Ideal irreducible

En matemáticas , se dice que un ideal propio de un anillo conmutativo es irreducible si no puede escribirse como la intersección de dos ideales estrictamente mayores. ^[1]

Ejemplos

• Todo ideal primo es irreducible. ^[2] Sean y ideales de un anillo conmutativo , sin que ninguno de ellos esté contenido en el otro. Entonces existen y , donde ninguno está en pero el producto sí lo está. Esto demuestra que un ideal reducible no es primo. Un ejemplo concreto de esto son los ideales y contenidos en . La intersección es , y no es un ideal primo. ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle a\in J\setminus K}$ ${\displaystyle b\in K\setminus J}$ ${\displaystyle J\cap K}$ ${\displaystyle 2\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle 3\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle 6\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle 6\mathbb {Z} }$
• Todo ideal irreducible de un anillo noetheriano es un ideal primario , ^[1] y en consecuencia, para los anillos noetherianos, una descomposición irreducible es una descomposición primaria . ^[3]
• Todo ideal primario de un dominio de ideales principales es un ideal irreducible.
• Todo ideal irreducible es primordial . ^[4]

Propiedades

Un elemento de un dominio integral es primo si y solo si el ideal que genera es un ideal primo distinto de cero. Esto no es cierto para los ideales irreducibles; un ideal irreducible puede ser generado por un elemento que no es un elemento irreducible , como es el caso del ideal ya que no es la intersección de dos ideales estrictamente mayores. ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle 4\mathbb {Z} }$

En geometría algebraica , si un ideal de un anillo es irreducible, entonces es un subconjunto irreducible en la topología de Zariski en el espectro . La inversa no se cumple; por ejemplo, el ideal en define la variedad irreducible que consiste solo en el origen, pero no es un ideal irreducible como . ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle V(I)}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} R}$ ${\displaystyle (x^{2},xy,y^{2})}$ ${\displaystyle \mathbb {C} [x,y]}$ ${\displaystyle (x^{2},xy,y^{2})=(x^{2},y)\cap (x,y^{2})}$

Véase también

• Módulo irreducible
• Espacio irreducible
• Anillo de Laskerian

Referencias

1. Miyanishi, Masayoshi (1998), Geometría algebraica, Traducciones de monografías matemáticas, vol. 136, American Mathematical Society, pág. 13, ISBN 9780821887707.
2. Knapp, Anthony W. (2007), Álgebra avanzada, Cornerstones, Springer, pág. 446, ISBN 9780817645229.
3. Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2004). Álgebra abstracta (tercera edición). Hoboken, Nueva Jersey: John Wiley & Sons, Inc., págs. 683-685. ISBN 0-471-43334-9.
4. Fuchs, Ladislas (1950), "Sobre los ideales primarios", Actas de la American Mathematical Society , 1 (1): 1–6, doi : 10.2307/2032421 , JSTOR  2032421, MR  0032584. Teorema 1, pág. 3.