Anillo local regular

En álgebra conmutativa , un anillo local regular es un anillo local noetheriano que tiene la propiedad de que el número mínimo de generadores de su ideal máximo es igual a su dimensión de Krull . ^[1] En símbolos, sea A un anillo local noetheriano con ideal máximo m, y supongamos que a ₁ , ..., an _es un conjunto mínimo de generadores de m. Entonces, según el teorema ideal principal de Krull, n ≥ dim A , y A se define como regular si n = dim A.

La denominación regular está justificada por el significado geométrico. Un punto x en una variedad algebraica X es no singular si y sólo si el anillo local de gérmenes en x es regular. (Ver también: esquema regular .) Los anillos locales regulares no están relacionados con los anillos regulares de von Neumann . ^[a] ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,x}}$

Para los anillos locales noetherianos, existe la siguiente cadena de inclusiones:

Anillos catenarios universales ⊃ Anillos de Cohen-Macaulay ⊃ Anillos de Gorenstein ⊃ Anillos de intersección completos ⊃ Anillos locales regulares

Caracterizaciones

Hay varias definiciones útiles de un anillo local normal, una de las cuales se menciona anteriormente. En particular, si es un anillo local noetheriano con ideal máximo , entonces las siguientes son definiciones equivalentes: ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$

• Sea donde se elija lo más pequeño posible. Entonces es regular si ${\displaystyle {\mathfrak {m}}=(a_{1},\ldots ,a_{n})}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle \dim A=n\,}$,

donde la dimensión es la dimensión de Krull. El conjunto mínimo de generadores de se denomina entonces sistema regular de parámetros . ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$

• Sea el campo residual de . Entonces es regular si ${\displaystyle k=A/{\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle \dim _{k}{\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}=\dim A\,}$,

donde la segunda dimensión es la dimensión Krull .

• Sea la dimensión global de (es decir, el supremo de las dimensiones proyectivas de todos los módulos). Entonces es regular si ${\displaystyle {\mbox{gl dim }}A:=\sup\{\operatorname {pd} M\mid M{\text{ is an }}A{\text{-module}}\}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle {\mbox{gl dim }}A<\infty \,}$,

en ese caso, . ${\displaystyle {\mbox{gl dim }}A=\dim A}$

El criterio de multiplicidad uno establece: ^[2] si la compleción de un anillo local noetheriano A no está mezclado (en el sentido de que no hay un divisor primo incorporado del ideal cero y para cada primo mínimo p , ) y si la multiplicidad de A es uno , entonces A es regular. (Lo contrario siempre es cierto: la multiplicidad de un anillo local regular es uno.) Este criterio corresponde a una intuición geométrica en geometría algebraica de que un anillo local de una intersección es regular si y sólo si la intersección es una intersección transversal . ${\displaystyle \dim {\widehat {A}}/p=\dim {\widehat {A}}}$

En el caso de la característica positiva , existe el siguiente resultado importante debido a Kunz: un anillo local noetheriano de característica positiva p es regular si y sólo si el morfismo de Frobenius es plano y reducido . No se conoce ningún resultado similar en la característica cero (no está claro cómo se debe reemplazar el morfismo de Frobenius). ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R\to R,r\mapsto r^{p}}$ ${\displaystyle R}$

