sigue, S es un conjunto multiplicativo en un anillo R , e I y J son ideales de R ; se denota la saturación de un ideal I por un conjunto multiplicativo S o, cuando el conjunto multiplicativo S se desprende del contexto, ${\displaystyle \operatorname {sat} _{S}(I),}$ ${\displaystyle \operatorname {sat} (I).}$

• ${\displaystyle 1\in S^{-1}I\quad \iff \quad 1\in \operatorname {sat} (I)\quad \iff \quad S\cap I\neq \emptyset }$
• ${\displaystyle I\subseteq J\quad \ \implies \quad \ S^{-1}I\subseteq S^{-1}J\quad \ {\text{and}}\quad \ \operatorname {sat} (I)\subseteq \operatorname {sat} (J)}$
  (esto no siempre es cierto para inclusiones estrictas )
• ${\displaystyle S^{-1}(I\cap J)=S^{-1}I\cap S^{-1}J,\qquad \,\operatorname {sat} (I\cap J)=\operatorname {sat} (I)\cap \operatorname {sat} (J)}$
• ${\displaystyle S^{-1}(I+J)=S^{-1}I+S^{-1}J,\qquad \operatorname {sat} (I+J)=\operatorname {sat} (I)+\operatorname {sat} (J)}$
• ${\displaystyle S^{-1}(I\cdot J)=S^{-1}I\cdot S^{-1}J,\qquad \quad \operatorname {sat} (I\cdot J)=\operatorname {sat} (I)\cdot \operatorname {sat} (J)}$
• Si es un ideal primo tal que entonces es un ideal primo y ; si la intersección no está vacía, entonces y ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\cap S=\emptyset ,}$ ${\displaystyle S^{-1}{\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}=\operatorname {sat} ({\mathfrak {p}})}$ ${\displaystyle S^{-1}{\mathfrak {p}}=S^{-1}R}$ ${\displaystyle \operatorname {sat} ({\mathfrak {p}})=R.}$

Localización de un módulo

Sea R un anillo conmutativo , S un conjunto multiplicativo en R y M un módulo R. La localización del módulo M por S , denotada S ⁻¹ M , es un módulo S ⁻¹ R que se construye exactamente como la localización de R , excepto que los numeradores de las fracciones pertenecen a M. Es decir, como conjunto, consta de clases de equivalencia , denotadas , de pares ( m , s ) , donde y y dos pares ( m , s ) y ( n , t ) son equivalentes si hay un elemento u en S tal eso ${\displaystyle {\frac {m}{s}}}$ ${\displaystyle m\in M}$ ${\displaystyle s\in S,}$

${\displaystyle u(sn-tm)=0.}$

La suma y la multiplicación escalar se definen como para las fracciones habituales (en la siguiente fórmula, y ): ${\displaystyle r\in R,}$ ${\displaystyle s,t\in S,}$ ${\displaystyle m,n\in M}$

${\displaystyle {\frac {m}{s}}+{\frac {n}{t}}={\frac {tm+sn}{st}},}$

${\displaystyle {\frac {r}{s}}{\frac {m}{t}}={\frac {rm}{st}}.}$

Además, S ⁻¹ M también es un R -módulo con multiplicación escalar

${\displaystyle r\,{\frac {m}{s}}={\frac {r}{1}}{\frac {m}{s}}={\frac {rm}{s}}.}$

Es sencillo comprobar que estas operaciones están bien definidas, es decir, que dan el mismo resultado para diferentes elecciones de representantes de fracciones.

La localización de un módulo se puede definir de manera equivalente utilizando productos tensoriales :

${\displaystyle S^{-1}M=S^{-1}R\otimes _{R}M.}$

La prueba de equivalencia (hasta un isomorfismo canónico ) se puede realizar demostrando que las dos definiciones satisfacen la misma propiedad universal.

Propiedades del módulo

Si M es un submódulo de un R -módulo N , y S es un conjunto multiplicativo en R , se tiene. Esto implica que, si es un homomorfismo de módulo inyectivo , entonces ${\displaystyle S^{-1}M\subseteq S^{-1}N.}$ ${\displaystyle f\colon M\to N}$

${\displaystyle S^{-1}R\otimes _{R}f:\quad S^{-1}R\otimes _{R}M\to S^{-1}R\otimes _{R}N}$

También es un homomorfismo inyectivo.

Dado que el producto tensorial es un funtor exacto recto , esto implica que la localización por S asigna secuencias exactas de R -módulos a secuencias exactas de -módulos. En otras palabras, la localización es un funtor exacto y es un módulo R plano . ${\displaystyle S^{-1}R}$ ${\displaystyle S^{-1}R}$

Esta planitud y el hecho de que la localización resuelve una propiedad universal hacen que la localización conserve muchas propiedades de módulos y anillos, y sea compatible con soluciones de otras propiedades universales. Por ejemplo, el mapa natural.

