dominio dedekind

Anillo con factorización única para ideales (matemáticas)

En álgebra abstracta , un dominio de Dedekind o anillo de Dedekind , llamado así en honor a Richard Dedekind , es un dominio integral en el que cada ideal propio distinto de cero se factoriza en un producto de ideales primos . Se puede demostrar que tal factorización es necesariamente única hasta el orden de los factores. Hay al menos otras tres caracterizaciones de los dominios de Dedekind que a veces se toman como definición: ver más abajo.

Un campo es un anillo conmutativo en el que no hay ideales propios no triviales, de modo que cualquier campo es un dominio de Dedekind, aunque de una manera bastante vacía . Algunos autores añaden el requisito de que un dominio de Dedekind no sea un campo. Muchos más autores exponen teoremas para dominios de Dedekind con la condición implícita de que pueden requerir modificaciones triviales para el caso de campos.

Una consecuencia inmediata de la definición es que todo dominio ideal principal (PID) es un dominio de Dedekind. De hecho, un dominio de Dedekind es un dominio de factorización único (UFD) si y sólo si es un PID.

La prehistoria de los dominios de Dedekind

En el siglo XIX se convirtió en una técnica común obtener información sobre soluciones enteras de ecuaciones polinómicas utilizando anillos de números algebraicos de mayor grado. Por ejemplo, arregle un número entero positivo . En el intento de determinar qué números enteros están representados por la forma cuadrática , es natural factorizar la forma cuadrática , teniendo lugar la factorización en el anillo de números enteros del campo cuadrático . De manera similar, para un número entero positivo, el polinomio (que es relevante para resolver la ecuación de Fermat ) se puede factorizar sobre el anillo , donde es una raíz n -ésima primitiva de la unidad . ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle x^{2}+my^{2}}$ ${\displaystyle (x+{\sqrt {-m}}y)(x-{\sqrt {-m}}y)}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {-m}})}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle z^{n}-y^{n}}$ ${\displaystyle x^{n}+y^{n}=z^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [\zeta _{n}]}$ ${\displaystyle \zeta _{n}}$

Para unos pocos valores pequeños de y estos anillos de números enteros algebraicos son PID, y esto puede verse como una explicación de los éxitos clásicos de Fermat ( ) y Euler ( ). En ese momento , los teóricos de la forma cuadrática conocían bien un procedimiento para determinar si el anillo de todos los números enteros algebraicos de un campo cuadrático dado es un PID. Gauss había estudiado especialmente el caso de los campos cuadráticos imaginarios: encontró exactamente nueve valores de para los cuales el anillo de números enteros es un PID y conjeturó que no había más valores. (La conjetura de Gauss fue probada más de cien años después por Kurt Heegner , Alan Baker y Harold Stark ). Sin embargo, esto se entendió (sólo) en el lenguaje de las clases de equivalencia de formas cuadráticas, de modo que en particular la analogía entre formas cuadráticas y la ecuación de Fermat parece no haber sido percibida. En 1847 Gabriel Lamé anunció una solución para todos del último teorema de Fermat ; es decir, que la ecuación de Fermat no tiene soluciones en números enteros distintos de cero, pero resultó que su solución dependía del supuesto de que el anillo ciclotómico es un UFD. Ernst Kummer había demostrado tres años antes que este no era el caso ( ahora se conoce la lista completa y finita de valores para los cuales es un UFD). Al mismo tiempo, Kummer desarrolló nuevos y potentes métodos para demostrar el último teorema de Fermat al menos para una gran clase de exponentes primos utilizando lo que ahora reconocemos como el hecho de que el anillo es un dominio de Dedekind. De hecho, Kummer no trabajó con ideales sino con " números ideales ", y Dedekind dio la definición moderna de ideal. ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m=1,n=4}$ ${\displaystyle m=2,3,n=3}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {D}})}$ ${\displaystyle D<0}$ ${\displaystyle n>2}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [\zeta _{n}]}$ ${\displaystyle n=23}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [\zeta _{n}]}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [\zeta _{n}]}$

