Dimensión global

En teoría de anillos y álgebra homológica , la dimensión global (o dimensión homológica global ; a veces simplemente llamada dimensión homológica ) de un anillo A, denotado gl dim A , es un entero no negativo o infinito que es una invariante homológica del anillo. Se define como el supremo del conjunto de dimensiones proyectivas de todos los módulos A. La dimensión global es una noción técnica importante en la teoría dimensional de los anillos noetherianos . Según un teorema de Jean-Pierre Serre , la dimensión global se puede utilizar para caracterizar dentro de la clase de anillos locales noetherianos conmutativos aquellos anillos que son regulares . Su dimensión global coincide con la dimensión de Krull , cuya definición es teórica de módulos.

Cuando el anillo A es no conmutativo , inicialmente hay que considerar dos versiones de esta noción, la dimensión global derecha que surge de la consideración de los módulos A derechos y la dimensión global izquierda que surge de la consideración de los módulos A izquierdos . Para un anillo arbitrario A, las dimensiones globales derecha e izquierda pueden diferir. Sin embargo, si A es un anillo noetheriano, ambas dimensiones resultan ser iguales a la dimensión global débil , cuya definición es simétrica de izquierda a derecha. Por tanto, para los anillos noetherianos no conmutativos, estas dos versiones coinciden y una está justificada para hablar de la dimensión global. ^[1]

Ejemplos

• Sea A  =  K [ x ₁ ,..., x _n ] el anillo de polinomios en n variables sobre un campo K . Entonces la dimensión global de A es igual a n . Esta afirmación se remonta al trabajo fundamental de David Hilbert sobre las propiedades homológicas de los anillos polinomiales; véase el teorema de la sizigia de Hilbert . De manera más general, si R es un anillo noetheriano de dimensión global finita k y A  =  R [x] es un anillo de polinomios en una variable sobre R, entonces la dimensión global de A es igual a k  + 1.

• Un anillo tiene dimensión global cero si y sólo si es semisimple .

• La dimensión global de un anillo A es menor o igual a uno si y sólo si A es hereditario . En particular, un dominio ideal principal conmutativo que no es un campo tiene dimensión global uno. Por ejemplo , tiene dimensión global uno. ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

• La primera álgebra de Weyl A ₁ es un dominio noetheriano no conmutativo de dimensión global uno.

• Si un anillo es noetheriano derecho, entonces la dimensión global derecha es la misma que la dimensión global débil y, como máximo, es la dimensión global izquierda. En particular, si un anillo es noetheriano derecho e izquierdo, entonces las dimensiones globales izquierda y derecha y la dimensión global débil son todas iguales.
• El anillo de matriz triangular tiene dimensión global derecha 1, dimensión global débil 1, pero dimensión global izquierda 2. Es noetheriano derecho pero no noetheriano izquierdo. ${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbb {Z} &\mathbb {Q} \\0&\mathbb {Q} \end{bmatrix}}}$

Caracterizaciones alternativas

La dimensión global correcta de un anillo A se puede definir alternativamente como:

• el supremo del conjunto de dimensiones proyectivas de todos los módulos A derechos cíclicos ;
• el supremo del conjunto de dimensiones proyectivas de todos los módulos A derechos finitos ;
• el supremo de las dimensiones inyectivas de todos los módulos A correctos ;
• cuando A es un anillo local noetheriano conmutativo con ideal máximo m , la dimensión proyectiva del campo residual A / m .

La dimensión global izquierda de A tiene caracterizaciones análogas obtenidas reemplazando "derecha" por "izquierda" en la lista anterior.

Serre demostró que un anillo local noetheriano conmutativo A es regular si y sólo si tiene una dimensión global finita, en cuyo caso la dimensión global coincide con la dimensión de Krull de A. Este teorema abrió la puerta a la aplicación de métodos homológicos al álgebra conmutativa.

Referencias

1. Auslander, Maurice (1955). "Sobre la dimensión de módulos y álgebras. III. Dimensión global". Nagoya Matemáticas J. 9 : 67–77.

• Eisenbud, David (1999), Álgebra conmutativa con miras a la geometría algebraica , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 150 (3.ª ed.), Springer-Verlag, ISBN 0-387-94268-8.
• Kaplansky, Irving (1972), Campos y anillos , Conferencias de Matemáticas de Chicago (2ª ed.), University Of Chicago Press, ISBN 0-226-42451-0, Zbl  1001.16500
• Matsumura, Hideyuki (1989), Teoría del anillo conmutativo , Estudios de Cambridge en Matemáticas Avanzadas, vol. 8, Prensa de la Universidad de Cambridge, ISBN 0-521-36764-6.
• McConnell, JC; Robson, JC; Small, Lance W. (2001), Revisado (ed.), Anillos noetherianos no conmutativos , Estudios de Posgrado en Matemáticas , vol. 30, Sociedad Matemática Estadounidense, ISBN 0-8218-2169-5.