En matemáticas , las unidades elípticas son ciertas unidades de extensiones abelianas de campos cuadráticos imaginarios construidos usando valores singulares de funciones modulares o valores de división de funciones elípticas . Fueron introducidas por Gilles Robert en 1973 y fueron utilizadas por John Coates y Andrew Wiles en su trabajo sobre la conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer . Las unidades elípticas son un análogo de los campos cuadráticos imaginarios de unidades ciclotómicas . Forman un ejemplo de un sistema de Euler .
Se puede construir un sistema de unidades elípticas para una curva elíptica E con multiplicación compleja por el anillo de enteros R de un cuerpo cuadrático imaginario F . Para simplificar, suponemos que F tiene la clase número uno. Sea a un ideal de R con generador α. Para un modelo de Weierstrass de E , definamos
donde P es un punto en E , Δ es el discriminante y x es la coordenada X en el modelo de Weierstrass. La función Θ es independiente de la elección del modelo y se define sobre el campo de definición de E .
Sea b un ideal de R coprimo a a y Q un R -generador de la b -torsión. Entonces Θ a ( Q ) está definido sobre el campo de clase de rayos K ( b ), y si b no es una potencia prima entonces Θ a ( Q ) es una unidad global: si b es una potencia de un primo p entonces Θ a ( Q ) está a una unidad de p .
La función Θ a satisface una relación de distribución para b = (β) coprimo con a :
