Dominio integralmente cerrado

En álgebra conmutativa , un dominio integralmente cerrado A es un dominio integral cuyo cierre integral en su campo de fracciones es el propio A. En pocas palabras, esto significa que si x es un elemento del cuerpo de fracciones de A que es raíz de un polinomio mónico con coeficientes en A, entonces x es en sí mismo un elemento de A. Muchos dominios bien estudiados son integralmente cerrados, como mostrado por la siguiente cadena de inclusiones de clases :

rngs ⊃ anillos ⊃ anillos conmutativos ⊃ dominios integrales ⊃ dominios integralmente cerrados ⊃ dominios MCD ⊃ dominios de factorización única ⊃ dominios ideales principales ⊃ dominios euclidianos ⊃ campos ⊃ campos algebraicamente cerrados

Un ejemplo explícito es el anillo de números enteros Z , un dominio euclidiano. Todos los anillos locales regulares también están integralmente cerrados.

Propiedades básicas

Sea A un dominio integralmente cerrado con campo de fracciones K y sea L una extensión de campo de K. Entonces x ∈ L es integral sobre A si y sólo si es algebraico sobre K y su polinomio mínimo sobre K tiene coeficientes en A. ^[1] En particular, esto significa que cualquier elemento de L integral sobre A es raíz de un polinomio mónico en A [ X ] que es irreducible en K [ X ].

Si A es un dominio contenido en un campo K, podemos considerar la clausura integral de A en K (es decir, el conjunto de todos los elementos de K que son integrales sobre A ). Este cierre integral es un dominio integralmente cerrado.

Los dominios integralmente cerrados también juegan un papel en la hipótesis del teorema de descenso . El teorema establece que si A ⊆ B es una extensión integral de dominios y A es un dominio integralmente cerrado, entonces la propiedad descendente es válida para la extensión A ⊆ B.

Ejemplos

Los siguientes son dominios integralmente cerrados.

• Un dominio ideal principal (en particular: los números enteros y cualquier campo).
• Un dominio de factorización único (en particular, cualquier anillo polinómico sobre un campo, sobre números enteros o sobre cualquier dominio de factorización único).
• Un dominio GCD (en particular, cualquier dominio Bézout o dominio de valoración ).
• Un dominio de Dedekind .
• Un álgebra simétrica sobre un campo (ya que toda álgebra simétrica es isomorfa a un anillo polinomial en varias variables sobre un campo).
• Sea un campo de característica no 2 y un anillo polinómico sobre él. Si es un polinomio no constante sin cuadrados en , entonces es un dominio integralmente cerrado. ^[2] En particular, es un dominio integralmente cerrado si . ^[3] ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle S=k[x_{1},\dots ,x_{n}]}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S[y]/(y^{2}-f)}$ ${\displaystyle k[x_{0},\dots ,x_{r}]/(x_{0}^{2}+\dots +x_{r}^{2})}$ ${\displaystyle r\geq 2}$

Para dar un no ejemplo, ^[4] sea k un campo y ( A es la subálgebra generada por t ² y t ³ .) A no es integralmente cerrado: tiene el campo de fracciones y el polinomio mónico en la variable X tiene raíz t que está en el campo de fracciones pero no en A. Esto está relacionado con el hecho de que la curva plana tiene una singularidad en el origen. ${\displaystyle A=k[t^{2},t^{3}]\subset k[t]}$ ${\displaystyle k(t)}$ ${\displaystyle X^{2}-t^{2}}$ ${\displaystyle Y^{2}=X^{3}}$

Otro dominio que no está integralmente cerrado es ; no contiene el elemento de su campo de fracciones, que satisface el polinomio mónico . ${\displaystyle A=\mathbb {Z} [{\sqrt {5}}]}$ ${\displaystyle {\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}}$ ${\displaystyle X^{2}-X-1=0}$

Dominio noetheriano integralmente cerrado

Para un dominio local noetheriano A de dimensión uno, lo siguiente es equivalente.

• A es integralmente cerrado.
• El ideal máximo de A es principal.
• A es un anillo de valoración discreto (equivalentemente A es Dedekind).
• A es un anillo local normal.