Ejemplos

1. Cada campo es un anillo local regular. Estos tienen dimensión (Krull) 0. De hecho, los campos son exactamente los anillos locales regulares de dimensión 0.
2. Cualquier anillo de valoración discreto es un anillo local regular de dimensión 1 y los anillos locales regulares de dimensión 1 son exactamente los anillos de valoración discretos. Específicamente, si k es un campo y X es un indeterminado, entonces el anillo de la serie de potencias formal k [[ X ]] es un anillo local regular que tiene dimensión (Krull) 1.
3. Si p es un número primo ordinario, el anillo de enteros p-ádicos es un ejemplo de anillo de valoración discreto y, en consecuencia, de un anillo local regular, que no contiene un campo.
4. De manera más general, si k es un campo y X ₁ , X ₂ , ..., X _d son indeterminados, entonces el anillo de la serie de potencias formal k [[ X ₁ , X ₂ , ..., X _d ]] es un Anillo local regular que tiene dimensión (Krull) d .
5. Si A es un anillo local regular, entonces se deduce que el anillo formal de la serie de potencias A [[ x ]] es local regular.
6. Si Z es el anillo de números enteros y X es un indeterminado, el anillo Z [ X ] _{(2, X )} (es decir, el anillo Z [ X ] localizado en el ideal primo (2, X ) ) es un ejemplo de 2- Anillo local regular dimensional que no contiene un campo.
7. Según el teorema de estructura de Irvin Cohen , un anillo local regular completo de dimensión d de Krull que contiene un campo k es un anillo de series de potencias en d variables sobre un campo de extensión de k .

No ejemplos

El anillo no es un anillo local regular ya que tiene dimensiones finitas pero no tiene una dimensión global finita. Por ejemplo, hay una resolución infinita. ${\displaystyle A=k[x]/(x^{2})}$

${\displaystyle \cdots {\xrightarrow {\cdot x}}{\frac {k[x]}{(x^{2})}}{\xrightarrow {\cdot x}}{\frac {k[x]}{(x^{2})}}\to k\to 0}$

Usando otra de las caracterizaciones, tiene exactamente un ideal primo , por lo que el anillo tiene dimensión de Krull , pero es el ideal cero, por lo que tiene dimensión al menos . (De hecho, es igual a ya que es una base). ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}={\frac {(x)}{(x^{2})}}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}^{2}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle x+{\mathfrak {m}}}$

Propiedades básicas

El teorema de Auslander-Buchsbaum establece que todo anillo local regular es un dominio de factorización único .

Cada localización , así como la finalización , de un anillo local regular es regular.

Si es un anillo local regular completo que contiene un campo, entonces ${\displaystyle (A,{\mathfrak {m}})}$

${\displaystyle A\cong k[[x_{1},\ldots ,x_{d}]]}$,

donde está el campo residuo y la dimensión de Krull. ${\displaystyle k=A/{\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle d=\dim A}$

Véanse también: Desigualdad de Serre en altura y Conjeturas de multiplicidad de Serre .

Origen de las nociones básicas

Los anillos locales regulares fueron definidos originalmente por Wolfgang Krull en 1937, ^[3] pero se hicieron prominentes por primera vez en el trabajo de Oscar Zariski unos años más tarde, ^{[4] [5]} quien demostró que geométricamente, un anillo local regular corresponde a una superficie lisa. punto sobre una variedad algebraica . Sea Y una variedad algebraica contenida en un espacio n afín sobre un campo perfecto , y supongamos que Y es el lugar geométrico de fuga de los polinomios f ₁ ,..., f _m . Y es no singular en P si Y satisface una condición jacobiana : si M = (∂ f _i /∂ x _j ) es la matriz de derivadas parciales de las ecuaciones que definen la variedad, entonces el rango de la matriz encontrado al evaluar M en P es norte - tenue Y . Zariski demostró que Y es no singular en P si y sólo si el anillo local de Y en P es regular. (Zariski observó que esto puede fallar en campos no perfectos). Esto implica que la suavidad es una propiedad intrínseca de la variedad; en otras palabras, no depende de dónde o cómo está incrustada la variedad en el espacio afín. También sugiere que los anillos locales regulares deberían tener buenas propiedades, pero antes de la introducción de técnicas del álgebra homológica se sabía muy poco en esta dirección. Una vez que se introdujeron estas técnicas en la década de 1950, Auslander y Buchsbaum demostraron que cada anillo local regular es un dominio de factorización único .