${\displaystyle S^{-1}(M\otimes _{R}N)\to S^{-1}M\otimes _{S^{-1}R}S^{-1}N}$

es un isomorfismo. Si es un módulo presentado finitamente , el mapa natural ${\displaystyle M}$

${\displaystyle S^{-1}\operatorname {Hom} _{R}(M,N)\to \operatorname {Hom} _{S^{-1}R}(S^{-1}M,S^{-1}N)}$

también es un isomorfismo. ^[4]

Si un módulo M es generado finitamente sobre R , se tiene

${\displaystyle S^{-1}(\operatorname {Ann} _{R}(M))=\operatorname {Ann} _{S^{-1}R}(S^{-1}M),}$

donde denota aniquilador , que es el ideal de los elementos del anillo que asignan a cero todos los elementos del módulo. ^[5] En particular, ${\displaystyle \operatorname {Ann} }$

${\displaystyle S^{-1}M=0\quad \iff \quad S\cap \operatorname {Ann} _{R}(M)\neq \emptyset ,}$

es decir, si por algunos ^[6] ${\displaystyle tM=0}$ ${\displaystyle t\in S.}$

Localización en números primos

La definición de ideal primo implica inmediatamente que el complemento de un ideal primo en un anillo conmutativo R es un conjunto multiplicativo. En este caso, la localización se denota comúnmente como el anillo es un anillo local , que se llama anillo local de R en. Esto significa que es el único ideal máximo del anillo. ${\displaystyle S=R\setminus {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle S^{-1}R}$ ${\displaystyle R_{\mathfrak {p}}.}$ ${\displaystyle R_{\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}.}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\,R_{\mathfrak {p}}={\mathfrak {p}}\otimes _{R}R_{\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle R_{\mathfrak {p}}.}$

Estas localizaciones son fundamentales para el álgebra conmutativa y la geometría algebraica por varias razones. Una es que los anillos locales suelen ser más fáciles de estudiar que los anillos conmutativos generales, en particular debido al lema de Nakayama . Sin embargo, la razón principal es que muchas propiedades son verdaderas para un anillo si y sólo si lo son para todos sus anillos locales. Por ejemplo, un anillo es regular si y sólo si todos sus anillos locales son anillos locales regulares .

Las propiedades de un anillo que se pueden caracterizar en sus anillos locales se denominan propiedades locales y, a menudo, son la contraparte algebraica de las propiedades locales geométricas de variedades algebraicas , que son propiedades que se pueden estudiar restringiendo a una pequeña vecindad de cada punto de la variedad. . (Existe otro concepto de propiedad local que se refiere a la localización en conjuntos abiertos de Zariski; consulte § Localización en conjuntos abiertos de Zariski, a continuación).

Muchas propiedades locales son consecuencia del hecho de que el módulo

${\displaystyle \bigoplus _{\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}}$

es un módulo fielmente plano cuando la suma directa se toma sobre todos los ideales primos (o sobre todos los ideales máximos de R ). Véase también Descenso fielmente plano .

Ejemplos de propiedades locales

Una propiedad P de un R -módulo M es una propiedad local si las siguientes condiciones son equivalentes:

• P es válido para M .
• P es válido para todos los que son un ideal primo de R. ${\displaystyle M_{\mathfrak {p}},}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$
• P es válido para todos los que son un ideal máximo de R. ${\displaystyle M_{\mathfrak {m}},}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$

Las siguientes son propiedades locales:

• M es cero.
• M está libre de torsión (en el caso de que R sea un dominio conmutativo ).
• M es un módulo plano .
• M es un módulo invertible (en el caso de que R sea un dominio conmutativo y M sea un submódulo del campo de fracciones de R ).
• ${\displaystyle f\colon M\to N}$es inyectivo (resp. sobreyectivo), donde N es otro R -módulo.

Por otro lado, algunas propiedades no son propiedades locales. Por ejemplo, un producto directo infinito de campos no es un dominio integral ni un anillo noetheriano , mientras que todos sus anillos locales son campos, y por tanto dominios integrales noetherianos.

Caso no conmutativo

La localización de anillos no conmutativos es más difícil. Si bien la localización existe para cada conjunto S de unidades potenciales, podría adoptar una forma diferente a la descrita anteriormente. Una condición que garantiza que la localización se comporte bien es la condición Ore .

Un caso de anillos no conmutativos donde la localización tiene un claro interés es el de los anillos de operadores diferenciales. Tiene la interpretación, por ejemplo, de adjuntar un inverso formal D ⁻¹ para un operador de diferenciación D . Esto se hace en muchos contextos en métodos para ecuaciones diferenciales . Actualmente existe una gran teoría matemática al respecto, denominada microlocalización , que conecta con muchas otras ramas. La microetiqueta tiene que ver en particular con conexiones con la teoría de Fourier .

Ver también

• Análisis local
• Localización de una categoría.
• Localización de un espacio topológico.

Referencias

1. Atiyah y Macdonald 1969, Proposición 3.11. (v).
2. Borel, AG. 3.3
3. Matsumura, Teorema 4.7
4. Eisenbud 1995, Proposición 2.10
5. Atiyah y Macdonald 1969, Proposición 3.14.
6. Borel, AG. 3.1

• Atiyah, Michael Francis ; Macdonald, IG (1969). Introducción al Álgebra Conmutativa . Prensa de Westview. ISBN 978-0-201-40751-8.
• Borel, Armand . Grupos algebraicos lineales (2ª ed.). Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-97370-2 . 
• Cohn, PM (1989). "§ 9.3". Álgebra . vol. 2 (2ª ed.). Chichester: John Wiley & Sons Ltd. págs. xvi+428. ISBN 0-471-92234-X. SEÑOR  1006872.
• Cohn, PM (1991). "§9.1". Álgebra . vol. 3 (2ª ed.). Chichester: John Wiley & Sons Ltd. págs. xii+474. ISBN 0-471-92840-2. SEÑOR  1098018.
• Eisenbud, David (1995), Álgebra conmutativa , Textos de Posgrado en Matemáticas, vol. 150, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94268-1, señor  1322960
• Matsumura. Álgebra conmutativa. Benjamin Cummings
• Stenström, Bo (1971). Anillos y módulos de cocientes . Apuntes de conferencias sobre matemáticas, vol. 237. Berlín: Springer-Verlag. págs. vii+136. ISBN 978-3-540-05690-4. SEÑOR  0325663.
• Serge Lang , "Teoría algebraica de números", Springer, 2000. páginas 3–4.

enlaces externos

• Localización de MathWorld .