divisor cero

Elemento de anillo que se puede multiplicar por un elemento distinto de cero para igualar 0

En álgebra abstracta , un elemento a de un anillo R se llama divisor de cero izquierdo si existe un x distinto de cero en R tal que ax = 0 , ^[1] o equivalentemente si el mapa de R a R que envía x a ax no es inyectivo . ^[a] De manera similar, un elemento a de un anillo se llama divisor cero derecho si existe una y distinta de cero en R tal que ya = 0 . Este es un caso parcial de divisibilidad en anillos . Un elemento que es divisor de cero por la izquierda o por la derecha se llama simplemente divisor de cero . ^[2] Un elemento  a que es divisor cero izquierdo y derecho se llama divisor cero bilateral (el x distinto de cero tal que ax = 0 puede ser diferente del y distinto de cero tal que ya = 0 ). Si el anillo es conmutativo , entonces los divisores del cero izquierdo y derecho son iguales.

Un elemento de un anillo que no es un divisor de cero por la izquierda (respectivamente, no es un divisor de cero por la derecha) se llama regular por la izquierda o cancelable por la izquierda (respectivamente, regular por la derecha o cancelable por la derecha ). Un elemento de un anillo que se puede cancelar hacia la izquierda y hacia la derecha y, por lo tanto, no es un divisor de cero, se llama regular o cancelable , ^[3] o divisor distinto de cero . Un divisor de cero que es distinto de cero se llama divisor de cero distinto de cero o divisor de cero no trivial . Un anillo distinto de cero sin divisores de cero no triviales se llama dominio .

Ejemplos

• En el anillo , la clase de residuo es un divisor de cero desde . ${\displaystyle \mathbb {Z} /4\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle {\overline {2}}}$ ${\displaystyle {\overline {2}}\times {\overline {2}}={\overline {4}}={\overline {0}}}$
• El único divisor cero del anillo de números enteros es . ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle 0}$
• Un elemento nilpotente de un anillo distinto de cero es siempre un divisor cero de dos lados.
• Un elemento idempotente de un anillo es siempre un divisor cero de dos lados, ya que . ${\displaystyle e\neq 1}$ ${\displaystyle e(1-e)=0=(1-e)e}$
• El anillo de matrices n  ×  n sobre un campo tiene divisores de cero distintos de cero si n ≥ 2. A continuación se muestran ejemplos de divisores de cero en el anillo de matrices de 2 × 2 (sobre cualquier anillo distinto de cero):

$${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&1\\2&2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&1\\-1&-1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-2&1\\-2&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&1\\2&2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}},}$$

$${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}.}$$

• Un producto directo de dos o más anillos distintos de cero siempre tiene divisores cero distintos de cero. Por ejemplo, con cada elemento distinto de cero , también lo es un divisor de cero. ${\displaystyle R_{1}\times R_{2}}$ ${\displaystyle R_{i}}$ ${\displaystyle (1,0)(0,1)=(0,0)}$ ${\displaystyle (1,0)}$
• Seamos un campo y seamos un grupo . Supongamos que tiene un elemento de orden finito . Luego, en el anillo del grupo uno tiene , sin que ninguno de los factores sea cero, por lo que lo es un divisor cero distinto de cero en . ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle n>1}$ ${\displaystyle K[G]}$ ${\displaystyle (1-g)(1+g+\cdots +g^{n-1})=1-g^{n}=0}$ ${\displaystyle 1-g}$ ${\displaystyle K[G]}$

Divisor cero unilateral

• Considere el anillo de matrices (formales) con y . Entonces y . Si , entonces es un divisor de cero por la izquierda si y solo si es par , ya que , y es un divisor de cero por la derecha si y solo si es par por razones similares. Si alguno de ellos es , entonces es un divisor cero de dos lados. ${\displaystyle {\begin{pmatrix}x&y\\0&z\end{pmatrix}}}$ ${\displaystyle x,z\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle y\in \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle {\begin{pmatrix}x&y\\0&z\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a&b\\0&c\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}xa&xb+yc\\0&zc\end{pmatrix}}}$ ${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\0&c\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x&y\\0&z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}xa&ya+zb\\0&zc\end{pmatrix}}}$ ${\displaystyle x\neq 0\neq z}$ ${\displaystyle {\begin{pmatrix}x&y\\0&z\end{pmatrix}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\begin{pmatrix}x&y\\0&z\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&x\\0&0\end{pmatrix}}}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle x,z}$ ${\displaystyle 0}$
• Aquí hay otro ejemplo de un anillo con un elemento que es divisor de cero en un solo lado. Sea el conjunto de todas las secuencias de números enteros . Tome para el anillo todos los mapas aditivos desde hasta , con la suma y composición puntuales como operaciones del anillo. (Es decir, nuestro anillo es el anillo de endomorfismo del grupo aditivo ). Tres ejemplos de elementos de este anillo son el desplazamiento a la derecha , el desplazamiento a la izquierda y el mapa de proyección sobre el primer factor . Estos tres mapas aditivos no son cero, y los compuestos y son ambos cero, por lo que lo es un divisor de cero por la izquierda y un divisor de cero por la derecha en el anillo de mapas aditivos de hasta . Sin embargo, no es un divisor de cero por la derecha ni es un divisor de cero por la izquierda: el compuesto es la identidad. es un divisor cero de dos lados ya que , while no está en ninguna dirección. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle (a_{1},a_{2},a_{3},...)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathrm {End} (S)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle R(a_{1},a_{2},a_{3},...)=(0,a_{1},a_{2},...)}$ ${\displaystyle L(a_{1},a_{2},a_{3},...)=(a_{2},a_{3},a_{4},...)}$ ${\displaystyle P(a_{1},a_{2},a_{3},...)=(a_{1},0,0,...)}$ ${\displaystyle LP}$ ${\displaystyle PR}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle LR}$ ${\displaystyle RL}$ ${\displaystyle RLP=0=PRL}$ ${\displaystyle LR=1}$

