Módulo plano

Algebraic structure in ring theory

En álgebra , los módulos planos incluyen módulos libres , módulos proyectivos y, sobre un dominio ideal principal , módulos libres de torsión . Formalmente, un módulo M sobre un anillo R es plano si al tomar el producto tensorial sobre R con M se conservan secuencias exactas . Un módulo es fielmente plano si al tomar el producto tensorial con una secuencia se produce una secuencia exacta si y sólo si la secuencia original es exacta.

La planitud fue introducida por Jean-Pierre Serre  (1956) en su artículo Géometrie Algébrique et Géométrie Analytique .

Definición

Un módulo izquierdo M sobre un anillo R es plano si se cumple la siguiente condición: para cada aplicación lineal inyectiva de R -módulos derechos, la aplicación ${\displaystyle \varphi :K\to L}$

${\displaystyle \varphi \otimes _{R}M:K\otimes _{R}M\to L\otimes _{R}M}$

también es inyectivo, ¿dónde está el mapa inducido por ${\displaystyle \varphi \otimes _{R}M}$ ${\displaystyle k\otimes m\mapsto \varphi (k)\otimes m.}$

Para esta definición, basta con restringir las inyecciones a las inclusiones de ideales finitamente generados en R. ${\displaystyle \varphi }$

De manera equivalente, un módulo R M es plano si el producto tensorial con M es un funtor exacto ; es decir, si, por cada secuencia corta exacta de R -módulos , la secuencia también es exacta. (Esta es una definición equivalente ya que el producto tensorial es un funtor exacto derecho ). ${\displaystyle 0\rightarrow K\rightarrow L\rightarrow J\rightarrow 0,}$ ${\displaystyle 0\rightarrow K\otimes _{R}M\rightarrow L\otimes _{R}M\rightarrow J\otimes _{R}M\rightarrow 0}$

Estas definiciones se aplican también si R es un anillo no conmutativo y M es un módulo R izquierdo ; en este caso, K , L y J deben ser módulos R correctos , y los productos tensoriales no son módulos R en general, sino solo grupos abelianos .

Caracterizaciones

La planitud también se puede caracterizar por la siguiente condición ecuacional, lo que significa que R - las relaciones lineales en M surgen de relaciones lineales en R.

Un módulo R izquierdo M es plano si y sólo si, para toda relación lineal

${\textstyle \sum _{i=1}^{m}r_{i}x_{i}=0}$

con y , existen elementos y tales que ^[1] ${\displaystyle r_{i}\in R}$ ${\displaystyle x_{i}\in M}$ ${\displaystyle y_{j}\in M}$ ${\displaystyle a_{i,j}\in R,}$

${\textstyle \sum _{i=1}^{m}r_{i}a_{i,j}=0\qquad }$para ${\displaystyle j=1,\ldots ,n,}$

y

${\textstyle x_{i}=\sum _{j=1}^{n}a_{i,j}y_{j}\qquad }$para ${\displaystyle i=1,\ldots ,m.}$

Es equivalente a definir n elementos de un módulo y un mapa lineal desde este módulo, que asigna la base estándar de a los n elementos. Esto permite reescribir la caracterización anterior en términos de homomorfismos, de la siguiente manera. ${\displaystyle R^{n}}$ ${\displaystyle R^{n}}$

Un R -módulo M es plano si y sólo si se cumple la siguiente condición: para cada mapa donde hay un R -módulo libre finitamente generado , y para cada R -submódulo finitamente generado del mapa factores a través de un mapa g a un R libre - módulo tal que ${\displaystyle f:F\to M,}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \ker f,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle g(K)=0:}$

Propiedad factorial de un módulo plano

Relaciones con otras propiedades del módulo

La planitud está relacionada con otras propiedades del módulo, como ser libre, proyectivo o sin torsión. En particular, cada módulo plano está libre de torsión , cada módulo proyectivo es plano y cada módulo libre es proyectivo.

Hay módulos generados finitamente que son planos y no proyectivos. Sin embargo, todos los módulos planos generados finitamente son proyectivos sobre los anillos que se consideran más comúnmente. Además, un módulo generado finitamente es plano si y sólo es libre localmente, lo que significa que todas las localizaciones en ideales principales son módulos libres.