Sea A un dominio integral noetheriano. Entonces A es integralmente cerrado si y sólo si (i) A es la intersección de todas las localizaciones sobre ideales primos de altura 1 y (ii) la localización en un ideal primo de altura 1 es un anillo de valoración discreto. ${\displaystyle A_{\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle A_{\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$

Un anillo noetheriano es un dominio de Krull si y sólo si es un dominio integralmente cerrado.

En el entorno noetheriano, se tiene lo siguiente: un dominio integral es integralmente cerrado si y sólo si es la intersección de todos los anillos de valoración que lo contienen.

anillos normales

Autores como Serre , Grothendieck y Matsumura definen un anillo normal como un anillo cuyas localizaciones en ideales primos son dominios integralmente cerrados. Un anillo de este tipo es necesariamente un anillo reducido , ^[5] y esto a veces se incluye en la definición. En general, si A es un anillo noetheriano cuyas localizaciones en ideales máximos son todas dominios, entonces A es un producto finito de dominios. ^[6] En particular, si A es un anillo normal noetheriano, entonces los dominios en el producto son dominios integralmente cerrados. ^[7] Por el contrario, cualquier producto finito de dominios integralmente cerrados es normal. En particular, si es noetheriano, normal y conexo, entonces A es un dominio integralmente cerrado. (cf. variedad suave ) ${\displaystyle \operatorname {Spec} (A)}$

Sea A un anillo noetheriano. Entonces ( criterio de Serre ) A es normal si y sólo si satisface lo siguiente: para cualquier ideal primo , ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$

1. Si tiene altura , entonces es regular (es decir, es un anillo de valoración discreto ). ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle \leq 1}$ ${\displaystyle A_{\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle A_{\mathfrak {p}}}$
2. Si tiene altura , entonces tiene profundidad . ^[8] ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle \geq 2}$ ${\displaystyle A_{\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle \geq 2}$

El punto i) suele expresarse como "regular en la codimensión 1". Nota (i) implica que el conjunto de números primos asociados no tiene números primos incrustados y, cuando (i) es el caso, (ii) significa que no tiene números primos incrustados para ningún divisor f distinto de cero . En particular, un anillo de Cohen-Macaulay satisface (ii). Geométricamente tenemos lo siguiente: si X es una intersección local completa en una variedad no singular; ^[9] por ejemplo, X en sí mismo no es singular, entonces X es Cohen-Macaulay; es decir, los tallos de la estructura de la gavilla son Cohen-Macaulay para todos los ideales primos p. Entonces podemos decir: X es normal (es decir, los tallos de su estructura son todos normales) si y sólo si es regular en la codimensión 1 . ${\displaystyle Ass(A)}$ ${\displaystyle Ass(A/fA)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{p}}$

Dominios completamente cerrados integralmente

Sea A un dominio y K su campo de fracciones. Se dice que un elemento x en K es casi integral sobre A si el subanillo A [ x ] de K generado por A y x es un ideal fraccionario de A ; es decir, si existe un valor distinto de cero para todos . Entonces se dice que A es completamente integralmente cerrado si cada elemento casi integral de K está contenido en A. Un dominio completamente integralmente cerrado es integralmente cerrado. Por el contrario, un dominio noetheriano integralmente cerrado es completamente integralmente cerrado. ${\displaystyle d\in A}$ ${\displaystyle dx^{n}\in A}$ ${\displaystyle n\geq 0}$

Supongamos que A es completamente integralmente cerrado. Entonces el anillo formal de la serie de potencias está completamente cerrado. ^[10] Esto es significativo ya que la analogía es falsa para un dominio integralmente cerrado: sea R un dominio de valoración de altura al menos 2 (que está integralmente cerrado). Entonces no está integralmente cerrado. ^[11] Sea L una extensión de campo de K . Entonces el cierre integral de A en L está completamente cerrado integralmente. ^[12] ${\displaystyle A[[X]]}$ ${\displaystyle R[[X]]}$

Un dominio integral es completamente integralmente cerrado si y sólo si el monoide de divisores de A es un grupo. ^[13]

"Integralmente cerrado" en obras

Las siguientes condiciones son equivalentes para un dominio integral A :

1. A está integralmente cerrado;
2. A _p (la localización de A con respecto a p ) es integralmente cerrada para todo ideal primo p ;
3. Am es integralmente _cerrado para todo ideal máximo m .

