Anillo de valoración discreto

En álgebra abstracta , un anillo de valoración discreto ( DVR ) es un dominio ideal principal (PID) con exactamente un ideal máximo distinto de cero .

Esto significa que un DVR es un dominio integral R que satisface cualquiera de las siguientes condiciones equivalentes:

1. R es un dominio ideal principal local y no un campo .
2. R es un anillo de valoración con un grupo de valores isomorfo a los números enteros bajo suma.
3. R es un dominio local de Dedekind y no un campo.
4. R es un dominio local noetheriano cuyo ideal máximo es principal y no un campo. ^[1]
5. R es un anillo local noetheriano integralmente cerrado con dimensión de Krull uno.
6. R es un dominio ideal principal con un ideal primo único distinto de cero .
7. R es un dominio ideal principal con un elemento irreducible único ( hasta la multiplicación por unidades ).
8. R es un dominio de factorización único con un elemento irreducible único (hasta la multiplicación por unidades).
9. R es noetheriano, no un campo , y todo ideal fraccionario distinto de cero de R es irreducible en el sentido de que no puede escribirse como una intersección finita de ideales fraccionarios que lo contengan propiamente.
10. Existe alguna valoración discreta ν en el campo de fracciones K de R tal que R = {0} { x K  : ν( x ) ≥ 0}. ${\displaystyle \cup }$ ${\displaystyle \in }$

Ejemplos

Algebraico

Localización de los anillos de Dedekind.

Dejar . Entonces, el campo de fracciones de es . Para cualquier elemento distinto de cero de , podemos aplicar una factorización única al numerador y denominador de r para escribir r como ${\displaystyle \mathbb {Z} _{(2)}:=\{z/n\mid z,n\in \mathbb {Z} ,\,\,n{\text{ is odd}}\}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{(2)}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$2kz ^_ _/nortedonde z , n y k son números enteros con z y n impares. En este caso, definimos ν( r )= k . Entonces es el anillo de valoración discreto correspondiente a ν. El ideal máximo de es el ideal principal generado por 2, es decir , y el elemento irreducible "único" (hasta unidades) es 2 (esto también se conoce como parámetro uniformizador). Tenga en cuenta que es la localización del dominio de Dedekind en el ideal primo generado por 2. ${\displaystyle \mathbb {Z} _{(2)}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{(2)}}$ ${\displaystyle 2\mathbb {Z} _{(2)}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{(2)}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

De manera más general, cualquier localización de un dominio de Dedekind en un ideal primo distinto de cero es un anillo de valoración discreto; en la práctica, así es como frecuentemente surgen anillos de valoración discretos. En particular, podemos definir anillos

${\displaystyle \mathbb {Z} _{(p)}:=\left.\left\{{\frac {z}{n}}\,\right|z,n\in \mathbb {Z} ,p\nmid n\right\}}$

para cualquier primo p en completa analogía.

p -enteros ádicos

El anillo de enteros p -ádicos es un DVR, para cualquier número primo . He aquí un elemento irreductible ; la valoración asigna a cada entero -ádico el mayor entero tal que divide . ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle p^{k}}$ ${\displaystyle x}$

Serie de potencias formales

Otro ejemplo importante de un DVR es el anillo de series de potencias formales en una variable sobre algún campo . El elemento irreducible "único" es , el ideal máximo de es el ideal principal generado por , y la valoración asigna a cada serie de potencias el índice (es decir, el grado) del primer coeficiente distinto de cero. ${\displaystyle R=k[[T]]}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \nu }$

Si nos restringimos a coeficientes reales o complejos , podemos considerar el anillo de series de potencias en una variable que convergen en una vecindad de 0 (con la vecindad dependiendo de la serie de potencias). Este es un anillo de valoración discreto. Esto es útil para desarrollar la intuición con el criterio valorativo de idoneidad .

Anillo en el campo funcional

Para un ejemplo de naturaleza más geométrica, tomemos el anillo R = { f / g  : f , g polinomios en R [ X ] y g (0) ≠ 0}, considerado como un subanillo del cuerpo de funciones racionales R ( X ) en la variable X . R puede identificarse con el anillo de todas las funciones racionales de valor real definidas (es decir, finitas) en una vecindad de 0 en el eje real (con la vecindad dependiendo de la función). Es un anillo de valoración discreto; el elemento irreducible "único" es X y la valoración asigna a cada función f el orden (posiblemente 0) del cero de f en 0. Este ejemplo proporciona la plantilla para estudiar curvas algebraicas generales cerca de puntos no singulares, la curva algebraica en siendo este caso la línea real.

