campo de números algebraicos

Extensión de campo de grado finito (y por tanto algebraico) del campo de números racionales

En matemáticas , un campo numérico algebraico (o simplemente campo numérico ) es un campo de extensión del campo de números racionales tal que la extensión del campo tiene grado finito (y por tanto es una extensión de campo algebraico ). Por tanto es un campo que contiene y tiene dimensión finita cuando se considera como un espacio vectorial . ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle K/\mathbb {Q} }$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

El estudio de los campos de números algebraicos y, más en general, de las extensiones algebraicas del campo de los números racionales, es el tema central de la teoría algebraica de números . Este estudio revela estructuras ocultas detrás de los números racionales, mediante el uso de métodos algebraicos.

Definición

Requisitos previos

La noción de campo de números algebraicos se basa en el concepto de campo . Un campo consta de un conjunto de elementos junto con dos operaciones, a saber , suma y multiplicación , y algunos supuestos de distributividad . Un ejemplo destacado de campo es el campo de números racionales , comúnmente denominado , junto con sus operaciones habituales de suma y multiplicación. ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Otra noción necesaria para definir campos numéricos algebraicos son los espacios vectoriales . En la medida necesaria aquí, se puede considerar que los espacios vectoriales consisten en secuencias (o tuplas )

( x ₁ , x ₂ ,…)

cuyas entradas son elementos de un campo fijo, como el campo . Se pueden agregar dos secuencias de este tipo agregando las entradas correspondientes. Además, cualquier secuencia se puede multiplicar por un solo elemento c del campo fijo. Estas dos operaciones conocidas como suma de vectores y multiplicación escalar satisfacen una serie de propiedades que sirven para definir espacios vectoriales de forma abstracta. Se permite que los espacios vectoriales sean " de dimensión infinita ", es decir, que las secuencias que constituyen los espacios vectoriales sean de longitud infinita. Sin embargo, si el espacio vectorial consta de secuencias finitas ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

( x ₁ , x ₂ ,…, x _norte ),

se dice que el espacio vectorial es de dimensión finita , n .

Definición

Un campo numérico algebraico (o simplemente un campo numérico ) es una extensión de grado finito del campo de números racionales. Aquí grado significa la dimensión del campo como un espacio vectorial sobre . ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Ejemplos

• El campo numérico más pequeño y básico es el campo de los números racionales. Muchas propiedades de los campos numéricos generales se modelan a partir de las propiedades de . Al mismo tiempo, muchas otras propiedades de los campos numéricos algebraicos son sustancialmente diferentes de las propiedades de los números racionales; un ejemplo notable es que el anillo de números enteros algebraicos de un campo numérico no es un dominio ideal principal , en general. ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$
• Los racionales gaussianos , denotados (leídos como " contiguos "), forman el primer ejemplo (históricamente) no trivial de un campo numérico. Sus elementos son elementos de la forma. ${\displaystyle \mathbb {Q} (i)}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle i}$
  $${\displaystyle a+bi}$$
  donde tanto a como b son números racionales e i es la unidad imaginaria . Estas expresiones se pueden sumar, restar y multiplicar según las reglas habituales de la aritmética y luego simplificarlas utilizando la identidad.
  $${\displaystyle i^{2}=-1.}$$
  Explícitamente,
  $${\displaystyle {\begin{matrix}(a+bi)+(c+di)&=&(a+c)+(b+d)i\\(a+bi)\cdot (c+di)&=&(ac-bd)+(ad+bc)i\end{matrix}}}$$
  Los números racionales gaussianos distintos de cero son invertibles , lo que se puede ver en la identidad
  $${\displaystyle (a+bi)\left({\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}-{\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}i\right)={\frac {(a+bi)(a-bi)}{a^{2}+b^{2}}}=1.}$$
  De ello se deduce que los racionales gaussianos forman un campo numérico bidimensional como un espacio vectorial sobre . ${\displaystyle \mathbb {Q} }$
• De manera más general, para cualquier entero sin cuadrados , el campo cuadrático es un campo numérico obtenido uniendo la raíz cuadrada de al campo de números racionales. Las operaciones aritméticas en este campo se definen en analogía con el caso de los números racionales gaussianos . ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {d}})}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle d=-1}$
• El campo ciclotómico
  $${\displaystyle \mathbb {Q} (\zeta _{n}),}$$
  donde es un campo numérico obtenido al unir una raíz primitiva de unidad . Este campo contiene todas las raíces n- ésimas complejas de la unidad y su dimensión es igual a , donde está la función totiente de Euler . ${\displaystyle \zeta _{n}=\exp {2\pi i/n}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \zeta _{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \varphi (n)}$ ${\displaystyle \varphi }$

No ejemplos

• Los números reales , , y los números complejos , , son campos que tienen dimensión infinita como espacios -vectoriales; por tanto, no son campos numéricos. Esto se deriva de la incontabilidad de y como conjuntos, mientras que cada campo numérico es necesariamente contable . ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$
• El conjunto de pares ordenados de números racionales, con la suma y multiplicación por entradas es un álgebra conmutativa bidimensional sobre . Sin embargo, no es un campo, ya que tiene cero divisores : ${\displaystyle \mathbb {Q} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$
  $${\displaystyle (1,0)\cdot (0,1)=(1\cdot 0,0\cdot 1)=(0,0)}$$

Algebraicidad y anillo de números enteros.