En el siglo XX, los algebraistas y los teóricos de los números se dieron cuenta de que la condición de ser un PID es bastante delicada, mientras que la condición de ser un dominio de Dedekind es bastante sólida. Por ejemplo, el anillo de números enteros ordinarios es un PID, pero como se vio arriba, el anillo de números enteros algebraicos en un campo numérico no tiene por qué ser un PID. De hecho, aunque Gauss también conjeturó que hay infinitos números primos tales que el anillo de números enteros es un PID, aún no se sabe si hay infinitos campos numéricos (de grado arbitrario) tales que es un PID. Por otro lado, el anillo de números enteros en un campo numérico es siempre un dominio de Dedekind. ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {p}})}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$

Otro ejemplo de la dicotomía delicado/robusto es el hecho de que ser un dominio de Dedekind es, entre los dominios noetherianos , una propiedad local : un dominio noetheriano es Dedekind si para cada ideal máximo de la localización es un anillo de Dedekind. Pero un dominio local es un anillo de Dedekind si es un PID y si es un anillo de valoración discreta (DVR), por lo que la misma caracterización local no puede ser válida para los PID: más bien, se puede decir que el concepto de anillo de Dedekind es la globalización de el de un DVR. ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R_{M}}$

Definiciones alternativas

Para un dominio integral que no es un campo, todas las condiciones siguientes son equivalentes: ^[1] ${\displaystyle R}$

(DD1) Todo ideal propio distinto de cero se factoriza en números primos.

(DD2) es noetheriano y la localización en cada ideal máximo es un anillo de valoración discreto. ${\displaystyle R}$

(DD3) Todo ideal fraccionario de distinto de cero es invertible. ${\displaystyle R}$

(DD4) es un dominio noetheriano integralmente cerrado con dimensión de Krull uno (es decir, todo ideal primo distinto de cero es máximo). ${\displaystyle R}$

(DD5) Para dos ideales cualesquiera y en , está contenido en si y sólo si se divide como ideales. Es decir, existe un ideal tal que . Un anillo conmutativo (no necesariamente un dominio) con una unidad que satisface esta condición se llama anillo de división de contención (CDR). ^[2] ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle I=JH}$

Por lo tanto, un dominio de Dedekind es un dominio que es un campo o satisface cualquiera, y por tanto los cinco, de (DD1) a (DD5). Por lo tanto, cuál de estas condiciones se toma como definición es simplemente una cuestión de gustos. En la práctica, suele ser más fácil de verificar (DD4).

Un dominio de Krull es un análogo de dimensión superior de un dominio de Dedekind: un dominio de Dedekind que no es un campo es un dominio de Krull de dimensión 1. Esta noción se puede utilizar para estudiar las diversas caracterizaciones de un dominio de Dedekind. De hecho, esta es la definición de dominio de Dedekind utilizada en el "Álgebra conmutativa" de Bourbaki .

Un dominio de Dedekind también se puede caracterizar en términos de álgebra homológica : un dominio integral es un dominio de Dedekind si y sólo si es un anillo hereditario ; es decir, cada submódulo de un módulo proyectivo encima de él es proyectivo. De manera similar, un dominio integral es un dominio de Dedekind si y sólo si cada módulo divisible sobre él es inyectivo . ^[3]

Algunos ejemplos de dominios Dedekind

Todos los dominios ideales principales y, por tanto, todos los anillos de valoración discretos son dominios de Dedekind.

