Elemento irreducible

En álgebra, elemento sin factores no triviales.

En álgebra , un elemento irreducible de un dominio integral es un elemento distinto de cero que no es invertible (es decir, no es una unidad ) y no es el producto de dos elementos no invertibles.

Los elementos irreducibles son los elementos terminales de un proceso de factorización ; es decir, son los factores que no pueden factorizarse más. Si los factores irreducibles de cada elemento no nulo no unitario están definidos de forma única, hasta la multiplicación por una unidad, entonces el dominio integral se denomina dominio de factorización único , pero esto no tiene por qué ocurrir en general para todo dominio integral. Se descubrió en el siglo XIX que los anillos de números enteros de algunos cuerpos numéricos no son dominios de factorización únicos y, por tanto, que algunos elementos irreducibles pueden aparecer en alguna factorización de un elemento y no en otras factorizaciones del mismo elemento. La ignorancia de este hecho es el principal error en muchas de las demostraciones erróneas del Último Teorema de Fermat que se dieron durante los tres siglos transcurridos entre el enunciado de Fermat y la demostración del Último Teorema de Fermat por parte de Wiles .

Si es un dominio integral, entonces es un elemento irreducible de si y solo si, para todo , la ecuación implica que el ideal generado por es igual al ideal generado por o igual al ideal generado por . Esta equivalencia no se cumple para anillos conmutativos generales, por lo que la suposición de que el anillo no tiene divisores de cero distintos de cero se hace comúnmente en la definición de elementos irreducibles. Resulta también que hay varias formas de extender la definición de un elemento irreducible a un anillo conmutativo arbitrario . ^[1] ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle b,c\in R}$ ${\displaystyle a=bc}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$

Relación con los elementos primos

Los elementos irreducibles no deben confundirse con los elementos primos . (Un elemento no unitario distinto de cero en un anillo conmutativo se llama primo si, siempre que para algún y en entonces o ) En un dominio integral , cada elemento primo es irreducible, ^{[a] [2]} pero lo inverso no es cierto en general. Lo inverso es cierto para los dominios de factorización única ^[2] (o, más generalmente, dominios MCD ). ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle a\mid bc}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle R,}$ ${\displaystyle a\mid b}$ ${\displaystyle a\mid c.}$

Además, aunque un ideal generado por un elemento primo es un ideal primo , no es cierto en general que un ideal generado por un elemento irreducible sea un ideal irreducible . Sin embargo, si es un dominio MCD y es un elemento irreducible de , entonces, como se señaló anteriormente , es primo, y por lo tanto el ideal generado por es un ideal primo (por lo tanto irreducible) de . ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle D}$

Ejemplo

En el anillo de números enteros cuadráticos se puede demostrar mediante argumentos de norma que el número 3 es irreducible. Sin embargo, no es un elemento primo en este anillo ya que, por ejemplo, ${\displaystyle \mathbf {Z} [{\sqrt {-5}}],}$

${\displaystyle 3\mid \left(2+{\sqrt {-5}}\right)\left(2-{\sqrt {-5}}\right)=9,}$

pero 3 no divide ninguno de los dos factores. ^[3]

Véase también

• Polinomio irreducible

Notas

1. Consideremos un elemento primo de y supongamos Entonces así o Digamos así para algún . Entonces tenemos y así Como es un dominio integral tenemos Por lo tanto es una unidad y es irreducible. ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle p=ab.}$ ${\displaystyle p\mid ab,}$ ${\displaystyle p\mid a}$ ${\displaystyle p\mid b.}$ ${\displaystyle p\mid a,}$ ${\displaystyle a=pc}$ ${\displaystyle c\in R}$ ${\displaystyle p=ab=pcb,}$ ${\displaystyle p(1-cb)=0.}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle cb=1.}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle p}$

Referencias

1. Anderson, DD; Valdes-Leon, Silvia (1996-06-01). "Factorización en anillos conmutativos con divisores cero". Rocky Mountain Journal of Mathematics . 26 (2): 439–480. doi : 10.1216/rmjm/1181072068 . ISSN  0035-7596.
2. Sharpe, David (1987). Anillos y factorización . Cambridge University Press . pág. 54. ISBN. 0-521-33718-6.Zbl 0674.13008  .
3. William W. Adams y Larry Joel Goldstein (1976), Introducción a la teoría de números , pág. 250, Prentice-Hall, Inc., ISBN 0-13-491282-9