Generalmente, en álgebra abstracta , una extensión de campo es algebraica si cada elemento del campo más grande es el cero de un polinomio (distinto de cero) con coeficientes en : ${\displaystyle K/L}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle e_{0},\ldots ,e_{m}}$ ${\displaystyle L}$

${\displaystyle p(f)=e_{m}f^{m}+e_{m-1}f^{m-1}+\cdots +e_{1}f+e_{0}=0}$

Toda extensión de campo de grado finito es algebraica. (Prueba: para en , simplemente considere : obtenemos una dependencia lineal, es decir, un polinomio que es raíz de). En particular, esto se aplica a campos numéricos algebraicos, por lo que cualquier elemento de un campo numérico algebraico se puede escribir como un cero de a polinomio con coeficientes racionales. Por lo tanto, a los elementos de también se les llama números algebraicos . Dado un polinomio tal que , se puede ordenar de modo que el coeficiente principal sea uno, dividiendo todos los coeficientes por él, si es necesario. Un polinomio con esta propiedad se conoce como polinomio mónico . En general tendrá coeficientes racionales. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle 1,x,x^{2},x^{3},\ldots }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p(f)=0}$ ${\displaystyle e_{m}}$

Sin embargo, si los coeficientes del polinomio mónico son en realidad todos números enteros, se llama número entero algebraico . ${\displaystyle f}$

Cualquier número entero (habitual) es un número entero algebraico, ya que es el cero del polinomio mónico lineal: ${\displaystyle z\in \mathbb {Z} }$

${\displaystyle p(t)=t-z}$.

Se puede demostrar que cualquier número entero algebraico que también sea un número racional debe ser en realidad un número entero, de ahí el nombre "entero algebraico". Nuevamente usando álgebra abstracta, específicamente la noción de módulo generado finitamente , se puede demostrar que la suma y el producto de dos números enteros algebraicos cualesquiera sigue siendo un número entero algebraico. De ello se deduce que los números enteros algebraicos forman un anillo denominado anillo de números enteros de . Es un subanillo de (es decir, un anillo contenido en) . Un campo no contiene divisores de cero y esta propiedad la hereda cualquier subanillo, por lo que el anillo de números enteros es un dominio integral . El campo es el campo de fracciones del dominio integral . De esta manera se puede ir y venir entre el campo numérico algebraico y su anillo de números enteros . Los anillos de números enteros algebraicos tienen tres propiedades distintivas: en primer lugar, son un dominio integral que está integralmente cerrado en su campo de fracciones . En segundo lugar, es un anillo noetheriano . Finalmente, todo ideal primo distinto de cero es máximo o, de manera equivalente, la dimensión de Krull de este anillo es uno. Un anillo conmutativo abstracto con estas tres propiedades se denomina anillo de Dedekind (o dominio de Dedekind ), en honor a Richard Dedekind , quien emprendió un profundo estudio de los anillos de números enteros algebraicos. ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$

Factorización única

Para los anillos de Dedekind generales , en particular los anillos de números enteros, existe una factorización única de ideales en un producto de ideales primos . Por ejemplo, el ideal en el anillo de números enteros cuadráticos se factoriza en ideales primos como ${\displaystyle (6)}$ ${\displaystyle \mathbf {Z} [{\sqrt {-5}}]}$

${\displaystyle (6)=(2,1+{\sqrt {-5}})(2,1-{\sqrt {-5}})(3,1+{\sqrt {-5}})(3,1-{\sqrt {-5}})}$

Sin embargo, a diferencia del anillo de números enteros de , el anillo de números enteros de una extensión adecuada de no necesita admitir la factorización única de números en un producto de números primos o, más precisamente, elementos primos . Esto ya sucede con los números enteros cuadráticos , por ejemplo en , la unicidad de la factorización falla: ${\displaystyle \mathbf {Z} }$ ${\displaystyle \mathbf {Q} }$ ${\displaystyle \mathbf {Q} }$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbf {Q} ({\sqrt {-5}})}=\mathbf {Z} [{\sqrt {-5}}]}$

${\displaystyle 6=2\cdot 3=(1+{\sqrt {-5}})\cdot (1-{\sqrt {-5}})}$

Utilizando la norma se puede demostrar que estas dos factorizaciones en realidad no son equivalentes en el sentido de que los factores no difieren sólo en una unidad en . Los dominios euclidianos son dominios de factorización únicos; por ejemplo , el anillo de los enteros gaussianos y el anillo de los enteros de Eisenstein , donde es una raíz cúbica de la unidad (no igual a 1), tienen esta propiedad. ^[1] ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbf {Q} ({\sqrt {-5}})}}$ ${\displaystyle \mathbf {Z} [i]}$ ${\displaystyle \mathbf {Z} [\omega ]}$ ${\displaystyle \omega }$

Objetos analíticos: funciones ζ, funciones L y fórmula de número de clase

El fracaso de la factorización única se mide por el número de clase , comúnmente denotado h , la cardinalidad del llamado grupo de clase ideal . Este grupo es siempre finito. El anillo de números enteros posee factorización única si y sólo si es un anillo principal o, equivalentemente, si tiene número de clase 1 . Dado un campo numérico, el número de clase suele ser difícil de calcular. El problema del número de clase , que se remonta a Gauss , se ocupa de la existencia de campos numéricos cuadráticos imaginarios (es decir, ) con un número de clase prescrito. La fórmula del número de clase relaciona h con otras invariantes fundamentales de . Se trata de la función zeta de Dedekind ζ (s), una función en una variable compleja s , definida por ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \mathbf {Q} {\sqrt {-d}},d\geq 1}$ ${\displaystyle K}$ _{${\displaystyle K}$}

${\displaystyle \zeta _{K}(s):=\prod _{\mathfrak {p}}{\frac {1}{1-N({\mathfrak {p}})^{-s}}}.}$