Teórico de esquemas

rasgo henseliano

Para un DVR es común escribir el campo de fracción como y el campo de residuo. Estos corresponden a los puntos genéricos y cerrados de. Por ejemplo, el punto cerrado de is y el punto genérico is . A veces esto se denota como ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle K={\text{Frac}}(R)}$ ${\displaystyle \kappa =R/{\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle S={\text{Spec}}(R).}$ ${\displaystyle {\text{Spec}}(\mathbb {Z} _{p})}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$

${\displaystyle \eta \to S\leftarrow s}$

donde es el punto genérico y es el punto cerrado. ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle s}$

Localización de un punto en una curva.

Dada una curva algebraica , el anillo local en un punto suave es un anillo de valoración discreto, porque es un anillo de valoración principal. Tenga en cuenta que debido a que el punto es suave, la finalización del anillo local es isomorfa a la finalización de la localización de en algún punto . ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,{\mathfrak {p}}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$

Parámetro de uniformización

Dado un DVR R , cualquier elemento irreducible de R es un generador del ideal máximo único de R y viceversa. Un elemento de este tipo también se denomina parámetro uniformizador de R (o elemento uniformizador , uniformizador o elemento primo ).

Si fijamos un parámetro uniformizador t , entonces M =( t ) es el único ideal máximo de R , y cualquier otro ideal distinto de cero es una potencia de M , es decir, tiene la forma ( t ^k ) para algún k ≥0. Todas las potencias de t son distintas, al igual que las potencias de M . Cada elemento x distinto de cero de R se puede escribir en la forma α t ^k con α una unidad en R y k ≥0, ambos determinados de forma única por x . La valoración viene dada por ν ( x ) = kv ( t ). Entonces, para comprender el anillo completamente, es necesario conocer el grupo de unidades de R y cómo las unidades interactúan de manera aditiva con las potencias de t .  

La función v también hace que cualquier valoración discreta entre en un dominio euclidiano . ^{[ cita necesaria ]}

Topología

Cada anillo de valoración discreto, al ser un anillo local , lleva una topología natural y es un anillo topológico . También podemos darle una estructura espacial métrica donde la distancia entre dos elementos xey se puede medir de la siguiente manera :

${\displaystyle |x-y|=2^{-\nu (x-y)}}$

(o con cualquier otro número real fijo > 1 en lugar de 2). Intuitivamente: un elemento z es "pequeño" y "cercano a 0" si su valoración ν( z ) es grande. La función |xy|, complementada por |0|=0, es la restricción de un valor absoluto definido en el campo de fracciones del anillo de valoración discreto.

Un DVR es compacto si y sólo si está completo y su campo residual R / M es un campo finito .

Ejemplos de DVR completos incluyen

• el anillo de p -ádico enteros y
• el anillo de series de potencias formales sobre cualquier campo

Para un DVR determinado, a menudo se pasa a su finalización , un DVR completo que contiene el anillo dado y que suele ser más fácil de estudiar. Este procedimiento de compleción puede considerarse de manera geométrica como un paso de funciones racionales a series de potencias , o de números racionales a los reales .

Volviendo a nuestros ejemplos: el anillo de todas las series de potencias formales en una variable con coeficientes reales es la finalización del anillo de funciones racionales definidas (es decir, finitas) en una vecindad de 0 en la recta real; también es la finalización del anillo de todas las series de potencias reales que convergen cerca de 0. La finalización de (que puede verse como el conjunto de todos los números racionales que son p -enteros ádicos) es el anillo de todos los p -ádicos enteros Z _pag . ${\displaystyle \mathbb {Z} _{(p)}=\mathbb {Q} \cap \mathbb {Z} _{p}}$

Ver también

• Categoría: Localización (matemáticas)
• Anillo local
• Ramificación de los campos locales.
• anillo cohen
• anillo de valoración

Referencias

1. "Álgebra conmutativa ac. - Condición para un anillo local cuyo ideal máximo es principal ser noetheriano". Desbordamiento matemático .

• Atiyah, Michael Francis ; Macdonald, IG (1969), Introducción al álgebra conmutativa , Westview Press, ISBN 978-0-201-40751-8
• Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2004), Álgebra abstracta (3.ª ed.), Nueva York: John Wiley & Sons , ISBN 978-0-471-43334-7, señor  2286236
• Anillo de valoración discreta, La Enciclopedia de Matemáticas .