El anillo de números enteros algebraicos en un cuerpo numérico K es noetheriano, integralmente cerrado y de dimensión uno: para ver la última propiedad, observe que para cualquier ideal primo distinto de cero I de R , R / I es un conjunto finito, y recuerde que a dominio integral finito es un campo; entonces por (DD4) R es un dominio de Dedekind. Como se indicó anteriormente, esto incluye todos los ejemplos considerados por Kummer y Dedekind y fue el motivo que motivó la definición general, y estos siguen estando entre los ejemplos más estudiados. ${\displaystyle R={\mathcal {O}}_{K}}$

La otra clase de anillos de Dedekind que posiblemente sea de igual importancia proviene de la geometría: sea C una curva algebraica afín geométricamente integral no singular sobre un campo k . Entonces el anillo de coordenadas k [ C ] de funciones regulares en C es un dominio de Dedekind. Esto queda claro en gran medida simplemente al traducir términos geométricos al álgebra: el anillo de coordenadas de cualquier variedad afín es, por definición, una k -álgebra finitamente generada, por lo tanto noetheriana; además, curva significa dimensión uno y no singular implica (y, en dimensión uno, es equivalente a) normal , que por definición significa integralmente cerrado .

Ambas construcciones pueden verse como casos especiales del siguiente resultado básico:

Teorema : Sea R un dominio de Dedekind con campo fraccionario K. Sea L una extensión de campo de grado finito de K y denotemos por S la clausura integral de R en L. Entonces S es en sí mismo un dominio de Dedekind. ^[4]

La aplicación de este teorema cuando R es en sí mismo un PID nos brinda una forma de construir dominios de Dedekind a partir de PID. Tomando R = Z , esta construcción dice precisamente que los anillos de números enteros de campos numéricos son dominios de Dedekind. Tomando R = k [ t ], se obtiene el caso anterior de curvas afines no singulares como coberturas ramificadas de la línea afín.

Zariski y Samuel quedaron lo suficientemente cautivados por esta construcción como para preguntarse si todos los dominios de Dedekind surgen de ella; es decir, comenzando con un PID y tomando el cierre integral en una extensión de campo de grados finitos. ^[5] L. Claborn dio una respuesta negativa sorprendentemente simple. ^[6]

Si la situación es la anterior pero la extensión L de K es algebraica de grado infinito, entonces todavía es posible que la clausura integral S de R en L sea un dominio de Dedekind, pero no está garantizado. Por ejemplo, tomemos nuevamente R = Z , K = Q y ahora tomemos L como el cuerpo de todos los números algebraicos. La clausura integral no es más que el anillo de todos los números enteros algebraicos. Dado que la raíz cuadrada de un entero algebraico es nuevamente un entero algebraico, no es posible factorizar ningún entero algebraico no unitario distinto de cero en un producto finito de elementos irreducibles, lo que implica que ni siquiera es noetheriano. En general, la clausura integral de un dominio de Dedekind en una extensión algebraica infinita es un dominio de Prüfer ; resulta que el anillo de los enteros algebraicos es un poco más especial que esto: es un dominio de Bézout . ${\displaystyle {\overline {\textbf {Q}}}}$ ${\displaystyle {\overline {\textbf {Z}}}}$ ${\displaystyle {\overline {\textbf {Z}}}}$

Ideales fraccionarios y el grupo de clases.

Sea R un dominio integral con campo fraccionario K. Un ideal fraccionario es un R -submódulo I distinto de cero de K para el cual existe un x distinto de cero en K tal que ${\displaystyle xI\subset R.}$

Dados dos ideales fraccionarios I y J , se define su producto IJ como el conjunto de todas las sumas finitas : el producto IJ es nuevamente un ideal fraccionario. El conjunto Frac( R ) de todos los ideales fraccionarios dotados del producto anterior es un semigrupo conmutativo y de hecho un monoide : el elemento identidad es el ideal fraccionario R. ${\displaystyle \sum _{n}i_{n}j_{n},\,i_{n}\in I,\,j_{n}\in J}$

Para cualquier ideal fraccionario I , se puede definir el ideal fraccionario

${\displaystyle I^{*}=(R:I)=\{x\in K\mid xI\subset R\}.}$

Entonces, tautológicamente se tiene . De hecho, se tiene igualdad si y sólo si I , como elemento del monoide de Frac( R ), es invertible. En otras palabras, si I tiene alguna inversa, entonces la inversa debe ser . ${\displaystyle I^{*}I\subset R}$ ${\displaystyle I^{*}}$