(El producto es sobre todos los ideales primos de , denota la norma del ideal primo o, equivalentemente, el número (finito) de elementos en el campo residual . El producto infinito converge sólo para Re ( s ) > 1, en continuación analítica general y la ecuación funcional de la función zeta son necesarias para definir la función para todos los s ). La función zeta de Dedekind generaliza la función zeta de Riemann en que ζ ( s ) = ζ ( s ). ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ ${\displaystyle N({\mathfrak {p}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}/{\mathfrak {p}}}$ _{${\displaystyle \mathbb {Q} }$}

La fórmula del número de clase establece que ζ ( s ) tiene un polo simple en s = 1 y en este punto el residuo viene dado por _{${\displaystyle K}$}

${\displaystyle {\frac {2^{r_{1}}\cdot (2\pi )^{r_{2}}\cdot h\cdot \operatorname {Reg} }{w\cdot {\sqrt {|D|}}}}.}$

Aquí r ₁ y r ₂ denotan clásicamente el número de incrustaciones reales y pares de incrustaciones complejas de , respectivamente. Además, Reg es el regulador de , w el número de raíces unitarias en y D es el discriminante de . ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$

Las funciones L de Dirichlet son una variante más refinada de . Ambos tipos de funciones codifican el comportamiento aritmético de y , respectivamente. Por ejemplo, el teorema de Dirichlet afirma que en cualquier progresión aritmética ${\displaystyle L(\chi ,s)}$ ${\displaystyle \zeta (s)}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle K}$

${\displaystyle a,a+m,a+2m,\ldots }$

con coprimos y , hay infinitos números primos. Este teorema está implícito en el hecho de que la función de Dirichlet es distinta de cero en . Utilizando técnicas mucho más avanzadas que incluyen la teoría K algebraica y las medidas de Tamagawa , la teoría de números moderna se ocupa de una descripción, aunque en gran medida conjetural (ver Conjetura del número de Tamagawa ), de valores de funciones L más generales . ^[2] ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle s=1}$

Bases para campos numéricos

Base integral

Una base integral para un campo numérico de grado es un conjunto ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle n}$

segundo = { segundo ₁ ,…, segundo _norte }

de n enteros algebraicos de tal manera que cada elemento del anillo de números enteros de puede escribirse únicamente como una combinación Z -lineal de elementos de B ; es decir, para cualquier x en tenemos ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$

x = metro ₁ segundo ₁ + ⋯ + metro _norte segundo _norte ,

donde los m _i son números enteros (ordinarios). Entonces también se da el caso de que cualquier elemento de puede escribirse de forma única como ${\displaystyle K}$

metro ₁ segundo ₁ + ⋯ + metro _norte segundo _norte ,

donde ahora los m _i son números racionales. Los números enteros algebraicos de son entonces precisamente aquellos elementos de donde m _i son todos números enteros. ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$

Trabajando localmente y utilizando herramientas como el mapa de Frobenius , siempre es posible calcular explícitamente dicha base, y ahora es estándar que los sistemas de álgebra informática tengan programas integrados para hacer esto.

Base de poder

Sea un campo numérico de grado . Entre todas las bases posibles de (visto como un espacio vectorial), hay algunas conocidas como bases de potencia , que son bases de la forma ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

${\displaystyle B_{x}=\{1,x,x^{2},\ldots ,x^{n-1}\}}$

por algún elemento . Según el teorema del elemento primitivo , existe un elemento llamado elemento primitivo . Si se puede elegir una base como módulo Z libre , entonces se llama base integral de potencia y el campo se llama campo monogénico . Dedekind dio por primera vez un ejemplo de un campo numérico que no es monogénico. Su ejemplo es el campo obtenido al unir una raíz del polinomio ^[3] ${\displaystyle x\in K}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ ${\displaystyle B_{x}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ ${\displaystyle B_{x}}$ ${\displaystyle K}$

$${\displaystyle x^{3}-x^{2}-2x-8.}$$

Representación regular, traza y discriminante.

Recuerde que cualquier extensión de campo tiene una estructura de espacio vectorial única. Usando la multiplicación en , un elemento del campo sobre el campo base puede representarse mediante matrices ${\displaystyle K/\mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle n\times n}$

$${\displaystyle A=A(x)=(a_{ij})_{1\leq i,j\leq n}}$$

$${\displaystyle xe_{i}=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}e_{j},\quad a_{ij}\in \mathbb {Q} .}$$

combinación linealrepresentación regularmatriz productoLas invariantestrazael determinanteel polinomio característicotrazanormax ${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle a_{ij}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle xy}$ ${\displaystyle BA}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle A(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\text{Tr}}(x)}$ ${\displaystyle N(x)}$

Ahora bien, esto se puede generalizar ligeramente considerando en su lugar una extensión de campo y dando una base para . Luego, hay una matriz asociada , que tiene traza y norma definidas como traza y determinante de la matriz . ${\displaystyle K/L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle A_{K/L}(x)}$ ${\displaystyle {\text{Tr}}_{K/L}(x)}$ ${\displaystyle {\text{N}}_{K/L}(x)}$ ${\displaystyle A_{K/L}(x)}$

Ejemplo

Considere la extensión del campo donde . Entonces, tenemos una base dada por ${\displaystyle \mathbb {Q} (\theta )}$ ${\displaystyle \theta =\zeta _{3}{\sqrt[{3}]{2}}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

$${\displaystyle \{1,\zeta _{3}{\sqrt[{3}]{2}},\zeta _{3}^{2}{\sqrt[{3}]{2^{2}}}\}}$$

${\displaystyle x\in \mathbb {Q} (\theta )}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

$${\displaystyle a+b\zeta _{3}{\sqrt[{3}]{2}}+c\zeta _{3}^{2}{\sqrt[{3}]{2^{2}}}=a+b\theta +c\theta ^{2}}$$

