Dimensión débil

En álgebra abstracta , la dimensión débil de un módulo derecho distinto de cero M sobre un anillo R es el número más grande n tal que el grupo Tor sea distinto de cero para algún módulo R izquierdo N (o infinito si no existe tal n más grande ), y el débil La dimensión de un módulo R izquierdo se define de manera similar. La dimensión débil fue introducida por Henri Cartan y Samuel Eilenberg  (1956, p.122). La dimensión débil a veces se denomina dimensión plana , ya que es la longitud más corta de la resolución del módulo por módulos planos . La dimensión débil de un módulo es, como máximo, igual a su dimensión proyectiva . ${\displaystyle \operatorname {Tor} _{n}^{R}(M,N)}$

La dimensión global débil de un anillo es el número más grande n tal que sea distinto de cero para algún módulo R derecho M y módulo R izquierdo N. Si no existe el número más grande n , la dimensión global débil se define como infinita. Es como máximo igual a la dimensión global izquierda o derecha del anillo R. ${\displaystyle \operatorname {Tor} _{n}^{R}(M,N)}$

Ejemplos

• El módulo de números racionales sobre el anillo de números enteros tiene dimensión débil 0, pero dimensión proyectiva 1. ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$
• El módulo sobre el anillo tiene una dimensión débil 1, pero una dimensión inyectiva 0. ${\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$
• El módulo sobre el anillo tiene una dimensión débil 0, pero una dimensión inyectiva 1. ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$
• Un dominio de Prüfer tiene una dimensión global débil como máximo 1.
• Un anillo regular de Von Neumann tiene una dimensión global débil 0.
• Un producto de infinitos campos tiene una dimensión global débil 0 pero su dimensión global es distinta de cero.
• Si un anillo es noetheriano derecho , entonces la dimensión global derecha es la misma que la dimensión global débil y es, como máximo, la dimensión global izquierda. En particular, si un anillo es noetheriano derecho e izquierdo, entonces las dimensiones globales izquierda y derecha y la dimensión global débil son todas iguales.
• El anillo de matriz triangular tiene dimensión global derecha 1, dimensión global débil 1, pero dimensión global izquierda 2. Es noetheriano derecho, pero no noetheriano izquierdo. ${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbb {Z} &\mathbb {Q} \\0&\mathbb {Q} \end{bmatrix}}}$

Referencias

• Cartan, Henri ; Eilenberg, Samuel (1956), Álgebra homológica, Princeton Mathematical Series, vol. 19, Prensa de la Universidad de Princeton , ISBN 978-0-691-04991-5, señor  0077480
• Năstăsescu, Constantin; Van Oystaeyen, Freddy (1987), Dimensiones de la teoría de anillos , Matemáticas y sus aplicaciones, vol. 36, D. Reidel Publishing Co., doi :10.1007/978-94-009-3835-9, ISBN 9789027724618, señor  0894033