Homomorfismo del módulo Z
En álgebra , una aplicación aditiva , aplicación lineal o función aditiva es una función que conserva la operación de suma: [1]
dominioaplicación linealnúmeros realesla ecuación funcional de Cauchypolinomio aditivoMás formalmente, un mapa aditivo es un homomorfismo de módulo . Dado que un grupo abeliano es un módulo , puede definirse como un homomorfismo de grupo entre grupos abelianos.
Una aplicación que es aditiva en cada uno de los dos argumentos por separado se denomina aplicación biaditiva o aplicación bilineal . [2]
Ejemplos
Los ejemplos típicos incluyen mapas entre anillos , espacios vectoriales o módulos que preservan el grupo aditivo . Un mapa aditivo no necesariamente preserva ninguna otra estructura del objeto; por ejemplo, la operación producto de un anillo.
Si y son mapas aditivos, entonces el mapa (definido puntualmente ) es aditivo.
Propiedades
Definición de multiplicación escalar por un número entero
Supongamos que es un grupo aditivo con elemento de identidad y que el inverso de se denota por Para cualquier y un número entero sea:
módulo izquierdoHomogeneidad sobre los números enteros.
Si es un mapa aditivo entre grupos aditivos entonces y para todos (donde la negación denota el inverso aditivo) y [prueba 1]
En otras palabras, todo mapa aditivo es homogéneo respecto de los números enteros . En consecuencia, cada aplicación aditiva entre grupos abelianos es un homomorfismo de -módulos .
Homomorfismo de -módulos
Si los grupos abelianos aditivos y también son módulos unitales sobre los racionales (como espacios vectoriales reales o complejos ), entonces un mapa aditivo satisface: [prueba 2]
homogéneo respecto de los números racionalesmóduloshomomorfismo de módulosA pesar de ser homogénea como se describe en el artículo sobre la ecuación funcional de Cauchy , incluso cuando todavía es posible que la función aditiva no sea homogénea sobre los números reales ; Dicho de otra manera, existen aplicaciones aditivas que no tienen la forma de alguna constante.
En particular, existen aplicaciones aditivas que no son aplicaciones lineales .
Ver también
Notas
- ^ Leslie Hogben (2013), Manual de álgebra lineal (3 ed.), CRC Press, págs. 30–8, ISBN 9781498785600
- ^ N. Bourbaki (1989), Capítulos 1 a 3 de álgebra , Springer, p. 243
Pruebas
- ^ entonces sumar en ambos lados prueba que Si entonces entonces que dónde por definición, la inducción muestra que si es positivo entonces y que el inverso aditivo de es lo que implica que (esto muestra que es válido para ).
- ^ Let y dónde y Let Then , lo que implica que multiplicar ambos lados por prueba que, en consecuencia,
Referencias