Teorema unitario de Dirichlet

Da el rango del grupo de unidades en el anillo de números enteros algebraicos de un campo numérico.

En matemáticas , el teorema unitario de Dirichlet es un resultado básico en la teoría algebraica de números debido a Peter Gustav Lejeune Dirichlet . ^[1] Determina el rango del grupo de unidades en el anillo O _K de enteros algebraicos de un campo numérico K . El regulador es un número real positivo que determina qué tan "densas" son las unidades.

La afirmación es que el grupo de unidades se genera de forma finita y tiene un rango (número máximo de elementos multiplicativamente independientes) igual a

r = r ₁ + r ₂ - 1

donde r ₁ es el número de incrustaciones reales y r ₂ el número de pares conjugados de incrustaciones complejas de K . Esta caracterización de r ₁ y r ₂ se basa en la idea de que habrá tantas formas de incluir K en el campo de números complejos como el grado ; estos serán números reales o pares de incrustaciones relacionadas por conjugación compleja , de modo que ${\displaystyle n=[K:\mathbb {Q} ]}$

norte = r ₁ + 2 r ₂ .

Tenga en cuenta que si K es Galois, entonces r ₁ = 0 o r ₂ = 0 . ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Otras formas de determinar r ₁ y r ₂ son

• usa el teorema del elemento primitivo para escribir , y luego r ₁ es el número de conjugados de α que son reales, 2 r ₂ el número que son complejos; en otras palabras, si f es el polinomio mínimo de α sobre , entonces r ₁ es el número de raíces reales y 2r ₂ es el número de raíces complejas no reales de f (que vienen en pares conjugados complejos); ${\displaystyle K=\mathbb {Q} (\alpha )}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$
• Escribe el producto tensorial de campos como producto de campos, habiendo r ₁ copias de yr 2 _copias de . ${\displaystyle K\otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Por ejemplo, si K es un campo cuadrático , el rango es 1 si es un campo cuadrático real y 0 si es un campo cuadrático imaginario. La teoría de campos cuadráticos reales es esencialmente la teoría de la ecuación de Pell .

El rango es positivo para todos los campos numéricos excepto los campos cuadráticos imaginarios, que tienen rango 0. El "tamaño" de las unidades se mide en general mediante un determinante llamado regulador. En principio, se puede calcular eficazmente una base para las unidades; en la práctica, los cálculos son bastante complicados cuando n es grande. ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

La torsión en el grupo de unidades es el conjunto de todas las raíces de la unidad de K , que forman un grupo cíclico finito . Por lo tanto, para un campo numérico con al menos una incrustación real, la torsión debe ser solo {1,−1} . Hay campos numéricos, por ejemplo la mayoría de los campos cuadráticos imaginarios , que no tienen incrustaciones reales y que también tienen {1, −1} para la torsión de su grupo unitario.

Los campos totalmente reales son especiales respecto a las unidades. Si L / K es una extensión finita de cuerpos numéricos con grado mayor que 1 y los grupos de unidades para los números enteros de L y K tienen el mismo rango entonces K es totalmente real y L es una extensión cuadrática totalmente compleja. Lo contrario también se cumple. (Un ejemplo es K igual a los racionales y L igual a un campo cuadrático imaginario; ambos tienen rango unitario 0.)

El teorema no sólo se aplica al orden máximo O _K sino a cualquier orden O ⊂ O _K . ^[2]

Existe una generalización del teorema unitario de Helmut Hasse (y más tarde Claude Chevalley ) para describir la estructura del grupo de unidades S , determinando el rango del grupo unitario en localizaciones de anillos de números enteros. Además, se ha determinado la estructura del módulo de Galois . ^[3] ${\displaystyle \mathbb {Q} \oplus O_{K,S}\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} }$

El regulador

Supongamos que K es un cuerpo numérico y es un conjunto de generadores para el grupo unitario de K raíces de módulo de la unidad. Habrá r + 1 lugares de Arquímedes de K , ya sean reales o complejos. Para , escriba las diferentes incrustaciones en o y establezca N _j en 1 o 2 si la incrustación correspondiente es real o compleja, respectivamente. Entonces la matriz r × ( r + 1) ${\displaystyle u_{1},\dots ,u_{r}}$ ${\displaystyle u\in K}$ ${\displaystyle u^{(1)},\dots ,u^{(r+1)}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

$${\displaystyle \left(N_{j}\log \left|u_{i}^{(j)}\right|\right)_{i=1,\dots ,r,\;j=1,\dots ,r+1}}$$

RRreguladoru _i

El regulador tiene la siguiente interpretación geométrica. El mapa que lleva una unidad u al vector con entradas tiene una imagen en el subespacio r -dimensional que consta de todos los vectores cuyas entradas tienen suma 0, y según el teorema unitario de Dirichlet la imagen es una red en este subespacio. El volumen de un dominio fundamental de esta red es . ${\textstyle N_{j}\log \left|u^{(j)}\right|}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{r+1}}$ ${\displaystyle R{\sqrt {r+1}}}$

El regulador de un campo numérico algebraico de grado mayor que 2 suele ser bastante complicado de calcular, aunque ahora existen paquetes de álgebra informática que pueden hacerlo en muchos casos. Por lo general, es mucho más fácil calcular el producto hR del número de clase h y el regulador usando la fórmula del número de clase , y la principal dificultad al calcular el número de clase de un campo numérico algebraico suele ser el cálculo del regulador.