${\displaystyle y\in \mathbb {Q} (\theta )}$ ${\displaystyle y=y_{0}+y_{1}\theta +y_{2}\theta ^{2}}$ ${\displaystyle x\cdot y}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}a(y_{0}+y_{1}\theta +y_{2}\theta ^{2})+\\b(2y_{2}+y_{0}\theta +y_{1}\theta ^{2})+\\c(2y_{1}+2y_{2}\theta +y_{0}\theta ^{2})\end{aligned}}}$$

${\displaystyle A(x)}$

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}y_{0}\\y_{1}\\y_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}ay_{0}+2cy_{1}+2by_{2}\\by_{0}+ay_{1}+2cy_{2}\\cy_{0}+by_{1}+ay_{2}\end{bmatrix}}}$$

$${\displaystyle A(x)={\begin{bmatrix}a&2c&2b\\b&a&2c\\c&b&a\end{bmatrix}}}$$

Propiedades

Por definición, las propiedades estándar de las trazas y los determinantes de las matrices se trasladan a Tr y N: Tr( x ) es una función lineal de x , expresada por Tr( x + y ) = Tr( x ) + Tr( y ) , Tr ( λx ) = λ Tr( x ) , y la norma es una función multiplicativa homogénea de grado n : N( xy ) = N( x ) N( y ) , N( λx ) = λ ⁿ N( x ) . Aquí λ es un número racional y x , y son dos elementos cualesquiera de . ${\displaystyle K}$

La forma de traza derivada es una forma bilineal definida por medio de la traza, como

$${\displaystyle Tr_{K/L}:K\otimes _{L}K\to L}$$

$${\displaystyle Tr_{K/L}(x\otimes y)=Tr_{K/L}(x\cdot y)}$$

${\displaystyle {\text{Tr}}_{K/L}(x)}$forma de traza integral , una matriz simétricab ₁b _n. discriminantet ${\displaystyle t_{ij}={\text{Tr}}_{K/\mathbb {Q} }(b_{i}b_{j})}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$

La matriz asociada a un elemento x de también se puede utilizar para dar otras descripciones equivalentes de números enteros algebraicos. Un elemento x de es un entero algebraico si y sólo si el polinomio característico p _A de la matriz A asociada a x es un polinomio mónico con coeficientes enteros. Supongamos que la matriz A que representa un elemento x tiene entradas enteras en alguna base e . Por el teorema de Cayley-Hamilton , p _A ( A ) = 0, y se deduce que p _A ( x ) = 0, de modo que x es un entero algebraico. Por el contrario, si x es un elemento de es decir, raíz de un polinomio mónico con coeficientes enteros, entonces la misma propiedad se cumple para la matriz A correspondiente . En este caso se puede demostrar que A es una matriz entera en una base adecuada de . La propiedad de ser un número entero algebraico se define de forma independiente de la elección de una base en . ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$

Ejemplo con base integral

Considere , donde x satisface x ³ − 11 x ² + x + 1 = 0 . Entonces una base integral es [1, x , 1/2( x ²  + 1)], y la forma de traza integral correspondiente es ${\displaystyle K=\mathbb {Q} (x)}$

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}3&11&61\\11&119&653\\61&653&3589\end{bmatrix}}.}$$

El "3" en la esquina superior izquierda de esta matriz es el rastro de la matriz del mapa definida por el primer elemento base (1) en la representación regular de on . Este elemento base induce el mapa de identidad en el espacio vectorial tridimensional . La traza de la matriz del mapa identidad en un espacio vectorial tridimensional es 3. ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$

El determinante de esto es 1304 = 2 ³ ·163 , el discriminante de campo; en comparación, la raíz discriminante , o discriminante del polinomio, es 5216 = 2 ⁵ ·163 .

Lugares

Los matemáticos del siglo XIX asumieron que los números algebraicos eran un tipo de número complejo. ^{[4] [5]} Esta situación cambió con el descubrimiento de los números p-ádicos por Hensel en 1897; y ahora es estándar considerar todas las posibles incrustaciones de un campo numérico en sus diversas terminaciones topológicas a la vez. ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K_{\mathfrak {p}}}$

Un lugar de un campo numérico es una clase de equivalencia de valores absolutos en ^{[6] página 9} . Esencialmente, un valor absoluto es una noción para medir el tamaño de los elementos de . Dos de estos valores absolutos se consideran equivalentes si dan lugar a la misma noción de pequeñez (o proximidad). La relación de equivalencia entre valores absolutos está dada por algo tal que ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle |\cdot |_{0}\sim |\cdot |_{1}}$ ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} _{>0}}$

$${\displaystyle |\cdot |_{0}=|\cdot |_{1}^{\lambda }}$$

${\displaystyle |\cdot |_{1}}$ ${\displaystyle \lambda }$

En general, los tipos de lugares se dividen en tres regímenes. En primer lugar (y en su mayor parte irrelevante), el trivial valor absoluto | | ₀ , que toma el valor de todos los distintos de cero . La segunda y tercera clase son lugares de Arquímedes y lugares no arquímedes (o ultramétricos) . La finalización de con respecto a un lugar se da en ambos casos tomando secuencias de Cauchy y dividiendo secuencias nulas , es decir, secuencias tales que ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle x\in K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle |\cdot |_{\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \{x_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}$

$${\displaystyle |x_{n}|_{\mathfrak {p}}\to 0}$$

,. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle |\cdot |_{\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle K_{\mathfrak {p}}}$

En efecto , se dan las siguientes normas no triviales ( teorema de Ostrowski ): el valor absoluto (habitual) , a veces denominado , que da lugar al campo topológico completo de los números reales . Por otro lado, para cualquier número primo , el valor absoluto p -ádico está definido por ${\displaystyle K=\mathbb {Q} }$ ${\displaystyle |\cdot |_{\infty }}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle p}$

| q | _p = p ^{− n} , donde q = p ⁿ a / b y a y b son números enteros no divisibles por p .