Esto se resume en parte en el siguiente gráfico.

Propiedades del módulo en álgebra conmutativa

Módulos sin torsión

Cada módulo plano está libre de torsión . Esto resulta de la caracterización anterior en términos de relaciones tomando m = 1 .

Lo contrario se aplica a los números enteros y, más generalmente, a los dominios ideales principales y a los anillos de Dedekind .

Un dominio integral sobre el cual cada módulo libre de torsión es plano se llama dominio de Prüfer .

Módulos libres y proyectivos.

Un módulo M es proyectivo si y sólo si hay un módulo libre G y dos aplicaciones lineales y tales que , en particular, todo módulo libre es proyectivo (tomar y ). ${\displaystyle i:M\to G}$ ${\displaystyle p:G\to M}$ ${\displaystyle p\circ i=\mathrm {id} _{M}.}$ ${\displaystyle G=M}$ ${\displaystyle i=p=\mathrm {id} _{M}}$

Cada módulo proyectivo es plano. Esto se puede probar a partir de las caracterizaciones anteriores de planitud y proyectividad en términos de mapas lineales tomando y ${\displaystyle g=i\circ f}$ ${\displaystyle h=p.}$

Por el contrario, los módulos planos generados finitamente son proyectivos en condiciones suaves que generalmente se satisfacen en álgebra conmutativa y geometría algebraica . Esto hace que el concepto de planitud sea útil principalmente para módulos que no se generan de forma finita.

Un módulo presentado finitamente (es decir, el cociente de un módulo libre generado finitamente por un submódulo generado finitamente) que es plano siempre es proyectivo. Esto se puede probar tomando f sobreyectivo y en la caracterización anterior de la planitud en términos de aplicaciones lineales. La condición implica la existencia de una aplicación lineal tal que y por tanto. Como f es sobreyectiva, se tiene así y M es proyectivo. ${\displaystyle K=\ker f}$ ${\displaystyle g(K)=0}$ ${\displaystyle i:M\to G}$ ${\displaystyle i\circ f=g,}$ ${\displaystyle h\circ i\circ f=h\circ g=f.}$ ${\displaystyle h\circ i=\mathrm {id} _{M},}$

Sobre un anillo noetheriano , cada módulo plano generado finitamente es proyectivo, ya que cada módulo generado finitamente se presenta finitamente. El mismo resultado es válido para un dominio integral , incluso si no es noetheriano. ^[2]

En un anillo local, cada módulo plano generado de forma finita es libre. ^[3]

Un módulo plano generado finitamente que no es proyectivo se puede construir de la siguiente manera. Sea el conjunto de las sucesiones infinitas cuyos términos pertenecen a un campo fijo F . Es un anillo conmutativo con suma y multiplicación definidas componente a componente. Este anillo es absolutamente plano (es decir, cada módulo es plano). El módulo donde I es el ideal de las secuencias con un número finito de términos distintos de cero es, por tanto, plano y finitamente generado (solo un generador), pero no es proyectivo. ${\displaystyle R=F^{\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle R/I,}$

No ejemplos

• Si I es un ideal en un anillo conmutativo noetheriano R , entonces no es un módulo plano, excepto si I es generado por un idempotente (es decir, un elemento igual a su cuadrado). En particular, si R es un dominio integral , es plano sólo si es igual a R o es el ideal cero . ${\displaystyle R/I}$ ${\displaystyle R/I}$ ${\displaystyle I}$
• En un dominio integral, un módulo plano está libre de torsión . Por tanto, un módulo que contiene elementos de torsión distintos de cero no es plano. En particular , todos los campos de características positivas son módulos no planos , donde es el anillo de los números enteros y es el campo de los números racionales. ${\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Sumas directas, límites y productos

Una suma directa de módulos es plana si y sólo si cada uno de ellos es plano. ${\displaystyle \textstyle \bigoplus _{i\in I}M_{i}}$ ${\displaystyle M_{i}}$