Un ideal fraccionario principal es uno de la forma para alguna x distinta de cero en K . Tenga en cuenta que cada ideal fraccionario principal es invertible, lo contrario de ser simplemente . Denotamos el subgrupo de ideales fraccionarios principales por Prin( R ). ${\displaystyle xR}$ ${\displaystyle xR}$ ${\displaystyle {\frac {1}{x}}R}$

Un dominio R es un PID si y sólo si todo ideal fraccionario es principal. En este caso, tenemos Frac( R ) = Prin( R ) = , ya que dos ideales fraccionarios principales y son iguales si y solo si es una unidad en R . ${\displaystyle K^{\times }/R^{\times }}$ ${\displaystyle xR}$ ${\displaystyle yR}$ ${\displaystyle xy^{-1}}$

Para un dominio general R , tiene sentido tomar el cociente del monoide Frac( R ) de todos los ideales fraccionarios por el submonoide Prin( R ) de los ideales fraccionarios principales. Sin embargo, este cociente en sí mismo es generalmente sólo un monoide. De hecho, es fácil ver que la clase de un ideal fraccionario I en Frac( R )/Prin( R ) es invertible si y sólo si I en sí es invertible.

Ahora podemos apreciar (DD3): en un dominio de Dedekind (y sólo en un dominio de Dedekind) todo ideal fraccionario es invertible. Por lo tanto , éstas son precisamente la clase de dominios para los cuales Frac( R )/Prin( R ) forma un grupo , el grupo de clase ideal Cl( R ) de R. Este grupo es trivial si y sólo si R es un PID, por lo que puede verse como una cuantificación de la obstrucción para que un dominio general de Dedekind sea un PID.

Observamos que para un dominio arbitrario se puede definir el grupo de Picard Pic( R ) como el grupo de ideales fraccionarios invertibles Inv( R ) módulo el subgrupo de ideales fraccionarios principales. Para un dominio de Dedekind, esto es, por supuesto, lo mismo que el grupo de clase ideal. Sin embargo, en una clase más general de dominios, incluidos los dominios noetherianos y los dominios Krull, el grupo de clases ideal se construye de una manera diferente y existe un homomorfismo canónico.

Imagen( R ) → Cl( R )

que sin embargo generalmente no es ni inyectivo ni sobreyectivo . Este es un análogo afín de la distinción entre divisores de Cartier y divisores de Weil en una variedad algebraica singular.

Un teorema notable de L. Claborn (Claborn 1966) afirma que para cualquier grupo abeliano G , existe un dominio de Dedekind R cuyo grupo de clases ideal es isomorfo a G. Posteriormente, CR Leedham-Green demostró que dicha R puede construirse como el cierre integral de un PID en una extensión de campo cuadrático (Leedham-Green 1972). En 1976, M. Rosen mostró cómo realizar cualquier grupo abeliano contable como el grupo de clases de un dominio de Dedekind que es un subanillo del campo de función racional de una curva elíptica, y conjeturó que tal construcción "elíptica" debería ser posible para una grupo abeliano general (Rosen 1976). La conjetura de Rosen fue probada en 2008 por PL Clark (Clark 2009).

Por el contrario, uno de los teoremas básicos de la teoría algebraica de números afirma que el grupo de clases del anillo de números enteros de un cuerpo numérico es finito; su cardinalidad se llama número de clase y es una invariante importante y bastante misteriosa, a pesar del arduo trabajo de muchos destacados matemáticos desde Gauss hasta la actualidad.

Módulos finitamente generados sobre un dominio Dedekind

En vista del conocido y extremadamente útil teorema de estructura para módulos generados finitamente sobre un dominio ideal principal (PID), es natural pedir una teoría correspondiente para módulos generados finitamente sobre un dominio de Dedekind.