Se utiliza para construir los números -ádicos . En contraste con el valor absoluto habitual, el valor absoluto p -ádico se vuelve más pequeño cuando q se multiplica por p , lo que lleva a un comportamiento bastante diferente en comparación con . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Tenga en cuenta que la situación general que normalmente se considera es tomar un campo numérico y considerar un ideal primo para su anillo asociado de números algebraicos . Entonces, habrá un lugar único llamado lugar no Arquímedes. Además, por cada incrustación habrá un lugar llamado lugar de Arquímedes, denominado . Este enunciado es un teorema también llamado teorema de Ostrowski . ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\in {\text{Spec}}({\mathcal {O}}_{K})}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ ${\displaystyle |\cdot |_{\mathfrak {p}}:K\to \mathbb {R} _{\geq 0}}$ ${\displaystyle \sigma :K\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle |\cdot |_{\sigma }:K\to \mathbb {R} _{\geq 0}}$

Ejemplos

El campo donde hay una sexta raíz fija de la unidad proporciona un rico ejemplo para construir incrustaciones de Arquímedes reales y complejas explícitas, y también incrustaciones no de Arquímedes ^{[6] páginas 15-16} . ${\displaystyle K=\mathbb {Q} [x]/(x^{6}-2)=\mathbb {Q} (\theta )}$ ${\displaystyle \theta =\zeta {\sqrt[{6}]{2}}}$ ${\displaystyle \zeta }$

Lugares de Arquímedes

Aquí utilizamos la notación estándar y para el número de incrustaciones reales y complejas utilizadas, respectivamente (ver más abajo). ${\displaystyle r_{1}}$ ${\displaystyle r_{2}}$

El cálculo de los lugares de Arquímedes de un cuerpo numérico se realiza de la siguiente manera: sea un elemento primitivo de , con polinomio mínimo (sobre ). Por encima de , generalmente ya no será irreducible, pero sus factores irreducibles (reales) son de grado uno o dos. Como no hay raíces repetidas, no hay factores repetidos. Las raíces de los factores de grado uno son necesariamente reales, y reemplazarlas por da una incorporación de en ; el número de tales incrustaciones es igual al número de raíces reales de . Restringir el valor absoluto estándar a da un valor absoluto de Arquímedes a ; dicho valor absoluto también se denomina lugar real de . Por otro lado, las raíces de factores de grado dos son pares de números complejos conjugados , lo que permite dos incrustaciones conjugadas en . Cualquiera de este par de incorporaciones se puede utilizar para definir un valor absoluto en , que es el mismo para ambas incorporaciones ya que son conjugadas. Este valor absoluto se llama lugar complejo de . ^{[7] [8]} ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$

Si todas las raíces de arriba son reales (respectivamente, complejas) o, de manera equivalente, cualquier posible incrustación en realidad se fuerza a estar dentro (respectivamente ), se llama totalmente real (resp. totalmente compleja ). ^{[9] [10]} ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle K\subseteq \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle K}$

Lugares no arquimedianos o ultramétricos

Para encontrar los lugares que no son de Arquímedes, hagamos de nuevo y hagamos lo anterior. En , se divide en factores de varios grados, ninguno de los cuales se repite, y cuyos grados suman , el grado de . Para cada uno de estos factores -adicamente irreducibles , podemos suponer que satisface y obtener una inclusión de en una extensión algebraica de grado finito sobre . Un campo local de este tipo se comporta en muchos sentidos como un campo numérico, y los números -ádicos pueden desempeñar de manera similar el papel de los racionales; en particular, podemos definir la norma y el seguimiento exactamente de la misma manera, ahora asignando funciones a . Usando este mapa de normas -ádicas para el lugar , podemos definir un valor absoluto correspondiente a un factor de grado -ádico irreducible dado por ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle f_{i}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f_{i}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle N_{f_{i}}}$ ${\displaystyle f_{i}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle f_{i}}$ ${\displaystyle m}$

$${\displaystyle |y|_{f_{i}}=|N_{f_{i}}(y)|_{p}^{1/m}}$$

ultramétrico. ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle K}$

Para cualquier lugar ultramétrico v tenemos que | x | _v ≤ 1 para cualquier x en , ya que el polinomio mínimo para x tiene factores enteros y, por lo tanto, su factorización p -ádica tiene factores en Z _p . En consecuencia, el término normativo (término constante) para cada factor es un entero p -ádico, y uno de ellos es el entero utilizado para definir el valor absoluto de v . ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$

Ideales primos en O K

Para un lugar ultramétrico v , el subconjunto de definido por | x | _v < 1 es un ideal de . Esto se basa en la ultrametricidad de v : dados x e y en , entonces ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$

| x + y | _v ≤ máx (| x | _v , |y| _v ) < 1.