1 → 2 resulta inmediatamente de la preservación del cierre integral bajo localización; 2 → 3 es trivial; 3 → 1 resulta de la preservación del cierre integral bajo localización, la exactitud de la localización y la propiedad de que un módulo A M es cero si y sólo si su localización con respecto a cada ideal máximo es cero.

En contraste, el "integralmente cerrado" no pasa por encima del cociente, porque Z [t]/(t ² +4) no es integralmente cerrado.

La localización de un dominio completamente integralmente cerrado no necesita ser completamente integralmente cerrado. ^[14]

Un límite directo de dominios integralmente cerrados es un dominio integralmente cerrado.

Módulos sobre un dominio integralmente cerrado

Sea A un dominio noetheriano integralmente cerrado.

Un ideal I de A es divisorial si y sólo si cada primo asociado de A / I tiene altura uno. ^[15]

Sea P el conjunto de todos los ideales primos en A de altura uno. Si T es un módulo de torsión generado finitamente, se pone:

${\displaystyle \chi (T)=\sum _{p\in P}\operatorname {length} _{p}(T)p}$,

lo cual tiene sentido como suma formal; es decir, un divisor. Escribimos para la clase divisoria de d . Si son submódulos máximos de M , entonces ^[16] y se denota (en Bourbaki) por . ${\displaystyle c(d)}$ ${\displaystyle F,F'}$ ${\displaystyle c(\chi (M/F))=c(\chi (M/F'))}$ ${\displaystyle c(\chi (M/F))}$ ${\displaystyle c(M)}$

Ver también

• Anillo local unibranquial

Citas

1. Matsumura, Teorema 9.2
2. Hartshorne 1977, cap. II, Ejercicio 6.4.
3. Hartshorne 1977, cap. II, Ejercicio 6.5. (a)
4. Tomado de Matsumura
5. Si todas las localizaciones en ideales máximos de un anillo conmutativo R son anillos reducidos (por ejemplo, dominios), entonces R se reduce. Prueba : Supongamos que x es distinto de cero en R y x ² =0. El aniquilador ann( x ) está contenido en algún ideal máximo . Ahora bien, la imagen de x es distinta de cero en la localización de R en ya que at significa para algunos pero luego está en el aniquilador de x , contradicción. Esto muestra que R localizado en no se reduce. ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle xs=0}$ ${\displaystyle s\not \in {\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$
6. Kaplansky, Teorema 168, página 119.
7. Matsumura 1989, pág. 64
8. Matsumura, Álgebra conmutativa, pág. 125. Para un dominio, el teorema se debe a Krull (1931). El caso general se debe a Serre.
9. sobre un campo algebraicamente cerrado
10. Un ejercicio en Matsumura.
11. Matsumura, ejercicio 10.4
12. Un ejercicio en Bourbaki.
13. Bourbaki 1972, cap. VII, § 1, n. 2, teorema 1
14. Un ejercicio en Bourbaki.
15. Bourbaki 1972, cap. VII, § 1, n. 6. Proposición 10.
16. Bourbaki 1972, cap. VII, § 4, n. 7

Referencias

• Bourbaki, Nicolás (1972). Álgebra conmutativa . París: Hermann.
• Hartshorne, Robin (1977), Geometría algebraica , Textos de posgrado en matemáticas , vol. 52, Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, SEÑOR  0463157
• Kaplansky, Irving (septiembre de 1974). Anillos conmutativos . Conferencias de Matemáticas. Prensa de la Universidad de Chicago . ISBN 0-226-42454-5.
• Matsumura, Hideyuki (1989). Teoría del anillo conmutativo . Estudios de Cambridge en Matemáticas Avanzadas (2ª ed.). Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 0-521-36764-6.
• Matsumura, Hideyuki (1970). Álgebra conmutativa . ISBN 0-8053-7026-9.