No ejemplos

• El anillo de números enteros módulo un número primo no tiene divisores cero distintos de cero. Como todo elemento distinto de cero es una unidad , este anillo es un campo finito .
• De manera más general, un anillo de división no tiene divisores de cero distintos de cero.
• Un anillo conmutativo distinto de cero cuyo único divisor cero es 0 se llama dominio integral .

Propiedades

• En el anillo de matrices n  ×  n sobre un campo, los divisores cero izquierdo y derecho coinciden; son precisamente las matrices singulares . En el anillo de matrices n  ×  n sobre un dominio integral , los divisores de cero son precisamente las matrices con determinante cero.
• Los divisores de cero izquierdo o derecho nunca pueden ser unidades , porque si a es invertible y ax = 0 para algún x distinto de cero , entonces 0 = a ⁻¹ 0 = a ⁻¹ ax = x , una contradicción.
• Un elemento es cancelable en el lado en el que es regular. Es decir, si a es un regular de izquierda, ax = ay implica que x = y , y lo mismo ocurre con el regular de derecha.

Cero como divisor de cero

No hay necesidad de una convención separada para el caso a = 0 , porque la definición se aplica también en este caso:

• Si R es un anillo distinto del anillo cero , entonces 0 es un divisor de cero (de dos lados), porque cualquier elemento x distinto de cero satisface 0 x = 0 = x  0 .
• Si R es el anillo cero, en el que 0 = 1 , entonces 0 no es un divisor de cero, porque no hay ningún elemento distinto de cero que cuando se multiplica por 0 dé 0 .

Algunas referencias incluyen o excluyen 0 como divisor de cero en todos los anillos por convención, pero luego tienen que introducir excepciones en declaraciones como las siguientes:

• En un anillo conmutativo R , el conjunto de divisores distintos de cero es un conjunto multiplicativo en R. (Esto, a su vez, es importante para la definición del anillo cociente total .) Lo mismo se aplica al conjunto de divisores de cero no izquierdos y al conjunto de divisores de cero no derechos en un anillo arbitrario, conmutativo. O no.
• En un anillo noetheriano conmutativo R , el conjunto de divisores cero es la unión de los ideales primos asociados de R.

Divisor cero en un módulo

Sea R un anillo conmutativo, sea M un módulo R y sea a un elemento de R. Se dice que a es M -regular si la aplicación "multiplicación por a " es inyectiva, y que a es un divisor de cero en M en caso contrario. ^[4] El conjunto de M -elementos regulares es un conjunto multiplicativo en R. ^[4] ${\displaystyle M\,{\stackrel {a}{\to }}\,M}$

Al especializar las definiciones de " M -regular" y "divisor de cero en M " al caso M = R se recuperan las definiciones de "regular" y "divisor de cero" dadas anteriormente en este artículo.

Ver también

• Propiedad de producto cero
• Glosario de álgebra conmutativa (Divisor cero exacto)
• Gráfico de divisor cero

Notas

1. Dado que el mapa no es inyectivo, tenemos ax = ay , en el que x difiere de y , y por lo tanto a ( x − y ) = 0 .

Referencias

1. N. Bourbaki (1989), Álgebra I, capítulos 1 a 3 , Springer-Verlag, p. 98
2. Charles Lanski (2005), Conceptos de álgebra abstracta , American Mathematical Soc., p. 342
3. Nicolás Bourbaki (1998). Álgebra I. Springer Ciencia + Medios comerciales . pag. 15.
4. Hideyuki Matsumura (1980), Álgebra conmutativa, segunda edición , The Benjamin/Cummings Publishing Company, Inc., p. 12

Otras lecturas

• "Divisor cero", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Michiel Hazewinkel ; Nadiya Gubareni; Nadezhda Mikhaĭlovna Gubareni; Vladimir V. Kirichenko. (2004), Álgebras, anillos y módulos , vol. 1, Springer, ISBN 1-4020-2690-0
• Weisstein, Eric W. "Divisor cero". MundoMatemático .