En realidad, es incluso un ideal primordial . ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$

Por el contrario, dado un ideal primo de , se puede definir una valoración discreta estableciendo que n es el número entero más grande tal que , la potencia n veces del ideal. Esta valoración se puede convertir en un lugar ultramétrico. Bajo esta correspondencia, (clases de equivalencia) de lugares ultramétricos de corresponden a ideales primos de . Para , esto devuelve el teorema de Ostrowski: cualquier ideal primo en Z (que es necesariamente por un solo número primo) corresponde a un lugar no arquimediano y viceversa. Sin embargo, para campos numéricos más generales, la situación se vuelve más complicada, como se explicará a continuación. ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ ${\displaystyle v_{\mathfrak {p}}(x)=n}$ ${\displaystyle x\in {\mathfrak {p}}^{n}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ ${\displaystyle K=\mathbb {Q} }$

Otra forma más equivalente de describir lugares ultramétricos es mediante localizaciones de . Dado un lugar ultramétrico en un campo numérico , la localización correspondiente es el subanillo de todos los elementos tales que | x  | _v ≤ 1. Por la propiedad ultramétrica es un anillo. Además, contiene . Para cada elemento x de , al menos uno de x o x ⁻¹ está contenido en . En realidad, dado que se puede demostrar que K ^× / T ^× es isomorfo a los números enteros, es un anillo de valoración discreto , en particular un anillo local . En realidad, es solo la localización de en el ideal primo , entonces . Por el contrario, es el ideal máximo de . ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle T={\mathcal {O}}_{K,{\mathfrak {p}}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle T}$

En total, existe una equivalencia triple entre valores absolutos ultramétricos, ideales primos y localizaciones en un campo numérico.

Acostado sobre teorema y lugares.

Algunos de los teoremas básicos de la teoría algebraica de números son los teoremas de subida y bajada , que describen el comportamiento de algún ideal primo cuando se extiende como ideal para alguna extensión de campo . Decimos que un ideal reside en si . Entonces, una encarnación del teorema establece un ideal primo en mentiras sobre , por lo tanto, siempre hay un mapa sobreyectivo ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\in {\text{Spec}}({\mathcal {O}}_{K})}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{L}}$ ${\displaystyle L/K}$ ${\displaystyle {\mathfrak {o}}\subset {\mathcal {O}}_{L}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {o}}\cap {\mathcal {O}}_{K}={\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\text{Spec}}({\mathcal {O}}_{L})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$

$${\displaystyle {\text{Spec}}({\mathcal {O}}_{L})\to {\text{Spec}}({\mathcal {O}}_{K})}$$

. ,,. ^{[6] pg 13}. ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}\hookrightarrow {\mathcal {O}}_{L}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle {\text{Spec}}({\mathcal {O}}_{L})}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$

$${\displaystyle K={\frac {\mathbb {Q} [X]}{Q(X)}}}$$

,. ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle X\in K}$ ${\displaystyle K\otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {Q} _{p}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}K\otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {Q} _{p}&={\frac {\mathbb {Q} [X]}{Q(X)}}\otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {Q} _{p}\\&={\frac {\mathbb {Q} _{p}[X]}{Q(X)}}\end{aligned}}}$$

${\displaystyle Q(X)\in \mathbb {Q} _{p}[X]}$

$${\displaystyle Q(X)=\prod _{v|p}Q_{v}}$$

lema de Hensel ^{[11] pág. 129-131}

$${\displaystyle {\begin{aligned}K\otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {Q} _{p}&\cong {\frac {\mathbb {Q} _{p}[X]}{\prod _{v|p}Q_{v}(X)}}\\&\cong \bigoplus _{v|p}K_{v}\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}i_{v}:&K\to K_{v}\\&\theta \mapsto \theta _{v}\end{aligned}}}$$

${\displaystyle \theta _{v}}$ ${\displaystyle Q_{v}}$ ${\displaystyle K_{v}=\mathbb {Q} _{p}(\theta _{v})}$

$${\displaystyle K_{v}=i_{v}(K)\mathbb {Q} _{p}}$$

). ${\displaystyle \mathbb {C} _{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$

Ramificación

Representación esquemática de la ramificación: las fibras de casi todos los puntos en Y a continuación constan de tres puntos, excepto dos puntos en Y marcados con puntos, donde las fibras constan de uno y dos puntos (marcados en negro), respectivamente. Se dice que el mapa f está ramificado en estos puntos de Y.

La ramificación , en términos generales, describe un fenómeno geométrico que puede ocurrir con aplicaciones finitas a uno (es decir, aplicaciones tales que las preimágenes de todos los puntos y en Y constan sólo de un número finito de puntos): la cardinalidad de las fibras f ⁻¹ ( y ) generalmente tendrá el mismo número de puntos, pero ocurre que, en puntos especiales y , este número baja. Por ejemplo, el mapa ${\displaystyle f:X\to Y}$

${\displaystyle \mathbb {C} \to \mathbb {C} ,z\mapsto z^{n}}$

tiene n puntos en cada fibra sobre t , es decir, las n raíces (complejas) de t , excepto en t = 0 , donde la fibra consta de un solo elemento, z = 0. Se dice que el mapa está "ramificado" en cero. Este es un ejemplo de revestimiento ramificado de superficies de Riemann . Esta intuición también sirve para definir la ramificación en la teoría algebraica de números . Dada una extensión (necesariamente finita) de campos numéricos , un ideal primo p de genera el ideal pO _K de . Este ideal puede ser o no un ideal primo, pero, según el teorema de Lasker-Noether (ver arriba), siempre está dado por ${\displaystyle K/L}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{L}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$

pO = q ₁ ^{mi ₁} q ₂ ^{mi ₂} ⋯ q _{^metro mi} ^metro _{${\displaystyle K}$}

con ideales primos determinados de forma única q _i de y números (llamados índices de ramificación) e _i . Siempre que un índice de ramificación es mayor que uno, se dice que el primo p se ramifica en . ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ ${\displaystyle K}$

La conexión entre esta definición y la situación geométrica la entrega el mapa de espectros de anillos . De hecho, los morfismos no ramificados de esquemas en geometría algebraica son una generalización directa de extensiones no ramificadas de campos numéricos. ${\displaystyle \mathrm {Spec} {\mathcal {O}}_{K}\to \mathrm {Spec} {\mathcal {O}}_{L}}$

La ramificación es una propiedad puramente local, es decir, depende sólo de las terminaciones alrededor de los números primos p y q _i . El grupo de inercia mide la diferencia entre los grupos de Galois locales en algún lugar y los grupos de Galois de los campos de residuos finitos involucrados.