Ejemplos

Un dominio fundamental en el espacio logarítmico del grupo de unidades del campo cúbico cíclico K obtenido al unirlo a una raíz de f ( x ) = x ³ + x ² − 2 x − 1 . Si α denota una raíz de f ( x ) , entonces un conjunto de unidades fundamentales es { ε ₁ , ε ₂ } , donde ε ₁ = α ² + α − 1 y ε ₂ = 2 − α ² . El área del dominio fundamental es aproximadamente 0,910114, por lo que el regulador de K es aproximadamente 0,525455. ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

• El regulador de un campo cuadrático imaginario , o de los números enteros racionales, es 1 (como el determinante de una matriz 0 × 0 es 1).
• El regulador de un campo cuadrático real es el logaritmo de su unidad fundamental : por ejemplo, el de is . Esto se puede ver de la siguiente manera. Una unidad fundamental es , y sus imágenes bajo las dos incrustaciones en are y . Entonces la matriz r × ( r + 1) es ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {5}})}$ ${\textstyle \log {\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}}$ ${\textstyle ({\sqrt {5}}+1)/2}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\textstyle ({\sqrt {5}}+1)/2}$ ${\textstyle (-{\sqrt {5}}+1)/2}$
  $${\displaystyle \left[1\times \log \left|{\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}\right|,\quad 1\times \log \left|{\frac {-{\sqrt {5}}+1}{2}}\right|\ \right].}$$
• El regulador del campo cúbico cíclico , donde α es una raíz de x ³ + x ² − 2 x − 1 , es aproximadamente 0,5255. Una base del grupo de unidades módulo raíces de la unidad es { ε ₁ , ε ₂ } donde ε ₁ = α ² + α − 1 y ε ₂ = 2 − α ² . ^[4] ${\displaystyle \mathbb {Q} (\alpha )}$

Reguladores superiores

Un regulador "superior" se refiere a una construcción para una función en un grupo K algebraico con índice n > 1 que desempeña el mismo papel que el regulador clásico para el grupo de unidades, que es un grupo K ₁ . Se ha desarrollado una teoría sobre tales reguladores, con el trabajo de Armand Borel y otros. Estos reguladores superiores desempeñan un papel, por ejemplo, en las conjeturas de Beilinson y se espera que ocurran en evaluaciones de ciertas funciones L en valores enteros del argumento. ^[5] Véase también Regulador Beilinson .

Regulador rígido

La formulación de las conjeturas de Stark llevó a Harold Stark a definir lo que ahora se llama regulador de Stark , similar al regulador clásico como determinante de logaritmos de unidades, adjunto a cualquier representación de Artin . ^{[6] [7]}

regulador p -ádico

Sea K un cuerpo numérico y para cada primo P de K por encima de algún primo racional fijo p , sea U _P las unidades locales en P y sea U _{1, P} el subgrupo de unidades principales en U _P. Colocar

$${\displaystyle U_{1}=\prod _{P|p}U_{1,P}.}$$

Entonces, sea E 1 _el conjunto de unidades globales ε que se asignan a U ₁ mediante la incrustación diagonal de las unidades globales en E.

Dado que E ₁ es un subgrupo de índice finito de las unidades globales, es un grupo abeliano de rango r ₁ + r ₂ − 1 . El regulador p -ádico es el determinante de la matriz formada por los logaritmos p -ádicos de los generadores de este grupo. La conjetura de Leopoldt establece que este determinante es distinto de cero. ^{[8] [9]}

Ver también

• unidad elíptica
• unidad ciclotómica
• Teorema unitario de Shintani

Notas

1. Elstrodt 2007, §8.D
2. Stevenhagen, P. (2012). Anillos numéricos (PDF) . pag. 57.
3. Neukirch, Schmidt y Wingberg 2000, proposición VIII.8.6.11.
4. Cohen 1993, cuadro B.4
5. Bloch, Spencer J. (2000). Reguladores superiores, teoría K algebraica y funciones zeta de curvas elípticas . Serie de monografías de CRM. vol. 11. Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense . ISBN 0-8218-2114-8. Zbl  0958.19001.
6. Prasad, Dipendra; Yogonanda, CS (23 de febrero de 2007). Un informe sobre la conjetura de la holomorfia de Artin (PDF) (Reporte).
7. Dasgupta, Samit (1999). Conjeturas de Stark (PDF) (Tesis). Archivado desde el original (PDF) el 10 de mayo de 2008.
8. Neukirch y otros. (2008) pág. 626–627
9. Iwasawa, Kenkichi (1972). Conferencias sobre funciones L p -ádicas . Anales de estudios de matemáticas. vol. 74. Princeton, Nueva Jersey: Princeton University Press y University of Tokyo Press. págs. 36–42. ISBN 0-691-08112-3. Zbl  0236.12001.

Referencias

• Cohen, Henri (1993). Un curso de teoría algebraica computacional de números . Textos de Posgrado en Matemáticas . vol. 138. Berlín, Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-55640-4. SEÑOR  1228206. Zbl  0786.11071.
• Elstrodt, Jürgen (2007). "La vida y obra de Gustav Lejeune Dirichlet (1805-1859)" (PDF) . Actas de matemáticas de arcilla . Archivado desde el original (PDF) el 22 de mayo de 2021 . Consultado el 13 de junio de 2010 .
• Lang, Serge (1994). Teoría algebraica de números . Textos de Posgrado en Matemáticas. vol. 110 (2ª ed.). Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 0-387-94225-4. Zbl  0811.11001.
• Neukirch, Jürgen (1999). Algebraische Zahlentheorie . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften . vol. 322. Berlín: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-65399-8. SEÑOR  1697859. Zbl  0956.11021.
• Neukirch, Jürgen ; Schmidt, Alejandro; Wingberg, Kay (2000), Cohomología de campos numéricos , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften , vol. 323, Berlín: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-66671-4, SEÑOR  1737196, Zbl  0948.11001