Un límite directo de piso es plano. En particular, el límite directo de módulos gratuitos es fijo. Por el contrario, cada módulo plano se puede escribir como un límite directo de módulos libres generados de forma finita . ^[4]

En general , los productos directos de módulos planos no necesitan ser planos. De hecho, dado un anillo R , todo producto directo de R -módulos planos es plano si y sólo si R es un anillo coherente (es decir, todo ideal finitamente generado se presenta de forma finita). ^[5]

Extensiones de anillo plano

Un homomorfismo de anillo es plano si S es un módulo R plano para la estructura del módulo inducida por el homomorfismo. Por ejemplo, el anillo polinómico R [ t ] es plano sobre R , para cualquier anillo R . ${\displaystyle R\to S}$

Para cualquier subconjunto multiplicativo de un anillo conmutativo , la localización es un álgebra R plana (es proyectiva sólo en casos excepcionales). Por ejemplo, es plano y no proyectivo. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle S^{-1}R}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} .}$

Si es un ideal de un anillo conmutativo noetheriano la terminación de con respecto a es plana. ^[6] Es fielmente plano si y sólo si está contenido en el radical de Jacobson de (Ver también anillo de Zariski ). ^[7] ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle R,}$ ${\displaystyle {\widehat {R}}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle A.}$

propiedad local

En esta sección, R denota un anillo conmutativo . Si es un ideal primo de R , la localización en se denota, como de costumbre, con un índice. Es decir, y, si M es un R -módulo, ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle R_{\mathfrak {p}}=(R\setminus {\mathfrak {p}})^{-1}R,}$ ${\displaystyle M_{\mathfrak {p}}=(R\setminus {\mathfrak {p}})^{-1}M=R_{\mathfrak {p}}\otimes _{R}M.}$

Si M es un módulo R , las tres condiciones siguientes son equivalentes:

• ${\displaystyle M}$es un módulo plano; ${\displaystyle R}$
• ${\displaystyle M_{\mathfrak {p}}}$es un módulo plano para cada ideal primo ${\displaystyle R_{\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}};}$
• ${\displaystyle M_{\mathfrak {m}}}$es un módulo plano para cada ideal máximo ${\displaystyle R_{\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}.}$

Esta propiedad es fundamental en álgebra conmutativa y geometría algebraica, ya que reduce el estudio de la planitud al caso de anillos locales . A menudo se expresan diciendo que la planitud es una propiedad local .

Morfismos planos de esquemas.

La definición de un morfismo plano de esquemas resulta inmediatamente de la propiedad local de planitud.

Un morfismo de esquemas es un morfismo plano si el mapa inducido en anillos locales ${\displaystyle f:X\to Y}$

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{Y,f(x)}\to {\mathcal {O}}_{X,x}}$

es un homomorfismo de anillo plano para cualquier punto x en X .

Por tanto, las propiedades de los homomorfismos de anillos planos (o fielmente planos) se extienden naturalmente a las propiedades geométricas de los morfismos planos en geometría algebraica.

Por ejemplo, considere el álgebra plana (ver más abajo). La inclusión induce el morfismo plano. ${\displaystyle \mathbb {C} [t]}$ ${\displaystyle R=\mathbb {C} [t,x,y]/(xy-t)}$ ${\displaystyle \mathbb {C} [t]\hookrightarrow R}$

${\displaystyle \pi :\operatorname {Spec} (R)\to \operatorname {Spec} (\mathbb {C} [t]).}$

Cada fibra (geométrica) es la curva de la ecuación (Ver también degeneración plana y deformación a cono normal ). ${\displaystyle \pi ^{-1}(t)}$ ${\displaystyle xy=t.}$

Sea un anillo polinómico sobre un anillo noetheriano conmutativo y un divisor distinto de cero. Entonces es plano si y sólo si es primitivo (los coeficientes generan el ideal unitario). ^[8] Un ejemplo es ^[9] que es plano (e incluso libre) (ver también más abajo el significado geométrico). Estas extensiones planas se pueden utilizar para generar ejemplos de módulos planos que no son libres y no son el resultado de una localización. ${\displaystyle S=R[x_{1},\dots ,x_{r}]}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle f\in S}$ ${\displaystyle S/fS}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbb {C} [t,x,y]/(xy-t),}$ ${\displaystyle \mathbb {C} [t]}$

Fiel planitud

Un módulo es fielmente plano si al tomar el producto tensorial con una secuencia se produce una secuencia exacta si y sólo si la secuencia original es exacta. Aunque el concepto está definido para módulos sobre un anillo conmutativo no necesario, se utiliza principalmente para álgebras conmutativas . Por lo tanto, este es el único caso que se considera aquí, incluso si algunos resultados pueden generalizarse al caso de módulos sobre un anillo no conmutativo.