Un ejemplo

El siguiente ejemplo ilustra las nociones introducidas anteriormente. Para calcular el índice de ramificación de , donde ${\displaystyle \mathbb {Q} (x)}$

f ( x ) = x ³ - x - 1 = 0,

a los 23, basta considerar la extensión del campo . Hasta 529 = 23 ² (es decir, módulo 529) f se puede factorizar como ${\displaystyle \mathbb {Q} _{23}(x)/\mathbb {Q} _{23}}$

f ( x ) = ( x + 181)( x ² − 181 x − 38) = gh .

Sustituyendo x = y + 10 en el primer factor g módulo 529 se obtiene y + 191, por lo que la valoración | y  | _g para y dada por g es | −191 | ₂₃ = 1. Por otro lado, la misma sustitución en h produce y ² − 161 y − 161 módulo 529. Como 161 = 7 × 23,

${\displaystyle \left\vert y\right\vert _{h}={\sqrt {\left\vert 161\right\vert }}_{23}={\frac {1}{\sqrt {23}}}}$

Dado que los valores posibles para el valor absoluto del lugar definido por el factor h no se limitan a potencias enteras de 23, sino que son potencias enteras de la raíz cuadrada de 23, el índice de ramificación de la extensión del campo en 23 es dos.

Las valoraciones de cualquier elemento de se pueden calcular de esta manera utilizando las resultantes . Si, por ejemplo, y = x ² − x − 1, usar la resultante para eliminar x entre esta relación y f = x ³ − x − 1 = 0 da y ³ − 5 y ² + 4 y − 1 = 0 . Si en cambio eliminamos con respecto a los factores g y h de f , obtenemos los factores correspondientes al polinomio para y , y luego la valoración de 23 ádicos aplicada al término constante (norma) nos permite calcular las valoraciones de y para g y h (ambos son 1 en este caso). ${\displaystyle K}$

Teorema discriminante de Dedekind

Gran parte de la importancia del discriminante radica en el hecho de que los lugares ultramétricos ramificados son todos lugares obtenidos de factorizaciones en donde p divide al discriminante. Esto es incluso cierto para el discriminante polinomial; sin embargo, lo contrario también es cierto, que si un primo p divide al discriminante, entonces hay un p -lugar que se ramifica. Para esto se necesita el discriminante de campo. Este es el teorema discriminante de Dedekind . En el ejemplo anterior, el discriminante del campo numérico con x ³  −  x  − 1 = 0 es −23 y, como hemos visto, el lugar de 23 ádicos se ramifica. El discriminante de Dedekind nos dice que es el único lugar ultramétrico que lo hace. El otro lugar ramificado proviene del valor absoluto en la incrustación compleja de . ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} (x)}$ ${\displaystyle K}$

Grupos de Galois y cohomología de Galois.

Generalmente en álgebra abstracta, las extensiones de campo K / L se pueden estudiar examinando el grupo de Galois Gal( K / L ), que consta de automorfismos de campo que dejan elementos fijos. Como ejemplo, el grupo de Galois de la extensión del campo ciclotómico de grado n (ver arriba) viene dado por ( Z / n Z ) ^× , el grupo de elementos invertibles en Z / n Z. Este es el primer paso hacia la teoría de Iwasawa . ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \mathrm {Gal} (\mathbb {Q} (\zeta _{n})/\mathbb {Q} )}$

Para incluir todas las posibles extensiones que tienen ciertas propiedades, el concepto de grupo de Galois se aplica comúnmente a la extensión de campo (infinita) K / K de la clausura algebraica , lo que lleva al grupo absoluto de Galois G  := Gal( K / K ) o simplemente Gal( K ), y a la extensión . El teorema fundamental de la teoría de Galois vincula los campos intermedios y su cierre algebraico y subgrupos cerrados de Gal ( K ). Por ejemplo, la abelianización (el mayor cociente abeliano) G ^ab de G corresponde a un campo denominado extensión abeliana máxima K ^ab (llamada así porque cualquier extensión adicional no es abeliana, es decir, no tiene un grupo abeliano de Galois). Según el teorema de Kronecker-Weber , la extensión abeliana máxima de es la extensión generada por todas las raíces de la unidad . Para campos numéricos más generales, la teoría ^de campos de clases , específicamente la ley de reciprocidad de Artin, da una respuesta describiendo Gab en términos del grupo de clases idele . También es notable el campo de clase de Hilbert , la extensión máxima del campo abeliano no ramificado de . Se puede demostrar que es finito , su grupo de Galois es isomorfo al grupo de clase de , en particular su grado es igual al número de clase h de (ver arriba). ${\displaystyle K/\mathbb {Q} }$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$

En determinadas situaciones, el grupo de Galois actúa sobre otros objetos matemáticos, por ejemplo un grupo. Un grupo de este tipo también se denomina módulo de Galois. Esto permite el uso de cohomología de grupo para el grupo de Galois Gal( K ), también conocido como cohomología de Galois , que en primer lugar mide la falta de exactitud al tomar invariantes de Gal( K ), pero ofrece conocimientos (y preguntas) más profundos como Bueno. Por ejemplo, el grupo de Galois G de una extensión de campo L / K actúa sobre L ^× , los elementos distintos de cero de L. Este módulo de Galois juega un papel importante en muchas dualidades aritméticas , como la dualidad de Poitou-Tate . El grupo de Brauer de , concebido originalmente para clasificar álgebras de división sobre , puede reformularse como un grupo de cohomología, a saber, H ² (Gal ( K , K ^× )). ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$

Principio local-global

En términos generales, el término "de local a global" se refiere a la idea de que un problema global se resuelve primero a nivel local, lo que tiende a simplificar las preguntas. Luego, por supuesto, la información obtenida en el análisis local debe combinarse para llegar a alguna afirmación global. Por ejemplo, la noción de gavillas cosifica esa idea en topología y geometría .

