Anillo de números enteros

Construcción algebraica

En matemáticas , el anillo de números enteros de un campo numérico algebraico es el anillo de todos los números enteros algebraicos contenidos en . ^[1] Un número entero algebraico es una raíz de un polinomio mónico con coeficientes enteros : . ^[2] Este anillo a menudo se indica con o . Dado que cualquier número entero pertenece y es un elemento integral de , el anillo es siempre un subanillo de . ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle x^{n}+c_{n-1}x^{n-1}+\cdots +c_{0}}$ ${\displaystyle O_{K}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle O_{K}}$

El anillo de números enteros es el anillo de números enteros más simple posible. ^[a] Es decir, ¿dónde está el cuerpo de los números racionales ? ^[3] Y de hecho, en la teoría algebraica de números , los elementos de a menudo se denominan "enteros racionales" debido a esto. ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} =O_{\mathbb {Q} }}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

El siguiente ejemplo más simple es el anillo de los enteros gaussianos , que consta de números complejos cuyas partes real e imaginaria son números enteros. Es el anillo de los números enteros en el campo numérico de los racionales gaussianos , formado por números complejos cuyas partes real e imaginaria son números racionales. Al igual que los números enteros racionales, es un dominio euclidiano . ${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} (i)}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$

El anillo de números enteros de un campo numérico algebraico es el único orden máximo en el campo. Siempre es un dominio de Dedekind . ^[4]

Propiedades

El anillo de números enteros _OK es un módulo Z generado finitamente . De hecho, es un módulo Z libre y, por lo tanto, tiene una base integral , es decir, una base b ₁ , ..., b _n ∈ O _K del Q - espacio vectorial K tal que cada elemento  x en O _K puede ser representado únicamente como  

${\displaystyle x=\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i},}$

con un _yo ∈ Z . ^[5] El rango n  de OK como módulo Z libre es igual al grado _de K  sobre Q.

Ejemplos

herramienta computacional

Una herramienta útil para calcular la clausura integral del anillo de números enteros en un campo algebraico K / Q es el discriminante . Si K es de grado n sobre Q y forma una base de K sobre Q , establezca . Entonces, es un submódulo del módulo Z abarcado por . ^{[6] pág. 33} De hecho, si d no tiene cuadrados, entonces forma una base integral para . ^{[6] pág. 35} ${\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}\in {\mathcal {O}}_{K}}$ ${\displaystyle d=\Delta _{K/\mathbb {Q} }(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ ${\displaystyle \alpha _{1}/d,\ldots ,\alpha _{n}/d}$ ${\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$

Extensiones ciclotómicas

Si p es un primo , ζ  es una raíz p - ésima de la unidad y K = Q ( ζ  ) es el campo ciclotómico correspondiente , entonces una base integral de O _K = Z [ ζ ] está dada por (1,  ζ ,  ζ ² , ...,  ζ ^{p −2} ) . ^[7]

Extensiones cuadráticas

Si es un entero libre de cuadrados y es el campo cuadrático correspondiente , entonces es un anillo de enteros cuadráticos y su base integral está dada por (1, (1 + √ d ) /2) si d ≡ 1 ( mod 4) y por (1,  √ d ) si d ≡ 2, 3 (mod 4) . ^[8] Esto se puede encontrar calculando el polinomio mínimo de un elemento arbitrario donde . ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle K=\mathbb {Q} ({\sqrt {d}}\,)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ ${\displaystyle a+b{\sqrt {d}}\in \mathbf {Q} ({\sqrt {d}})}$ ${\displaystyle a,b\in \mathbf {Q} }$

Estructura multiplicativa

En un anillo de números enteros, cada elemento tiene una factorización en elementos irreducibles , pero el anillo no necesita tener la propiedad de factorización única : por ejemplo, en el anillo de números enteros Z [ √ −5 ] , el elemento 6 tiene dos factorizaciones esencialmente diferentes en irreducibles: ^{[4] [9]}

${\displaystyle 6=2\cdot 3=(1+{\sqrt {-5}})(1-{\sqrt {-5}}).}$

Un anillo de números enteros es siempre un dominio de Dedekind , y también lo es la factorización única de ideales en ideales primos . ^[10]

Las unidades de un anillo de números enteros O _K es un grupo abeliano generado finitamente por el teorema unitario de Dirichlet . El subgrupo de torsión está formado por las raíces de la unidad de K. Un conjunto de generadores libres de torsión se denomina conjunto de unidades fundamentales . ^[11]

Generalización

Se define el anillo de números enteros de un campo local no de Arquímedes F como el conjunto de todos los elementos de F con valor absoluto ≤ 1 ; este es un anillo debido a la fuerte desigualdad del triángulo. ^[12] Si F es la finalización de un campo numérico algebraico, su anillo de números enteros es la finalización del anillo de números enteros de este último. El anillo de números enteros de un campo numérico algebraico puede caracterizarse como los elementos que son números enteros en toda terminación no arquimediana. ^[3]

Por ejemplo, los p -enteros ádicos Z _p son el anillo de números enteros de los p -números ádicos Q _p  .

Ver también

• Polinomio mínimo (teoría de campos)
• Cierre integral : proporciona una técnica para calcular cierres integrales.

Notas

1. El anillo de números enteros , sin especificar el campo, se refiere al anillo de números enteros "ordinarios", el objeto prototípico de todos esos anillos. Es una consecuencia de la ambigüedad de la palabra "entero" en álgebra abstracta. ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Citas

1. Alaca y Williams 2003, pag. 110, Defs. 6.1.2-3.
2. Alaca y Williams 2003, pag. 74, Defs. 4.1.1-2.
3. Cassels 1986, pág. 192.
4. Samuel 1972, pág. 49.
5. Cassels (1986) pág. 193
6. panadero. "Teoría algebraica de números" (PDF) . págs. 33–35.
7. Samuel 1972, pag. 43.
8. Samuel 1972, pag. 35.
9. Artín, Michael (2011). Álgebra . Prentice Hall. pag. 360.ISBN​ 978-0-13-241377-0.
10. Samuel 1972, pag. 50.
11. Samuel 1972, págs. 59–62.
12. Cassels 1986, pag. 41.

Referencias

• Alaca, Sabán; Williams, Kenneth S. (2003). Introducción a la teoría algebraica de números. Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 9780511791260.
• Cassels, JWS (1986). Campos locales. Textos estudiantiles de la Sociedad Matemática de Londres. vol. 3. Cambridge: Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 0-521-31525-5. Zbl  0595.12006.
• Neukirch, Jürgen (1999). Algebraische Zahlentheorie . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften . vol. 322. Berlín: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-65399-8. SEÑOR  1697859. Zbl  0956.11021.
• Samuel, Pierre (1972). Teoría algebraica de números . Hermann/Kershaw.