En esta sección, hay un homomorfismo de anillo de anillos conmutativos, que da lugar a las estructuras de un -álgebra y un -módulo. Si es un módulo -plano (o fielmente plano), se dice comúnmente que es plano (o fielmente plano) encima y que es plano (o fielmente plano). ${\displaystyle f\colon R\to S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle R,}$ ${\displaystyle f}$

Si es plano, las siguientes condiciones son equivalentes. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle R,}$

• ${\displaystyle S}$es fielmente plano.
• Para cada ideal máximo de , se tiene ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}S\neq S.}$
• Si es un módulo distinto de cero, entonces ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle M\otimes _{R}S\neq 0.}$
• Para cada ideal primo de existe un ideal primo de tal que En otras palabras, el mapa inducido por en los espectros es sobreyectivo. ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle R,}$ ${\displaystyle {\mathfrak {P}}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}=f^{-1}({\mathfrak {P}}).}$ ${\displaystyle f^{*}\colon \operatorname {Spec} (S)\to \operatorname {Spec} (R)}$ ${\displaystyle f}$
• ${\displaystyle f,}$es inyectivo y es un subanillo puro de es decir, es inyectivo para cada módulo . ^[a] ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle S;}$ ${\displaystyle M\to M\otimes _{R}S}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle M}$

La segunda condición implica que un homomorfismo local plano de anillos locales es fielmente plano. De la última condición se deduce que para todo ideal de (tomar ). En particular, si es un anillo noetheriano, entonces también lo es. ${\displaystyle I=IS\cap R}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle M=R/I}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle R}$

La penúltima condición se puede enunciar de la siguiente forma reforzada: es sumergible , lo que significa que la topología de Zariski de es la topología cociente de la de (este es un caso especial del hecho de que un morfismo de esquemas cuasicompacto fielmente plano tiene esta propiedad. ^[10] ). Ver también Morfismo plano § Propiedades de los morfismos planos . ${\displaystyle \operatorname {Spec} (S)\to \operatorname {Spec} (R)}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} (R)}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} (S)}$

Ejemplos

• Un homomorfismo de anillo tal que sea un módulo R libre distinto de cero es fielmente plano. Por ejemplo: ${\displaystyle R\to S}$ ${\displaystyle S}$
  • Cada extensión del campo es fielmente plana. Esta propiedad está implícitamente detrás del uso de la complejización para demostrar resultados en espacios vectoriales reales.
  • Un anillo polinómico es una extensión fielmente plana de su anillo de coeficientes.
  • Si es un polinomio mónico , la inclusión es fielmente plana. ${\displaystyle p\in R[x]}$ ${\displaystyle R\hookrightarrow R[t]/\langle p\rangle }$
• Sea El producto directo de las localizaciones en es fielmente plano si y solo si genera el ideal unitario de (es decir, si es una combinación lineal de ). ^[11] ${\displaystyle t_{1},\ldots ,t_{k}\in R.}$ ${\displaystyle \textstyle \prod _{i}R[t_{i}^{-1}]}$ ${\displaystyle t_{i}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle t_{1},\ldots ,t_{k}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle t_{i}}$
• La suma directa de las localizaciones de todos sus ideales primos es un módulo fielmente plano que no es un álgebra, excepto si hay un número finito de ideales primos. ${\displaystyle R_{\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle R}$

Los dos últimos ejemplos están implícitamente detrás del amplio uso de la localización en álgebra conmutativa y geometría algebraica.

