Polinomio aditivo

En matemáticas , los polinomios aditivos son un tema importante en la teoría clásica de números algebraicos .

Definición

Sea k un cuerpo de característica prima p . Un polinomio P ( x ) con coeficientes en k se llama polinomio aditivo o polinomio de Frobenius si

${\displaystyle P(a+b)=P(a)+P(b)\,}$

como polinomios en a y b . Es equivalente suponer que esta igualdad se cumple para todos los a y b en algún cuerpo infinito que contenga k , como su clausura algebraica .

Ocasionalmente, se utiliza absolutamente aditivo para la condición anterior, y aditivo se utiliza para la condición más débil de que P ( a  +  b ) = P ( a ) +  P ( b ) para todos a y b en el cuerpo. Para cuerpos infinitos, las condiciones son equivalentes, pero para cuerpos finitos no lo son, y la condición más débil es la "incorrecta" ya que no se comporta bien. Por ejemplo, sobre un cuerpo de orden q, cualquier múltiplo P de x ^q  −  x satisfará P ( a  +  b ) = P ( a ) +  P ( b ) para todos a y b en el cuerpo, pero por lo general no será (absolutamente) aditivo.

Ejemplos

El polinomio x ^p es aditivo. En efecto, para cualquier a y b en la clausura algebraica de k se tiene por el teorema del binomio

${\displaystyle (a+b)^{p}=\sum _{n=0}^{p}{p \choose n}a^{n}b^{p-n}.}$

Como p es primo, para todo n = 1, ..., p −1 el coeficiente binomial es divisible por p , lo que implica que ${\displaystyle \scriptstyle {p \choose n}}$

${\displaystyle (a+b)^{p}\equiv a^{p}+b^{p}\mod p}$

como polinomios en a y b .

De manera similar todos los polinomios de la forma

${\displaystyle \tau _{p}^{n}(x)=x^{p^{n}}}$

son aditivos, donde n es un entero no negativo .

La definición tiene sentido incluso si k es un campo de característica cero, pero en este caso los únicos polinomios aditivos son aquellos de la forma ax para algún a en k . ^{[ cita requerida ]}

El anillo de polinomios aditivos

Es bastante fácil demostrar que cualquier combinación lineal de polinomios con coeficientes en k es también un polinomio aditivo. Una pregunta interesante es si existen otros polinomios aditivos aparte de estas combinaciones lineales. La respuesta es que estos son los únicos. ${\displaystyle \tau _{p}^{n}(x)}$

Se puede comprobar que si P ( x ) y M ( x ) son polinomios aditivos, entonces también lo son P ( x ) +  M ( x ) y P ( M ( x )). Esto implica que los polinomios aditivos forman un anillo bajo la adición y composición de polinomios . Este anillo se denota

${\displaystyle k\{\tau _{p}\}.\,}$

Este anillo no es conmutativo a menos que k sea el cuerpo (ver aritmética modular ). De hecho, considere los polinomios aditivos ax y x ^p para un coeficiente a en k . Para que conmuten bajo composición, debemos tener ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}=\mathbf {Z} /p\mathbf {Z} }$

${\displaystyle (ax)^{p}=ax^{p},\,}$

y por lo tanto a ^p  −  a = 0. Esto es falso para a no es una raíz de esta ecuación, es decir, para a exterior ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}.}$

El teorema fundamental de los polinomios aditivos

Sea P ( x ) un polinomio con coeficientes en k , y el conjunto de sus raíces. Suponiendo que las raíces de P ( x ) son distintas (es decir, P ( x ) es separable ), entonces P ( x ) es aditivo si y solo si el conjunto forma un grupo con el cuerpo adición. ${\displaystyle \{w_{1},\dots ,w_{m}\}\subset k}$ ${\displaystyle \{w_{1},\dots ,w_{m}\}}$

Véase también

• Módulo Drinfeld
• Mapa aditivo

Referencias

• David Goss , Estructuras básicas de la aritmética de campos de funciones , 1996, Springer, Berlín. ISBN  3-540-61087-1 .

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Polinomio aditivo". MundoMatemático .