Otra propiedad sugerida por la intuición geométrica es que la localización de un anillo local regular debería ser nuevamente regular. Una vez más, esto quedó sin resolver hasta la introducción de técnicas homológicas. Fue Jean-Pierre Serre quien encontró una caracterización homológica de los anillos locales regulares: un anillo local A es regular si y sólo si A tiene una dimensión global finita , es decir, si cada módulo A tiene una resolución proyectiva de longitud finita. Es fácil demostrar que la propiedad de tener una dimensión global finita se conserva bajo la localización y, en consecuencia, que las localizaciones de anillos locales regulares en ideales primos vuelven a ser regulares.

Esto justifica la definición de regularidad para anillos conmutativos no locales que se da en la siguiente sección.

anillo regular

En álgebra conmutativa , un anillo regular es un anillo noetheriano conmutativo , tal que la localización en cada ideal primo es un anillo local regular: es decir, cada localización tiene la propiedad de que el número mínimo de generadores de su ideal máximo es igual a su Dimensión Krull .

El origen del término anillo regular radica en el hecho de que una variedad afín es no singular (es decir, todo punto es regular ) si y sólo si su anillo de funciones regulares es regular.

Para los anillos regulares, la dimensión de Krull concuerda con la dimensión homológica global .

Jean-Pierre Serre definió un anillo regular como un anillo noetheriano conmutativo de dimensión homológica global finita . Su definición es más fuerte que la definición anterior, que permite anillos regulares de dimensión Krull infinita.

Ejemplos de anillos regulares incluyen campos (de dimensión cero) y dominios de Dedekind . Si A es regular entonces también lo es A [ X ], con dimensión uno mayor que la de A .

En particular, si k es un campo, el anillo de números enteros o un dominio ideal principal , entonces el anillo polinómico es regular. En el caso de un campo, este es el teorema de sizigia de Hilbert . ${\displaystyle k[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$

Cualquier localización de un anillo regular también lo es.

Un anillo regular se reduce ^[b] pero no es necesario que sea un dominio integral. Por ejemplo, el producto de dos dominios integrales regulares es regular, pero no un dominio integral. ^[6]

Ver también

• Anillo geométricamente regular

Notas

1. Un anillo regular local de von Neumann es un anillo de división, por lo que las dos condiciones no son muy compatibles.
2. ya que un anillo se reduce si y sólo si sus localizaciones en ideales primos lo son.

Citas

1. Atiyah y Macdonald 1969, pág. 123, teorema 11.22.
2. Herrmann, M., S. Ikeda y U. Orbanz: equimultiplicidad y explosión. Un estudio algebraico con un apéndice de B. Moonen. Springer Verlag, Berlín Heidelberg Nueva York, 1988. Teorema 6.8.
3. Krull, Wolfgang (1937), "Beiträge zur Arithmetik kommutativer Integritätsbereiche III", Matemáticas. Z. : 745–766, doi :10.1007/BF01160110
4. Zariski, Oscar (1940), "Variedades algebraicas sobre campos terrestres de característica 0", Amer. J. Matemáticas. , 62 : 187–221, doi : 10.2307/2371447
5. Zariski, Oscar (1947), "El concepto de punto simple de una variedad algebraica abstracta", Trans. América. Matemáticas. Soc. , 62 : 1–52, doi : 10.1090/s0002-9947-1947-0021694-1
6. ¿Es un anillo normal un dominio?

Referencias

• Atiyah, Michael F .; Macdonald, Ian G. (1969), Introducción al álgebra conmutativa , Addison-Wesley , MR  0242802
• Kunz, Caracterizaciones de anillos locales regulares de característica p. América. J. Matemáticas. 91 (1969), 772–784.
• Tsit-Yuen Lam , Conferencias sobre módulos y anillos , Springer-Verlag , 1999, ISBN 978-1-4612-0525-8 . Cap.5.G. 
• Jean-Pierre Serre , Álgebra local , Springer-Verlag , 2000, ISBN 3-540-66641-9 . Cap.IV.D. 
• Anillos regulares en The Stacks Project