• Para un homomorfismo de anillo dado hay un complejo asociado llamado complejo de Amitsur : ^[12] ${\displaystyle f:A\to B,}$

$${\displaystyle 0\to A{\overset {f}{\to }}B{\overset {\delta ^{0}}{\to }}B\otimes _{A}B{\overset {\delta ^{1}}{\to }}B\otimes _{A}B\otimes _{A}B\to \cdots }$$

${\displaystyle \delta ^{n}}$ ${\displaystyle \delta ^{0}(b)=b\otimes 1-1\otimes b}$ ${\displaystyle f}$

Homomorfismos locales fielmente planos

Aquí hay una caracterización de un homomorfismo fielmente plano para un homomorfismo no necesariamente plano. Dado un homomorfismo local inyectivo tal que sea un ideal primario , el homomorfismo es fielmente plano si y sólo si el teorema de transición es válido para él; es decir, para cada ideal primario de , ^[13] ${\displaystyle (R,{\mathfrak {m}})\hookrightarrow (S,{\mathfrak {n}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}S}$ ${\displaystyle {\mathfrak {n}}}$ ${\displaystyle S\to B}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \operatorname {length} _{S}(S/{\mathfrak {q}}S)=\operatorname {length} _{S}(S/{\mathfrak {m}}S)\operatorname {length} _{R}(R/{\mathfrak {q}}).}$

Caracterización homológica mediante functores Tor.

La planitud también se puede expresar utilizando los functores Tor , los functores derivados por la izquierda del producto tensorial. Un módulo izquierdo es plano si y sólo si ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle \operatorname {Tor} _{n}^{R}(X,M)=0}$para todos y todos los módulos correctos ). ^[b] ${\displaystyle n\geq 1}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle X}$

De hecho, basta con comprobar que el primer término de Tor desaparece, es decir, M es plano si y sólo si

${\displaystyle \operatorname {Tor} _{1}^{R}(N,M)=0}$

para cualquier -módulo o, aún más restrictivamente, cuando y es cualquier ideal finitamente generado. ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N=R/I}$ ${\displaystyle I\subset R}$

Utilizando las secuencias exactas largas del functor Tor , se pueden probar fácilmente hechos sobre una secuencia exacta corta

${\displaystyle 0\to A{\overset {f}{\longrightarrow }}B{\overset {g}{\longrightarrow }}C\to 0}$

Si y son planos, entonces también lo es . Además, si y son planos, entonces también lo es . Si y son planos, no es necesario que sean planos en general. Sin embargo, si es puro en y es plano, entonces y son planos. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle C}$

Resoluciones planas

Una resolución plana de un módulo es una resolución de la forma ${\displaystyle M}$

${\displaystyle \cdots \to F_{2}\to F_{1}\to F_{0}\to M\to 0,}$

donde están todos los módulos planos. Cualquier resolución libre o proyectiva es necesariamente una resolución plana. Se pueden utilizar resoluciones planas para calcular el functor Tor . ${\displaystyle F_{i}}$

La longitud de una resolución plana finita es el primer subíndice n tal que es distinto de cero y para . Si un módulo admite una resolución plana finita, la longitud mínima entre todas las resoluciones planas finitas de se denomina dimensión plana ^[14] y se denota . Si no admite una resolución plana finita, entonces por convención se dice que la dimensión plana es infinita. Como ejemplo, considere un módulo tal que . En esta situación, la exactitud de la secuencia indica que la flecha en el centro es un isomorfismo y, por lo tanto, es plana. ^[C] ${\displaystyle F_{n}}$ ${\displaystyle F_{i}=0}$ ${\displaystyle i>n}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \operatorname {fd} (M)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \operatorname {fd} (M)=0}$ ${\displaystyle 0\to F_{0}\to M\to 0}$ ${\displaystyle M}$

En algunas áreas de la teoría de módulos, una resolución plana debe satisfacer el requisito adicional de que cada mapa sea una precubierta plana del núcleo del mapa de la derecha. Para las resoluciones proyectivas, esta condición es casi invisible: una precobertura proyectiva es simplemente un epimorfismo de un módulo proyectivo. Estas ideas están inspiradas en el trabajo de Auslander en aproximaciones. Estas ideas también son familiares por la noción más común de resoluciones proyectivas mínimas, donde se requiere que cada mapa sea una cobertura proyectiva del núcleo del mapa de la derecha. Sin embargo, no es necesario que existan coberturas proyectivas en general, por lo que las resoluciones proyectivas mínimas solo tienen un uso limitado en anillos como los números enteros.