Recordemos brevemente la teoría de la estructura en el caso de un módulo generado finitamente sobre un PID . Definimos el submódulo de torsión como el conjunto de elementos de tal que para algún valor distinto de cero en . Entonces: ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle rm=0}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle R}$

(M1) se puede descomponer en una suma directa de módulos de torsión cíclica , cada uno de la forma para algún ideal distinto de cero de . Según el teorema del resto chino, cada uno puede descomponerse en una suma directa de submódulos de la forma , donde es una potencia de un ideal primo. Esta descomposición no tiene por qué ser única, pero dos descomposiciones cualesquiera ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle R/I}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R/I}$ ${\displaystyle R/P^{i}}$ ${\displaystyle P^{i}}$

${\displaystyle T\cong R/P_{1}^{a_{1}}\oplus \cdots \oplus R/P_{r}^{a_{r}}\cong R/Q_{1}^{b_{1}}\oplus \cdots \oplus R/Q_{s}^{b_{s}}}$

difieren sólo en el orden de los factores.

(M2) El submódulo de torsión es un sumando directo. Es decir, existe un submódulo complementario de tal que . ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M=T\oplus P}$

(M3PID) isomorfo a un entero no negativo determinado de forma única . En particular, es un módulo gratuito generado de forma finita. ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle R^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle P}$

Ahora sea un módulo generado finitamente sobre un dominio de Dedekind arbitrario . Luego (M1) y (M2) se mantienen palabra por palabra. Sin embargo, de (M3PID) se deduce que un módulo libre de torsión generado de forma finita a través de un PID es libre. En particular, afirma que todos los ideales fraccionarios son principales, afirmación que es falsa siempre que no sea un PID. En otras palabras, la no trivialidad del grupo de clases hace que (M3PID) falle. Sorprendentemente, la estructura adicional en módulos finitamente generados sin torsión sobre un dominio arbitrario de Dedekind está controlada precisamente por el grupo de clases, como ahora explicamos. Sobre un dominio arbitrario de Dedekind se tiene ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle Cl(R)}$

(M3DD) es isomorfo a una suma directa de módulos proyectivos de rango uno: . Además, para cualquier módulo proyectivo de rango uno , se tiene ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P\cong I_{1}\oplus \cdots \oplus I_{r}}$ ${\displaystyle I_{1},\ldots ,I_{r},J_{1},\ldots ,J_{s}}$

${\displaystyle I_{1}\oplus \cdots \oplus I_{r}\cong J_{1}\oplus \cdots \oplus J_{s}}$

si y solo si

${\displaystyle r=s}$

y

${\displaystyle I_{1}\otimes \cdots \otimes I_{r}\cong J_{1}\otimes \cdots \otimes J_{s}.\,}$

Los módulos proyectivos de rango uno se pueden identificar con ideales fraccionarios y la última condición se puede reformular como

${\displaystyle [I_{1}\cdots I_{r}]=[J_{1}\cdots J_{s}]\in Cl(R).}$

Por lo tanto, un módulo de rango libre de torsión generado finitamente se puede expresar como , donde es un módulo proyectivo de rango uno. La clase de Steinitz para over es la clase de in : está determinada de forma única. ^[7] Una consecuencia de esto es: ${\displaystyle n>0}$ ${\displaystyle R^{n-1}\oplus I}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle [I]}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle Cl(R)}$

Teorema: Sea un dominio de Dedekind. Entonces , ¿dónde está el grupo de Grothendieck del monoide conmutativo de módulos proyectivos generados finitamente? ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle K_{0}(R)\cong \mathbb {Z} \oplus Cl(R)}$ ${\displaystyle K_{0}(R)}$ ${\displaystyle R}$

Estos resultados fueron establecidos por Ernst Steinitz en 1912.

Una consecuencia adicional de esta estructura, que no está implícita en el teorema anterior, es que si los dos módulos proyectivos sobre un dominio de Dedekind tienen la misma clase en el grupo de Grothendieck, entonces, de hecho, son abstractamente isomórficos.