Campos locales y globales

Los campos numéricos comparten una gran similitud con otra clase de campos muy utilizados en geometría algebraica conocidos como campos funcionales de curvas algebraicas sobre campos finitos . Un ejemplo es K _p ( T ). Son similares en muchos aspectos, por ejemplo en que los anillos numéricos son anillos regulares unidimensionales, al igual que los anillos de coordenadas (cuyos campos cocientes son los campos funcionales en cuestión) de las curvas. Por tanto, ambos tipos de campo se denominan campos globales . De acuerdo con la filosofía expuesta anteriormente, se pueden estudiar primero a nivel local, es decir, mirando los campos locales correspondientes . Para los campos numéricos , los campos locales son las terminaciones de en todos los lugares, incluidos los de Arquímedes (ver análisis local ). Para los campos funcionales, los campos locales son terminaciones de los anillos locales en todos los puntos de la curva para los campos funcionales. ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$

Muchos resultados válidos para campos de funciones también son válidos, al menos si se reformulan adecuadamente, para campos numéricos. Sin embargo, el estudio de los campos numéricos a menudo plantea dificultades y fenómenos que no se encuentran en los campos funcionales. Por ejemplo, en los campos funcionales, no existe dicotomía entre lugares no arquímedes y arquímedes. No obstante, los campos funcionales a menudo sirven como fuente de intuición de lo que se debería esperar en el caso de los campos numéricos.

principio de hasse

Una pregunta prototípica, planteada a nivel global, es si alguna ecuación polinómica tiene solución en . Si este es el caso, esta solución también lo es en todas las terminaciones. El principio local-global o principio de Hasse afirma que para las ecuaciones cuadráticas también se cumple lo contrario. De este modo, se puede comprobar si dicha ecuación tiene una solución en todas las terminaciones de , lo que a menudo es más fácil, ya que los métodos analíticos (herramientas analíticas clásicas como el teorema del valor intermedio en los lugares de Arquímedes y el análisis p-ádico en los lugares no arquímedes) puede ser usado. Sin embargo, esta implicación no se cumple para tipos de ecuaciones más generales. Sin embargo, la idea de pasar de datos locales a datos globales resulta fructífera en la teoría de campos de clases, por ejemplo, donde se utiliza la teoría de campos de clases locales para obtener los conocimientos globales mencionados anteriormente. Esto también está relacionado con el hecho de que los grupos de Galois de las terminaciones K _v pueden determinarse explícitamente, mientras que los grupos de Galois de campos globales, incluso de, se entienden mucho menos. ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Adeles e ideles

Para recopilar datos locales pertenecientes a todos los campos locales adjuntos , se configura el anillo Adele . Una variante multiplicativa se denomina ideles . ${\displaystyle K}$

Ver también

Generalizaciones

• Campo de función algebraica

Teoría algebraica de números

• Teorema de la unidad de Dirichlet , unidad S
• Extensión Kummer
• Teorema de Minkowski , Geometría de los números.
• Teorema de densidad de Chebotarev

Teoría del campo de clases

• grupo de clase rayo
• Grupo de descomposición
• Campo de género

Notas

1. Irlanda, Kenneth; Rosen, Michael (1998), Introducción clásica a la teoría de números moderna , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-97329-6, cap. 1.4
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3. Narkiewicz 2004, §2.2.6
4. Kleiner, Israel (1999), "Teoría de campos: de las ecuaciones a la axiomatización. I", The American Mathematical Monthly , 106 (7): 677–684, doi :10.2307/2589500, JSTOR  2589500, MR  1720431, A Dedekind, luego , los campos eran subconjuntos de los números complejos.
5. Mac Lane, Saunders (1981), "Modelos matemáticos: un bosquejo de la filosofía de las matemáticas", The American Mathematical Monthly , 88 (7): 462–472, doi :10.2307/2321751, JSTOR  2321751, MR  0628015, Surgió el empirismo desde la visión del siglo XIX de las matemáticas como casi coterminales con la física teórica.
6. Gras, Georges (2003). Teoría del campo de clase: de la teoría a la práctica. Berlina. ISBN 978-3-662-11323-3. OCLC  883382066.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
7. Cohn, Capítulo 11 §C p. 108
8. Conrado
9. Cohn, Capítulo 11 §C p. 108
10. Conrado
11. Neukirch, Jürgen (1999). Teoría algebraica de números. Berlín, Heidelberg: Springer Berlín Heidelberg. ISBN 978-3-662-03983-0. OCLC  851391469.

Referencias

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• Helmut Hasse, Teoría de números , Serie Springer Classics in Mathematics (2002)
• Serge Lang , Teoría algebraica de números , segunda edición, Springer, 2000
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• Ram Murty, Problemas de teoría algebraica de números , segunda edición, Springer, 2005
• Narkiewicz, Władysław (2004), Teoría elemental y analítica de números algebraicos , Springer Monographs in Mathematics (3 ed.), Berlín: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-21902-6, señor  2078267
• Neukirch, Jürgen (1999), Teoría algebraica de números , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 322, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-65399-8, SEÑOR  1697859, Zbl  0956.11021
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• André Weil , Teoría básica de números , tercera edición, Springer, 1995