Cubiertas planas

Si bien no siempre existen cubiertas proyectivas para módulos, se especuló que para anillos generales, cada módulo tendría una cubierta plana, es decir, cada módulo M sería la imagen epimórfica de un módulo plano F tal que cada mapa de un módulo plano sobre M factores a través de F , y cualquier endomorfismo de F sobre M es un automorfismo. Esta conjetura de la cubierta plana fue expresada explícitamente por primera vez en Enochs (1981, p. 196). La conjetura resultó ser cierta, resuelta positivamente y demostrada simultáneamente por L. Bican, R. El Bashir y E. Enochs. ^[15] Esto fue precedido por importantes contribuciones de P. Eklof, J. Trlifaj y J. Xu.

Dado que existen cubiertas planas para todos los módulos en todos los anillos, las resoluciones planas mínimas pueden reemplazar las resoluciones proyectivas mínimas en muchas circunstancias. La medición de la desviación de las resoluciones planas de las resoluciones proyectivas se denomina álgebra homológica relativa y se trata en clásicos como Mac Lane (1963) y en trabajos más recientes centrados en resoluciones planas como Enochs y Jenda (2000).

En matemáticas constructivas

Los módulos planos tienen una importancia creciente en matemáticas constructivas , donde los módulos proyectivos son menos útiles. Por ejemplo, que todos los módulos libres sean proyectivos equivale al axioma completo de elección , por lo que los teoremas sobre módulos proyectivos, incluso si se demuestran constructivamente, no necesariamente se aplican a los módulos libres. Por el contrario, no se necesita elección para demostrar que los módulos libres son planos, por lo que aún se pueden aplicar los teoremas sobre módulos planos. ^[dieciséis]

Ver también

• planitud genérica
• Morfismo plano
• Anillo regular de von Neumann : anillos sobre los cuales todos los módulos son planos.
• Anillo normalmente plano

Notas

1. Prueba: Supongamos que es fielmente plano. Para un módulo R , el mapa se presenta como un subanillo puro y, por lo tanto, es inyectivo. Por tanto, es inyectivo. Por el contrario, si hay un módulo terminado , entonces ${\displaystyle f:R\to S}$ ${\displaystyle M,}$ ${\displaystyle S=R\otimes _{R}S\to S\otimes _{R}S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle M\otimes _{R}S\to M\otimes _{R}(S\otimes S)\simeq (M\otimes _{R}S)\otimes _{R}S}$ ${\displaystyle M\to M\otimes _{R}S}$ ${\displaystyle M\neq 0}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle 0\neq M\subset M\otimes _{R}S.}$
2. De manera similar, un módulo derecho es plano si y solo si para todos y todos los módulos izquierdos . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \operatorname {Tor} _{n}^{R}(M,X)=0}$ ${\displaystyle n\geq 1}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle X}$
3. Un módulo isomorfo a un módulo plano es, por supuesto, plano.

Citas

1. Bourbaki, cap. I, § 2. Proposición 13, Corolario 1
2. Cartier 1958, Déjame 5, pág. 249
3. Matsumura 1986, Teorema 7.10
4. Lazard 1969
5. Persecución 1960
6. Matsumura 1970, Corolario 1 del Teorema 55, p. 170
7. Matsumura 1970, Teorema 56
8. Eisenbud 1995, ejercicio 6.4
9. Artín, pag. 3
10. SGA I, Exposé VIII., Corolay 4.3
11. Artin 1999, Ejercicio (3) después de la Proposición III.5.2
12. "Complejo Amitsur". ncatlab.org .
13. Matsumura 1986, cap. 8, Ejercicio 22.1
14. Lam 1999, pag. 183
15. Bican, El Bashir y Enocs 2001
16. Hombre rico 1997

Referencias

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• Artín, Michael (1999). "Anillos no conmutativos" (PDF) .
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