Anillos de Dedekind localmente

Existen dominios integrales que son Dedekind localmente pero no globalmente: la localización de en cada ideal máximo es un anillo de Dedekind (equivalentemente, un DVR) pero en sí mismo no es Dedekind. Como se mencionó anteriormente, dicho anillo no puede ser noetheriano. Parece que los primeros ejemplos de tales anillos fueron construidos por N. Nakano en 1953. En la literatura, estos anillos a veces se denominan "anillos propiamente dichos de Dedekind". ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$

Ver también

• constante de davenport

Notas

1. Milne 2008, Observación 3.25
2. Krasula 2022, Teorema 12
3. Cohn 2003, 2.4. Ejercicio 9
4. El teorema se deriva, por ejemplo, del teorema de Krull-Akizuki .
5. Zariski y Samuel, pag. 284
6. Claborn 1965, ejemplo 1-9
7. Fröhlich y Taylor (1991) p.95

Referencias

• Bourbaki, Nicolas (1972), Álgebra conmutativa , Addison-Wesley
• Claborn, Luther (1965), "Dominios de Dedekind y anillos de cocientes", Pacific J. Math. , 15 : 59–64, doi : 10.2140/pjm.1965.15.59
• Claborn, Luther (1966), "Todo grupo abeliano es un grupo de clase", Pacific J. Math. , 18 (2): 219–222, doi : 10.2140/pjm.1966.18.219
• Clark, Pete L. (2009), "Dominios elípticos de Dedekind revisitados" (PDF) , L'Enseignement Mathématique , 55 (3): 213–225, arXiv : math/0612469 , doi :10.4171/lem/55-3-1 , S2CID  7461271
• Cohn, Paul M. (2003). Más álgebra y aplicaciones . Saltador. ISBN 1-85233-667-6.
• Fröhlich, A .; Taylor, MJ (1991), "II. Dominios de Dedekind", Teoría algebraica de números , Estudios de Cambridge en matemáticas avanzadas, vol. 27, Cambridge University Press , págs. 35-101, ISBN 0-521-36664-X, Zbl  0744.11001
• Gomez-Ramirez, Danny (2015), "La combinación conceptual como metagenerador creativo de conceptos matemáticos: ideales primarios y dominios de Dedekind como combinación", en: TR Besold, KU Kühnberger, M. Schorlemmer, A. Smaill (Eds. ) Actas del 4to Taller Internacional sobre Creatividad Computacional, Invención de Conceptos e Inteligencia General (C3GI) PICS , 2[1]
• Krasula, Dominik (2022), "Condición mínima restringida en anillos conmutativos reducidos", The Mediterranean Journal of Mathematics , 19 (6), arXiv : 2201.03921 , doi :10.1007/s00009-022-02190-4, S2CID  245853674[2]
• Leedham-Green, CR (1972), "El grupo de clases de los dominios de Dedekind", Trans. América. Matemáticas. Soc. , 163 : 493–500, doi : 10.2307/1995734 , JSTOR  1995734
• Milne, JS (2008), Teoría algebraica de números (v3.00)
• Nakano, Noburu (1953), "Idealtheorie in einem speziellen unendlichen algebraischen Zahlkörper", J. Sci. Universidad de Hiroshima. Ser. A , 16 : 425–439
• Rosen, Michael (1976), "Curvas elípticas y dominios de Dedekind", Proc. América. Matemáticas. Soc. , 57 (2): 197–201, doi : 10.2307/2041187 , JSTOR  2041187
• Steinitz, E. (1912), "Rechteckige Systeme und Moduln in algebraischen Zahlkörpern", Math. Ana. , 71 (3): 328–354, doi :10.1007/BF01456849, S2CID  179177736
• Zariski, Óscar ; Samuel, Pierre (1958), Álgebra conmutativa, Volumen I , D. Van Nostrand Company

Otras lecturas

• Edwards, Harold M. (1990), Teoría del divisor , Boston: Birkhäuser Verlag, ISBN 0-8176-3448-7, Zbl  0689.12001

enlaces externos

• "Anillo de Dedekind", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]